第02讲 空间向量基本定理（3个知识点4大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第02讲 空间向量基本定理 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一：基底的判断 【例1】（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 题型二：基底的运用 【例2】（2025·高二·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 【变式2-2】已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·福建·期中）如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 【例3】向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【例4】如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【变式4-1】（2025·高二·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【变式4-2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 【变式4-3】（2025·高二·河北唐山·期中）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求： (1)试用向量表示，并求的值； (2)求． 1．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 3．（2025·高二·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，若为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·广东深圳·期末）已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·安徽宣城·期末）在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 9．（2025·高二·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 11．（多选题）（2025·高二·甘肃酒泉·期中）在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 12．（多选题）已知在平行六面体中，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．线段的靠近点的三等分点在平面内 C．线段的长度为 D．直线与直线所成角的余弦值为 13．（2025·高二·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 14．（2025·高二·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 15．（2025·高二·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 16．（2025·高二·江苏泰州·期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 17．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． (1)记用表示； (2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 18．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 19．如图，设圆柱的一个轴截面为矩形，是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点，且点，位于轴截面的两侧，.设，，.    (1)用，，表示，； (2)求. 20．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点.    (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 21．如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 22．（2025·高二·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量基本定理 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一：基底的判断 【例1】（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 【变式1-1】（2025·高二·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（2025·高二·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 【变式1-3】（2025·高二·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 题型二：基底的运用 【例2】（2025·高二·贵州黔南·期中）如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 【变式2-1】（2025·高二·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 【变式2-2】已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图 ， 故选：C. 【变式2-3】（2025·高二·福建·期中）如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： . 故选：C. 题型三：正交分解 【例3】向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 【变式3-1】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【变式3-2】（2025·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式3-3】设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【例4】如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【解析】（1），又 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 【变式4-1】（2025·高二·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 【变式4-2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 【解析】（1）如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； （3）因为， 所以 . 【变式4-3】（2025·高二·河北唐山·期中）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求： (1)试用向量表示，并求的值； (2)求． 【解析】（1）令正六边形的中心为，连接， 则四边形为菱形，，所以； ； 由，得，， 所以 . （2）由（1）知，，， 所以 . 1．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 2．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【解析】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 3．（2025·高二·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 4．在正方体中，若为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C 5．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在三棱柱中， ， 故选：B. 6．（2025·高二·广东深圳·期末）已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ，所以. 故选：B. 7．（2025·高二·安徽阜阳·开学考试）已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点G为的重心，∴， ∴.. ∴，∴，∴. 故选：B 8．（2025·高二·安徽宣城·期末）在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】在平行六面体中，，，， ，而， 所以 . 故选：B 9．（2025·高二·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B. 10．（多选题）（2025·高二·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】ABD 【解析】对于A，若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基，故A正确； 对于B，与不共线，且不能用和表示，即，，不共面，故B正确； 对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若， 因为，可得P，A，B，C四点共面，故C错误； 对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线）， 当时，即，可得，即， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确． 故选：ABD． 11．（多选题）（2025·高二·甘肃酒泉·期中）在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【解析】由题知，． 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D， ， 所以与的夹角为，故D正确． 故选：ACD． 12．（多选题）已知在平行六面体中，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．线段的靠近点的三等分点在平面内 C．线段的长度为 D．直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】如下图所示： 对于A选项，，A对； 对于B选项，由空间向量的平行六面体法则可得， 由题意可知，，可得， 所以，，即， 所以，在平面内，B对； 对于C选项，由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，，且， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以， ， ， 所以，， 因此，直线与直线所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 13．（2025·高二·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【解析】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为： 14．（2025·高二·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】，． 故答案为：. 15．（2025·高二·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 16．（2025·高二·江苏泰州·期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 【解析】（1）在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 . （2）由，得， 所以 . 17．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． (1)记用表示； (2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【解析】（1）因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； （2）因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 18．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19．如图，设圆柱的一个轴截面为矩形，是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点，且点，位于轴截面的两侧，.设，，.    (1)用，，表示，； (2)求. 【解析】（1）连接，由圆柱对称性可知，，， 四边形为平行四边形，.    （2）因为，所以，则. ，；，. 因为是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 所以，，所以，， 所以. 20．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点.    (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）由题意知 . （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 即线段的长为. 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 21．如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【解析】（1） 因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 22．（2025·高二·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【解析】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$