13.1 命题与证明-2024-2025学年八年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版八年级上学期《13.1 命题与证明》2024年同步练习卷 一．填空题（共4小题） 1．A，B，C，D，E五省统计学家奔赴地震灾区进行灾情统计，每省派2人．到达时要进行介绍，10人中互相认识的握一下手，且本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手．介绍结束后，A省统计学家A1分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同．问A1自己握手次数是 　 　次． 2．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有　 　种． 3．用推理的方法判断为正确的命题叫做　 　． 4．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城　 　公里． 二．解答题（共46小题） 5．已知矩形的两边长分别为（2t﹣5）与（10﹣t），设矩形的面积为S． （1）求S关于t的函数表达式（化为一般式），并写出自变量t的取值范围． （2）判断命题“当上述矩形为正方形时，面积取得最大值”是真命题还是假命题？并说明理由． 6．已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c； ④a⊥b．请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论（用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b）． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 7．在△ABC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，如有三个关系式①AE∥DF②AB＝CD③CE＝BF （1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”） （2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确性． 8．已知命题“对顶角相等”． （1）此命题是真命题还是假命题？如果是真命题请给予证明；如果是假命题，请举出反例； （2）写出此命题的逆命题，并判断此命题的真假，如果是真命题请给予证明；如果是假命题，请举出反例． 9．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B； ②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE，试回答下列问题： （1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*、*，那么*）； （2）选择（1）中你写出的任一命题，说明理由． 10．阅读以下证明过程： 已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2． 证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2． 请用类似的方法证明以下问题： 已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2． 11．某粮食加工厂给吉利卖站送来10箱袋装米粉，每箱10袋，每袋重800克，其中有一箱米粉每袋少50克，但不知道是哪一箱，送货员想出一个好办法，他用笔将10个箱子分别编上1，2，3，…，10的号码，然后从1号箱中取出1袋米粉，2号箱中取出2袋米粉，…10号箱中取出10袋米粉，在将这些米粉称了一下，称得重量为43800克，你知道重量不足的是哪一箱吗？ 12．如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE＝∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由． 解：已知：　 　，求证：　 　．（只须填写序号） 证明： 13．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明，如果是假命题，请举出反例． （1）两个锐角的和是钝角； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 14．有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米． （1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己． 亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择． 选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分． 15．写出下列命题的逆命题，并判断真假． （1）若x＝3，则x2＝9； （2）三角形任何两边之和大于第三边； （3）面积相等的三角形全等． 16．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法． 17．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等． （1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长． （2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）． 18．阅读下列材料并填空： （1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？ 我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画　 　条直线，…平面内有n个点时，一共可以画　 　条直线． （2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行　 　场比赛，…那么有20个球队时，要进行　 　场比赛． 19．某校开校运会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 20．光明中学的6名教师带领8名市三好学生到苏州园林参观学习，发现门票有这样几种优惠方案．（1）学生可凭学生证享受6折优惠；（2）20人以上的团体队可享受8折优惠；（3）通过协商可以享受9折优惠．请同学们根据上述优惠途径，设计出五种不同的优惠方案，并说明最佳方法． 21．附加题： 要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每所学校至少要分到一个名额． （1）试提出一种分配方案，使得分到相同名额的学校少于4所； （2）证明：不管怎样分配，至少有3所学校得到的名额相同； （3）证明：如果分到相同名额的学校少于4所，则29名选手至少有5名来自同一学校． 22．问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论． 23．如图，是2006年6月的日历，现有一矩形在日历中任意框出3个数（由上至下分别记为a、b、c）． （1）试用等式表示a、b、c之间的关系； （2）若某个月里有三个星期日的日期为偶数，请推算出这个月的15日是星期几？ 24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上． 25．用几何符号语言表示“互为邻补角的平分线互相垂直”的题设与结论，并画出图形． 26．某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车？ 27．某个信封上邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有4个编码如下： A、320651 B、105263 C、612305 D、316250 已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N． 28．国际象棋比赛中，胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分，今有10名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后发现各选手得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第一名选手与第二名选手均没有负一局，第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，还知道第四名选手得分是最后四名选手的得分总和，问前六名选手各得分多少？说明理由． 29．对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高 线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命 题会正确吗？ （1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”． ①等腰三角形两腰上的中线相等　 　 ②等腰三角形两底角的角平分线相等　 　 ③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　 　 （2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例． 30．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 31．写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由． 32．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 33．今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人之得票数内，全村设有四个投开票所，目前第一、第二、第三投开票所已开完所有选票，剩下第四投开票所尚未开票，结果如表所示： 投开票所 候选人 废票 合计 甲 乙 丙 一 200 211 147 12 570 二 286 85 244 15 630 三 97 41 205 7 350 四 250 （单位：票） 请回答下列问题： （1）请分别写出目前甲、乙、丙三名候选人的得票数； （2）承（1），请分别判断甲、乙两名候选人是否还有机会当选村长，并详细解释或完整写出你的解题过程． 34．如图△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF． 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）并证明． 35．如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件：　 　． 结论：　 　． （2）证明你所构建的是真命题． 36．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”；命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”． （1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） 　 　； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）． 37．如图，已知在△ABC中，∠1＝∠2． （1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （3）如果“已知在△ABC中，∠1＝∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？ 38．如图，有如下四个论断：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED． （1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由． （2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由． 39．【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DB＝DC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC． 【探究思考】 同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考： ①把题中的条件“DB＝DC”和结论“AB＝AC”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“D为BC上一点”改为“D为△ABC内部一点”，是否仍能得到AB＝AC？ 【问题解决】 （1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”； （2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由． 40．如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC． 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明． 已知：　 　 求证：　 　 证明： 41．在学习了全等三角形和等边三角形的知识后，张老师出了如下一道题：如图，点B是线段AC上任意一点，分别以AB、BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE，连接CD、AE分别与BE和DB交于点N、M，连接MN．求证：△ABE≌△DBC． 接着张老师又让学生分小组进行探究：你还能得出什么结论？ 精英小组探究的结论是：AM＝DN 奋斗小组探究的结论是：△EMB≌△CNB． 创新小组探究的结论是：MN∥AC． （1）你认为哪一小组探究的结论是正确的？ （2）选择其中你认为正确的一种情形加以证明． 42．请写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （1）同旁内角相等，两直线平行． （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等． 43．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE． （1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题： 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　 　． （3）由此可以探究并得到： 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相 　 　． 44．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②⇒③； B：①③⇒②； C：②③⇒① 请选择一个真命题　 　 进行证明（先写出所选命题，然后证明）． 45．如图，在△ABD和△ACE中，有①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE． （1）以①②③④中的任意三个作为条件，第四个作为结论，可以组成以下四个命题： 命题一：条件是①②③，结论是④． 命题二：条件是①②④，结论是③． 命题三：条件是②③④，结论是①． 命题四：条件是①③④，结论是②． 其中真命题是命题　 　；（填序号） （2）请你选择一个真命题进行证明，你选择命题　 　（填序号） 46．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC ②DE＝DF ③BE＝CF 已知：EG∥AF，　 　，　 　． 求证：　 　． 证明： 　 　． 47．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． （1）全等三角形的对应角相等． （2）同旁内角互补，两直线平行． 48．如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE．给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD+BC＝AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． （1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）．并给出证明； （2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）． 49．已知命题：“P是等边△ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA＝PB＝PC．” （1）写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明． （2）进一步证明：点P到等边△ABC各边的距离之和为定值． 50．如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题（只需要写出一种情况），并给予证明． ①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF． 已知：EG∥AF，　 　＝　 　，　 　＝　 　． 求证：　 　＝　 　． 冀教新版八年级上学期《13.1 命题与证明》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．填空题（共4小题） 1．A，B，C，D，E五省统计学家奔赴地震灾区进行灾情统计，每省派2人．到达时要进行介绍，10人中互相认识的握一下手，且本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手．介绍结束后，A省统计学家A1分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同．问A1自己握手次数是 　4　次． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于本省的2人没有握手，那么这10个人中握手次数最多的应是和外省的那8个人都握过手，为8次，又因为A省统计学家A1分别问其他9人：“你今天握了几次手”使他惊讶的是9人握手次数各不相同，故可推断出除A1外其他9人握手分别是0﹣8次，从而进行推断即可得出答案． 【解答】解：∵本省的2人没有握手，也没有人和同一人握两次手， ∴这10个人中握手最多的应是和外省的那8个人都握过手，为8次， ∵除A1外其他9人握手次数各不相同， ∴除A1外其他9人握手分别是0﹣8次， 设A，B，C，D，E五省的统计学家分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，E1，E2， 不妨设E2的握手次数为0次，则E2不认识外省的那8个人，外省的那8个人也都不认识E2， ∴A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2的握手次数都将小于8， ∴握手次数为8次的人为E1， ∴与E1握手的人为A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2， 再假设D2的握手次数为1次，则与D2握手的人只有E1，也就是说A1，A2，B1，B2，C1，C2都不认识D2， ∴A1，A2，B1，B2，C1，C2的握手次数都将小于7， ∴握手次数为7次的人为D1， ∴与D1握手的人为A1，A2，B1，B2，C1，C2，E1， 再假设C2的握手次数为2次，则与C2握手的人只有D1，E1，也就是说A1，A2，B1，B2都不认识C2， ∴A1，A2，B1，B2的握手次数都将小于6， ∴握手次数为6次的人为C1， ∴与C1握手的人为A1，A2，B1，B2，D1，E1， 再假设B2的握手次数为3次，则与B2握手的人只有C1，D1，E1，也就是说A1，A2都不认识B2， ∴A1，A2的握手次数都将小于5， ∴握手次数为5次的人为B1， ∴与B1握手的人为A1，A2，C1，D1，E1， ∴与A1和A2握手的人为B1，C1，D1，E1，也就是说与A1和A2握手的人为握手次数分别是5，6，7，8次的人， 故答案为：4． 2．将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有　42　种． 【答案】见试题解答内容 【分析】第一块田有3种选择方法，第二、三、四、五块田均有2种选择方法，因此共有3×2×2×2×2＝48种种植方法，而这48种方法中，包含了只种两种作物的可能，因此要将其除去，只种两种作物时，不同的种法有2×3＝6种，因此本题的种植方法共有48﹣6＝42种． 【解答】解：第一块田有3种种植方法，第二、三、四、五块田均有2种种植方法， 因此共有3×2×2×2×2＝48种种植方法； 其中，有2×3＝6种是只种两种作物的种植方法， 因此所求的种植方法有48﹣6＝42种． 故答案为：42． 3．用推理的方法判断为正确的命题叫做　定理　． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查定理的定义． 【解答】解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理． 4．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城　72　公里． 【答案】见试题解答内容 【分析】可在一条线段上简单的作出图形，考虑两车第二次相遇的情形，即甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，又其速度不变，所以设法求出其速度之间的关系即此题解题的关键． 【解答】解：设两车首次相遇于C处，第二次相遇于D处，第三次相遇于E处，考虑两车第二次相遇的情形，如图1， 甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲， 这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇， 则两车首次相遇时合开的路程记为S＝AB， 第一、三次相遇之间，甲开行距离为CE，乙开行距离为CA+AB+BE，两车合开的路程为2S， 由于速度不变，甲应开行了2×36＝72公里，即CE＝72公里， 而题设EB＝36公里， 所以S＝AC+CE+EB＝36+72+36＝144公里，BC＝S﹣AC＝144﹣36＝108公里，甲、乙速度之比＝36：108＝1：3， 于是易算得两车第一次相遇于C后，乙到达A站时，甲到达F处，CF＝12公里，如图2， 从而甲在回程图中追赶乙，需从A起，追赶48+48÷（3﹣1）＝72公里，即AD＝72公里，从而知DB＝S﹣AD＝144﹣72＝72公里． 故答案为：72． 二．解答题（共46小题） 5．已知矩形的两边长分别为（2t﹣5）与（10﹣t），设矩形的面积为S． （1）求S关于t的函数表达式（化为一般式），并写出自变量t的取值范围． （2）判断命题“当上述矩形为正方形时，面积取得最大值”是真命题还是假命题？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用矩形的面积公式求解，然后根据矩形的边长为正数写出t的范围； （2）根据二次函数的性质得到t时，S最大，然后利用此时2t﹣5，10﹣t，矩形不是正方形，所以可判断原命题为假命题． 【解答】解：（1）S＝（2t﹣5）（10﹣t）＝﹣2t2+25t﹣50（t＜10）； （2）命题“当上述矩形为正方形时，面积取得最大值”是假命题． 理由如下： S＝﹣2（t）2， 当t时，S最大， 由于此时2t﹣5，10﹣t， 所以此时矩形不是正方形，原命题为假命题． 6．已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c； ④a⊥b．请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论（用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b）． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；由②③⇒①； （2）假命题：②③⇒④； 【解答】解：（1）如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b； 理由：如图， ∵a⊥c、b⊥c， ∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b． （2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b；反例：见如图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b． 7．在△ABC和△DFB中，∠E＝∠F，点A、B、C、D在同一直线上，如有三个关系式①AE∥DF②AB＝CD③CE＝BF （1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”） （2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确性． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可； （2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB＝DC，等式左右两边都加上BC，得到AC＝DB，又∠E＝∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE＝BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E＝∠F，CE＝BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC＝BD，等式左右两边都减去BC，得到AB＝CD，得证． 【解答】解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②； （2）若选择如果①②，那么③， 证明：∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB， 在△ACE和△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（AAS）， ∴CE＝BF； 若选择如果①③，那么②， 证明：∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， 在△ACE和△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（AAS）， ∴AC＝DB， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD． 8．已知命题“对顶角相等”． （1）此命题是真命题还是假命题？如果是真命题请给予证明；如果是假命题，请举出反例； （2）写出此命题的逆命题，并判断此命题的真假，如果是真命题请给予证明；如果是假命题，请举出反例． 【答案】见试题解答内容 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：（1）此命题是真命题， 已知：如图1，直线AB、CD相交于点O． 求证：∠AOC＝∠BOD， 证明：∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠AOC＝∠BOD； （2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角” 此命题是假命题， 反例：如图2，在△ABC中，∠B＝∠C， 但∠B与∠C不是对顶角， 9．如图，给出三个论断：①∠A＝∠B； ②AB∥CD；③∠BCD＝∠DCE，试回答下列问题： （1）请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*、*，那么*）； （2）选择（1）中你写出的任一命题，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）答案一：如果①，②，那么③；答案二：如果②、③，那么①；答案三：如果①，③，那么 ②； （2）利用平行线的性质和判定可以一一证明； 【解答】解：（1）答案一：如果①，②，那么③； 答案二：如果②、③，那么①； 答案三：如果①，③，那么 ②； （2）答案一：如果①，②，那么 ③： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∵∠A＝∠B， ∴∠BCD＝∠DCE； 答案二：如果②、③，那么 ①： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠DCE， ∴∠A＝∠B； 答案三：如果 ①，③，那么②： ∵∠A+∠B＝180°﹣∠BCA，∠BCE＝180°﹣∠BCA， ∴∠BCE＝∠A+∠B， ∵∠BCD＝∠DCE，∠A＝∠B， ∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD． 10．阅读以下证明过程： 已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2． 证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2． 请用类似的方法证明以下问题： 已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2． 【答案】见试题解答内容 【分析】假设x1＝x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，即判别式Δ＝0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明Δ＝0错误，得到所证的结论． 【解答】证明：假设x1＝x2， 则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根， ∴△＝4a2b2﹣8a﹣8b＝4a2b2﹣4（2a+2b）＝0， 则a2b2＝2a+2b，a2b2＝2（a+b）． ∵a、b是正整数， ∴2（a+b）是偶数， ∴a2b2也是偶数， 又∵a、b为正整数， ∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数． ∴a2b2是4的倍数． ∴a+b是2的倍数． ∵a是2的倍数，a2b2＝2（a+b）， ∴a+b，， ． ∵a、b是偶数， ∴位正偶数， ∴为正整数． 又∵a、b位偶数， ∴a＝b＝2， 此时，a2b2＝16，而2（a+b）＝8， a2b2≠2（a+b）与事实不符． ∴△≠0，即x1≠x2． 11．某粮食加工厂给吉利卖站送来10箱袋装米粉，每箱10袋，每袋重800克，其中有一箱米粉每袋少50克，但不知道是哪一箱，送货员想出一个好办法，他用笔将10个箱子分别编上1，2，3，…，10的号码，然后从1号箱中取出1袋米粉，2号箱中取出2袋米粉，…10号箱中取出10袋米粉，在将这些米粉称了一下，称得重量为43800克，你知道重量不足的是哪一箱吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】假设全是800g的，那么800×55＝44000g，43800克比44000g少200g，是4个50g，由于其中有一箱米粉每袋少50克，从1号箱中取出1袋米粉，2号箱中取出2袋米粉，…10号箱中取出10袋米粉，根据少几个50克即可求解． 【解答】解：800×55＝44000g， 44000﹣43800＝200g， 200÷50＝4， 答：重量不足的是第四箱． 12．如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE＝∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由． 解：已知：　①②　，求证：　③　．（只须填写序号） 证明： 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的性质可得∠DEA＝∠EAC，再由角平分线的性质可得∠DAE＝∠EAC，再利用等量代换可得∠DAE＝∠DEA． 【解答】已知①②，求证：③， 证明：∵DG∥AC， ∴∠DEA＝∠EAC， ∵AF平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠DEA． 故答案为：①②；③． 13．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请证明，如果是假命题，请举出反例． （1）两个锐角的和是钝角； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）举反例说明命题为假命题； （2）利用平行线的判定方法可证明命题为真命题． 【解答】解：（1）“两个锐角的和是钝角”是假命题，如30°和40°的和为70°； （2）“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”为真命题． 理由如下：如图，∵b⊥a，c⊥a， ∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴b∥c． 14．有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米． （1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己． 亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择． 选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为共有12人，这辆小汽车连司机在内最多能乘5人．所以当汽车首先载4位乘客时，其余乘客在原地不动，12位乘客分3批，计算所需要的时间和3小时进行比较即可； （2）在汽车每接送一批顾客的时候，剩下的顾客也要同时往前赶，计算所需的时间和3小时进行比较即可． 【解答】解：（1）：用汽车来回送这12名旅客要分3趟，总路程为（3×2﹣1）×40＝200千米，所需的时间为200÷60小时＞3小时，因此单靠汽车来回送旅客无法让12名旅客全部赶上火车． （2）：汽车送前一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，这样可以节省一点时间． 第一趟，设汽车来回共用了x小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以6x+60x＝40×2，解得x小时，此时，剩下8名旅客与车站的距离为406千米； 第二趟，设汽车来回共用了y小时，那么6y+60y2，解y小时，此时剩下的4名旅客与车站的距离为6千米； 第三趟，汽车用了60小时． 所以共需时间2.6（小时），所以可以赶上． （3）：先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名步行（此时其他8名旅客也在步行），接着汽车回来再送4名旅客（剩下4名旅客继续步行），追上前面4名旅客候也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站．适当选取第一批旅客的下车地点使送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站． 设汽车送第一批旅客行驶x千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行了4， 6千米，他们之间相差了千米，在以后的时间里，由于步行旅客的速度一样，所以两批步行旅客之间始终相差x千米，而汽车要在这段距离间来回行驶两趟，每来回一趟所用时间为x，而汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行40﹣x千米所用时间，即2x， 解得x千米，故所需时间为602.267小时，所以可以赶上． 15．写出下列命题的逆命题，并判断真假． （1）若x＝3，则x2＝9； （2）三角形任何两边之和大于第三边； （3）面积相等的三角形全等． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题； （2）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题； （3）首先找出命题中的题设和结论，然后交换位置即可，如果是正确的命题就是真命题，如果是错误的命题就是假命题． 【解答】解：（1）若x2＝9，则x＝3，是假命题； （2）如果两线段之和大于第三条线段，则此三条线段可以组成三角形，是真命题； （3）如果三角形全等，则它们的面积相等，是真命题． 16．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法． 【答案】见试题解答内容 【分析】可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明． 【解答】解：答案不唯一，如：数学是思维的体操，可以培养自己的逻辑思维能力、发散思维能力等． 17．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等． （1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长． （2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）本题可以举出一个实例，让它满足题目的已知条件而结论不满足．相等的几个元素对应的位置不同，则两个三角形就不全等． （2）要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a；然后根据三角形三边关系定理确定k的取值范围． 【解答】解：（1）如图，△ABC与△A′B′C′是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的．（5分）（答案不唯一） （2）容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的．（2分） 设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比为k，则k＞1． ∵△A′B′C′的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc ∴在△ABC中，与△A′B′C′中两边对应相等的两条边只可能是b与c ∵b＜c＜kc ∴在△A′B′C′中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb ∴． ∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△A′B′C′的相似比k． 下面考虑相似比k所受到的限制： ∵△ABC的三边长分别为a、ka、k2a，且a＞0，k＞1 ∴a+ka＞k2a 解之得1＜k（注：1.618）（4分） 因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的相似比放大系数k，从而写出另外两条边的长ka、k2a．然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a．通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例．（1分） 18．阅读下列材料并填空： （1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？ 我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画　10　条直线，…平面内有n个点时，一共可以画　　条直线． （2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行　6　场比赛，…那么有20个球队时，要进行　190　场比赛． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 【解答】解：（1）当平面上有2个点时，可以画条直线； 当平面上有3个点时，可以画3条直线； … 当平面上有n（n≥2）个点时，可以画条直线； 因此当n＝5时，一共可以画10条直线． （2）同（1）可得：当比赛中有n（n≥2）个球队时，一共进行场比赛， 因此当n＝4时，要进行6场比赛．当n＝20时，要进行190场比赛． 19．某校开校运会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数； 再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数． 【解答】解：只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣3＝9（人）； 同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣9）＝3（人）． 20．光明中学的6名教师带领8名市三好学生到苏州园林参观学习，发现门票有这样几种优惠方案．（1）学生可凭学生证享受6折优惠；（2）20人以上的团体队可享受8折优惠；（3）通过协商可以享受9折优惠．请同学们根据上述优惠途径，设计出五种不同的优惠方案，并说明最佳方法． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据不同的优惠方法进行方案设计，理解每一种方案的优惠政策．可以独立使用一种优惠方案，也可以几种方案结合使用．根据题目中参观学习的有6名教师和8名三好学生，显然使用方案（1）和方案（3）结合起来是最佳方法． 【解答】解：设计五种优惠方案的方法： ①学生采用方法（1），老师原价； ②采用方法（2）； ③采用方法（3）； ④学生按方法（1），老师按方法（3）； ⑤部分学生按方法（1），部分学生和老师按方法（3）． 最佳方法为：8名学生使用方法（1），6名老师使用方法（3）． 21．附加题： 要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每所学校至少要分到一个名额． （1）试提出一种分配方案，使得分到相同名额的学校少于4所； （2）证明：不管怎样分配，至少有3所学校得到的名额相同； （3）证明：如果分到相同名额的学校少于4所，则29名选手至少有5名来自同一学校． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）答案不唯一，只要保证分到相同名额的学校少于4所，10所学校的名额和等于29即可； （2）假设没有3所学校得到相同的名额，可以用反证法进行分析证明； （3）假设每所学校分得的名额都不超过4，可以运用反证法进行证明． 【解答】解：（1）满足要求的分配方案有很多，如：学校对应的名额可以分别是：1，1，1，2，2，2，3，3，7，7； （2）假设没有3所学校得到相同的名额，而每校至少要有1名，则人数最少的分配方案是：每两所学校一组依次各得1，2，3，4，5个名额，总人数为2（1+2+3+4+5）＝30，但现在只有29个名额，故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相同； （3）假设每所学校分得的名额都不超过4，并且每校的名额不少于1，则在分到相同名额的学校少于4所的条件下，10所学校派出的选手数最多不会超过3×4+3×3+3×2+1×1＝28，这与选手总数是29矛盾，从而至少有一所学校派出的选手数不小于5． 22．问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题可根据小“+”字形的中心来求，那么小“+”字形的中心应该在6×6的方格中，每3×3的方格中最多可放2个因此“+”字形的最多的个数为8个． 【解答】解：8个． 证明：设“+”字形的中心为中间的那个方格， 显然所有的中心在6×6的方格内，而每个3×3的方格内最多放2个中心， 6×6的棋盘内够有3×3的个数为6×6÷（3×3）＝4， 因此最多的个数应该是4×2＝8个． 23．如图，是2006年6月的日历，现有一矩形在日历中任意框出3个数（由上至下分别记为a、b、c）． （1）试用等式表示a、b、c之间的关系； （2）若某个月里有三个星期日的日期为偶数，请推算出这个月的15日是星期几？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）日历上一竖列相邻的两个数相隔7．那么b﹣a＝c﹣b，整理得2b＝c+a； （2）有三个星期日的日期为偶数，这三个星期日应是不相邻的．并且两个偶数周日之间应相隔14天．∴设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，第三个周日的日期应不大于31． 【解答】解：（1）2b＝a+c（或a+b+c＝3b）； （2）因为每个周日的间隔是7日，所以若一个月中有三个星期日为偶数，则这三个星期日必定不会是连续的，而是两个偶数周日间间隔14日，一个月最多31日，设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，∴x+28≤31，解得x≤3；这样第一个星期日应该是2号，可推出该月的日历（如图），可得该月的15号是星期六． 24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM＝MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC＝∠N，AC＝BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系，进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确． 【解答】解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上． 延长AM到N，使AM＝MN，连接BN； 在△AMC和△NMB中， BM＝CM，∠AMC＝∠BMN，AM＝MN， ∴△AMC≌△NMB（SAS）； ∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC； 根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC， ∴∠MNB＜∠BAM， ∴BN＞AB， 即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾． 因而M在线段CD上是错误的． 所以点M不在线段CD上． 25．用几何符号语言表示“互为邻补角的平分线互相垂直”的题设与结论，并画出图形． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据题意画出图形，然后将命题的题设当做条件，将结论当做问题的结论，用几何语言描述出来即可． 【解答】解：已知：AB，CD相交于O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD， 求证：OE⊥OF． 26．某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车？ 【答案】见试题解答内容 【分析】易得6辆车全部开出需要20分钟的时间，进而得到从第五辆汽车回站就不能正点发车，依此可得最少时间． 【解答】解：∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6﹣1）＝20分钟． 此时站内又有出租车（20﹣2）÷6+1＝4（辆） 设再经过x分钟站内无车． 4 x＝48 48+20+4＝72（分钟） 答：经过至少72分钟站内无车．就不能正点发车． 27．某个信封上邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有4个编码如下： A、320651 B、105263 C、612305 D、316250 已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N． 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知，编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，逐一进行分析，分多种情况推理论证得出． 【解答】解：对于编码M考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同，设这两位是x1、x2．观察编码A、B、C，六个数位上的数都不同，于是B中与M中数字相同的数位必异于x1、x2，不妨设x3、x4，同理C中与M中数字相同的数位只能是异于x1、x2，x3、x4，设为x5、x6． 对于编码N也有类似的结论． 这就是说，在每个数位上，A、B、C在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同．同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同． 观察编码D，它各个数位上的数与A、B、C、相比，只有0，6完全不同，因此，0，6这两个数字必不是M、N，在相应数位上的数字，于是D、中的3、1、2、5四个数字中，只有一个数字与M在相应数位上的数字不同，与N相比，也有类似的结果． （1）若3不同，则1，2，5与M相应数位上的数相同，而个位不能为0，千位不能为6，因此只有两个可能 610253，013256； （2）若1不同，则3，2，5与M相应数位上的数相同，同样个位上不能为0，千位不能为6，因此只有两个可能： 360251，301256； 同样地，若2不同，也有两个可能： 312056，310652； 若5不同，也只有两个可能： 315206，310256． 对上述八种可能进行检验，知该信封上的编码M、N或者同为610253，或者同为310265，或者一个是610253，另一个是310265． 28．国际象棋比赛中，胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分，今有10名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后发现各选手得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第一名选手与第二名选手均没有负一局，第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，还知道第四名选手得分是最后四名选手的得分总和，问前六名选手各得分多少？说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．个人的最高得分是18分，因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分．接下来分三种情形讨论即可解决问题； 【解答】解：因为每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．因为个人的最高得分是18分，又因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分． 情形1：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，假设第四名选手得分12分，最后四名选手的得分总和为12分，由90﹣33﹣12﹣12＝20可知，第5名为11分，第6名为9分． 情形2：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为22分，两人中必有高于11分，与假设矛盾； 情形3：假设第一、二名选手的得分的和是32分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分12分，假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为24分，结果推出矛盾， 故第1名17分，第2名16分，第3名13分，第4名12分，第5名11分，第6名9分； 29．对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高 线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命 题会正确吗？ （1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”． ①等腰三角形两腰上的中线相等　真　 ②等腰三角形两底角的角平分线相等　真　 ③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　真　 （2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据命题的真假判断即可； （2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可． 【解答】解：（1）①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题； ②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题； ③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题； 故答案为：真；真；真； （2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形； 已知：如图，△ABC中，BD，CE分别是AC，BC边上的中线，且BD＝CE， 求证：△ABC是等腰三角形； 证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC的延长线于点F， ∵BD，CE分别是AC，BC边上的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵DF∥EC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴EC＝DF， ∵BD＝CE， ∴DF＝BD， ∴∠DBF＝∠DFB， ∵DF∥EC， ∴∠F＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC与△ECB中 ， ∴△DBC≌△ECB， ∴EB＝DC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 30．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【解答】已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C 求证：∠A＝∠D 证明：∵∠1＝∠3 又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠2 ∴EC∥BF ∴∠AEC＝∠B 又∵∠B＝∠C ∴∠AEC＝∠C ∴AB∥CD ∴∠A＝∠D 31．写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题为真命题． 【解答】解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题． 如图在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD＝BE， ∵BC＝BC， ∴△CBD≌△BCE（HL）， ∴∠DBC＝∠ECB， ∴△ABC为等腰三角形． 32．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）以三个条件的任意2个为题设，另外一个为结论组成命题即可； （2）根据平行线的性质进行证明． 【解答】解：（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN； ∴∠BAM＝∠CEN； 命题2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN； ∴AM∥EN； 命题3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN； ∴AB∥CD； （2）证明命题1： ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CEA， ∵AM∥EN， ∴∠3＝∠4， ∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4， 即∠BAM＝∠CEN． 33．今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人之得票数内，全村设有四个投开票所，目前第一、第二、第三投开票所已开完所有选票，剩下第四投开票所尚未开票，结果如表所示： 投开票所 候选人 废票 合计 甲 乙 丙 一 200 211 147 12 570 二 286 85 244 15 630 三 97 41 205 7 350 四 250 （单位：票） 请回答下列问题： （1）请分别写出目前甲、乙、丙三名候选人的得票数； （2）承（1），请分别判断甲、乙两名候选人是否还有机会当选村长，并详细解释或完整写出你的解题过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接根据题意将三个投票所得所有票数相加得出答案； （2）利用（1）中所求，进而分别分析得票的张数得出答案． 【解答】解：（1）由图表可得：甲得票数为：200+286+97＝583； 乙得票数为：211+85+41＝337； 丙得票数为：147+244+205＝596； （2）由（1）得：596﹣583＝13， 即丙目前领先甲13票， 所以第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选； 596﹣337＝259＞250， 若第四投票所250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选． 34．如图△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF． 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出1个你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）并证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF． 【解答】解：“如果①，③，那么②”， 证明：∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC． ∵AD＝BC，∠A＝∠B， ∴△ADF≌△BCE． ∴DF＝CE． ∴DF﹣EF＝CE﹣EF． 即DE＝CF． 对于“如果②，③，那么①”证明如下： ∵BE∥AF， ∴∠AFD＝∠BEC． ∵DE＝CF， ∴DE+EF＝CF+EF． 即DF＝CE． ∵∠A＝∠B， ∴△ADF≌△BCE． ∴AD＝BC． 35．如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件：　①AD∥BE；②∠1＝∠2；　． 结论：　③∠A＝∠E　． （2）证明你所构建的是真命题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论； （2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明． 【解答】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2； 结论：③∠A＝∠E， 故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E； （2）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E． 36．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．下面有三个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成以下三个命题：命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”；命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立”． （1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） 　Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ　； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据真命题的定义即可得出结论， （2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明． 【解答】解：（1）Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， 故答案为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ． （2）选择命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”； 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△ACE中， ∵ ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE． 37．如图，已知在△ABC中，∠1＝∠2． （1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （3）如果“已知在△ABC中，∠1＝∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）﹣（2）要使BE是△ABC的外角平分线，结合三角形的外角的性质∠ABD＝∠1+∠2，∠ABE＝∠DBE，∠1＝∠2，即可证明∠ABE＝∠1＝∠DBE＝∠2，进一步可得BE∥AC； （3）根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可证明． 【解答】解：（1）AC∥BE； （2）∠1＝∠ABE或∠1＝∠DBE； （3）是真命题，理由如下： ∵BE是△ABC的外角平分线， ∴∠ABE＝∠DBE， 又∵∠ABD是三角形ABC的外角， ∴∠ABD＝∠1+∠2， 即∠ABE+∠DBE＝∠1+∠2， 又∵∠ABE＝∠DBE，∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠1， ∴AC∥BE． 38．如图，有如下四个论断：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED． （1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由． （2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：（1） 如果①②③，那么④； 如果①②④，那么③； 如果①③④，那么②； 如果②③④，那么①； （2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA， 求证：EF平分∠BED． 证明：∵AC∥DE， ∴∠BCA＝∠BED， 即∠1+∠2＝∠4+∠5， ∵DC∥EF， ∴∠2＝∠5， ∵CD平分∠BCA， ∴∠1＝∠2， ∴∠4＝∠5， ∴EF平分∠BED． 39．【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DB＝DC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC． 【探究思考】 同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考： ①把题中的条件“DB＝DC”和结论“AB＝AC”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“D为BC上一点”改为“D为△ABC内部一点”，是否仍能得到AB＝AC？ 【问题解决】 （1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”； （2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】①根据AAS证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证得Rt△BDE≌Rt△CDF，推出∠EBD＝∠FCD，DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠DCB，由等式的性质∠ABC＝∠ACB，由等腰三角形的判定即可得到结论． 【解答】解：（1）是， 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DB＝DC； （2）是， 理由：如图2，在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠EBD＝∠FCD，DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 40．如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC． 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明． 已知：　AD∥BC，∠B＝∠C　 求证：　AD平分∠EAC　 证明： 【答案】见试题解答内容 【分析】本题答案不唯一，可以用（1）和（2）作为已知条件，（3）作为结论，构造命题．再结合图形说明命题的真假． 【解答】解：命题：已知：AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：AD平分∠EAC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC． 又∵∠B＝∠C， ∴∠EAD＝∠DAC． 即AD平分∠EAC． 故是真命题． 故答案为：AD∥BC，∠B＝∠C，AD平分∠EAC． 41．在学习了全等三角形和等边三角形的知识后，张老师出了如下一道题：如图，点B是线段AC上任意一点，分别以AB、BC为边在AC同一侧作等边△ABD和等边△BCE，连接CD、AE分别与BE和DB交于点N、M，连接MN．求证：△ABE≌△DBC． 接着张老师又让学生分小组进行探究：你还能得出什么结论？ 精英小组探究的结论是：AM＝DN 奋斗小组探究的结论是：△EMB≌△CNB． 创新小组探究的结论是：MN∥AC． （1）你认为哪一小组探究的结论是正确的？ （2）选择其中你认为正确的一种情形加以证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】由△ABD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ABE≌△DBC，由△ABE≌△DBC，可得∠EAC＝∠NDB，又由∠ABD＝∠MBN＝60°，利用ASA，可证得△ABM≌△DBN，△EMB≌△CNB，又可证得△BMN是等边三角形，于是得到结论． 【解答】解：（1）三个小组探究的结论都正确； （2）∵△ABD和△BCE是等边三角形， ∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE与△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴∠BAM＝∠BDN，∠AEB＝∠DCB， 在△ABM与△DBN中，， ∴△ABM≌△DBN（AAS）， ∴AM＝DN，BM＝BN， ∵∠MBN＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴∠BMN＝60°， ∴∠BMN＝∠ABM， ∴NM∥AC， 在△EMB与△CNB中，， ∴△EMB≌△CNB（AAS）． 42．请写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （1）同旁内角相等，两直线平行． （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等． 【答案】见试题解答内容 【分析】写出原命题的逆命题，根据平行线的性质、等角的概念判断即可． 【解答】解：（1）同旁内角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立； （2）如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立． 43．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE． （1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题： 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　平行　． （3）由此可以探究并得到： 如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相 　垂直　． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠1+∠2＝180°可得出∠1＝∠EFD，由“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出∠BEF＝∠CFE，进而得出∠3＝∠4，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出AB∥CD； （2）结合（1）的结论即可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行； （3）根据“两直线平行，同旁内角互补”结合角平分线的性质即可得出命题：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直． 【解答】解：（1）EM∥FN． 证明：∵∠1+∠2＝180°，∠EFD+∠2＝180°， ∴∠1＝∠EFD， ∴AB∥CD， ∴∠BEF＝∠CFE． ∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE， ∴∠3＝∠4， ∴EM∥FN． （2）由（1）可知EM∥FN， ∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行． 故答案为：平行． （3）由“两直线平行，同旁内角互补”可得出： 如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直． 故答案为：垂直 44．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②⇒③； B：①③⇒②； C：②③⇒① 请选择一个真命题　①③②　 进行证明（先写出所选命题，然后证明）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可． 【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE， 求证：AD＝AE． 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE． 故答案为：①③②． 45．如图，在△ABD和△ACE中，有①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE． （1）以①②③④中的任意三个作为条件，第四个作为结论，可以组成以下四个命题： 命题一：条件是①②③，结论是④． 命题二：条件是①②④，结论是③． 命题三：条件是②③④，结论是①． 命题四：条件是①③④，结论是②． 其中真命题是命题　命题一和命题二　；（填序号） （2）请你选择一个真命题进行证明，你选择命题　命题二　（填序号） 【答案】见试题解答内容 【分析】此题无论选择什么作为题设，什么作为结论，它有一个相同点﹣﹣都是通过证明△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质解决问题． 【解答】解：（1）命题一：条件是①②③，结论是④． ∵∠1＝∠2 ∴∠BAD＝∠CAE，而AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE ∴BD＝CE，正确； 命题二：条件是①②④，结论是③． ∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠1＝∠2．正确； 命题三：条件是②③④，结论是①，全等三角形判定中没有SSA，错误． 命题四：条件是①③④，结论是②，等三角形判定中没有SSA，错误． 故答案为：命题一和命题二； （2）选择命题二，证明如下：∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠1＝∠2． 故答案为：命题二． 46．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC ②DE＝DF ③BE＝CF 已知：EG∥AF，　AB＝AC　，　DE＝DF　． 求证：　BE＝CF　． 证明： 　作EG∥AF交BC于G， ∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB， ∴EB＝EG， 在△EGD和△FCD中， ， ∴EG＝CF， ∴BE＝CF　． 【答案】见试题解答内容 【分析】作EG∥AF交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，证明△EGD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF． 求证：BE＝CF． 证明：作EG∥AF交BC于G， ∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB， ∴EB＝EG， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD， ∴EG＝CF， ∴BE＝CF． 故答案为：AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF；作EG∥AF交BC于G， ∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB， ∴EB＝EG， 在△EGD和△FCD中， ， ∴EG＝CF， ∴BE＝CF 47．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． （1）全等三角形的对应角相等． （2）同旁内角互补，两直线平行． 【答案】见试题解答内容 【分析】先写出各命题的逆命题，判断出其真假即可得出答案． 【解答】解：（1）全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误； （2）同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确． 48．如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE．给出下列五个关系式：①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD+BC＝AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． （1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）．并给出证明； （2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果①②③，那么④⑤；先根据∠1＝∠F，∠D＝∠ECF，利用AAS证出△AED≌△FEC，得出AD+BC＝CF+BC＝BF，再根据∠1＝∠2，得出AB＝BF，即可证出AD+BC＝AB； （2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可． 【解答】解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠F，∠D＝∠ECF， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AD＝CF，AE＝FE， ∴AD+BC＝CF+BC＝BF， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠F， ∴AB＝BF， ∴AD+BC＝AB； ∵AB＝BF，AE＝FE， ∴∠3＝∠4； （2）如果①③④，那么②⑤； 如果①②④，那么③⑤； 如果①③⑤，那么②④． 49．已知命题：“P是等边△ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA＝PB＝PC．” （1）写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明． （2）进一步证明：点P到等边△ABC各边的距离之和为定值． 【答案】见试题解答内容 【分析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由PA＝PB，AC＝BC，根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD＝PE＝PF． 【解答】解：（1）逆命题：P 是等边三角形 ABC 内的一点，若 PA＝PB＝PC，则 P 到三边的距离相等． 该逆命题成立． 证明如下：∵PA＝PB， ∴P 在 AB 的垂直平分线上， ∵AC＝BC， ∴C 在 AB 的垂直平分线上， ∴CP 是 AB 的垂直平分线， ∴CP 平分∠ACB， 同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC， ∴P 是△ABC 三个角的角平分线的交点， ∴PD＝PE＝PF． （2）∵AB＝BC＝AC 且 S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC， ∴由面积法可得 P 点到各边的距离之和＝任意边上的高线长，即为定值． 50．如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题（只需要写出一种情况），并给予证明． ①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF． 已知：EG∥AF，　∠B　＝　∠ACB　，　DE　＝　DF　． 求证：　BE　＝　CF　． 【答案】见试题解答内容 【分析】以①②作为条件，③作为结论，证明即可． 【解答】已知：EG∥AF，∠B＝∠ACB，DE＝DF， 求证：BE＝CF， 证明：∵EG∥AF， ∴∠GED＝∠F，∠EGD＝∠DCF， ∵DE＝DF， ∴△EGD≌△FCD（ASA）， ∴∠EGD＝∠DCF，EG＝CF， ∵EG∥AF， ∴∠EGB＝∠ACB， ∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠EGB， ∴BE＝EG， ∴BE＝CF． 故答案为：∠B，∠ACB，DE，DF，BE，CF 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/6 21:07:45；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$