精品解析：贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题

高二年级联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容；人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第2.3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果. 【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 故选： 2. 直线：与：的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标. 【详解】联立方程组解得， 故与的交点坐标为. 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. 或1 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得或1． 故选：C 4. 若直线：与：平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线平行求参，再根据平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为，所以解得， 则：与：之间的距离． 故选：D. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理，逐项考查每个选项中三个向量是否共面即可. 【详解】对于因为，故三个向量共面； 对于 假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立， 即，，不共面； 对于,，故三个向量共面； 对于，故三个向量共面， 故选： 6. 若直线：经过第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以直线的斜率为标准，对参数分类讨论，解出即可. 【详解】若，则的方程为，不经过第四象限． 若，则的方程为，经过第四象限． 若且，将的方程转化为， 因为经过第四象限，所以或 解得或或． 综上知，的取值范围为， 故选： 7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，由面面垂直的性质得到平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】连接、，依题意可得，， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为，则， 得，取，得，易得与共线的一个向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故选：A 8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点坐标，易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为． 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即．设关于直线对称的点为，则得，即． 易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为． 故选：A． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 在方向上的投影向量为 C. 在方向上的投影向量为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，根据空间向量的坐标运算结合投影向量的定义逐项判断即可. 【详解】因为平面，平面，所以 又底面为矩形，所以， 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系 设，则 所以， 则在方向上的投影向量为，故A正确； 又，所以在方向上的投影向量为，故B不正确； 又，， 所以所以在方向上的投影向量为，故C正确； 又，所以在方向上的投影向量为，故D正确． 故选：ACD． 10. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B选项当时，符合题意；对于C选项，当或时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断. 【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确． 对于B选项，当时，符合题意，B正确． 对于C选项，当或时，符合题意，C正确． 对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确． 故选： 11. 若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】讨论、、三条直线交于一点得出的可能取值. 【详解】若，则解得． 若，则解得． 由解得即与的交点坐标为， 若过点，则，解得． 故选：BCD． 12. 在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案. 【详解】由题意得. 设的坐标为， 若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，，此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，此时的坐标为， 故选：ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：. 14. 已知，，三点在同一条直线上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用列出方程，解出即可. 【详解】因为，，三点在同一条直线上， 所以，即， 解得． 故答案为：. 15. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质计算即可. 【详解】因为， 所以 又二面角的平面角大小为， 四边形，均为边长为4的正方形， 所以， ， ， 所以，则． 故答案为： 16. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形． 由题可知，直线的方程为，直线的方程为． 设，其中，则，， 则，， 四边形的面积． 当时，取得最大值． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线经过点． （1）若与直线：垂直，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程； （2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【小问1详解】 由题可知，的斜率为， 设的斜率为，因为，所以，则， 又经过点，所以的方程为，即； 【小问2详解】 若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为， 将代入解析式得，解得， 故的方程为， 若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为， 由，得， 故的方程为， 综上，的方程为或. 18. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接，可得， 因为为的中点，且， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以 ， 因为平面，平面，且平面,平面， 所以， 又因为， 所以， 所以. 19. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角余弦公式求出答案； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案. 【小问1详解】 连接．因为底面是菱形，所以． 因为，分别为，的中点，所以，则平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由，，得，，，，则，， ， 故直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知．设平面的法向量为， 贝，解得， 令，得，故， 点到平面的距离为. 20. 在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，点，． （1）求点的坐标； （2）求等腰梯形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系及求出直线的方程，设，由列出方程，求出的值，检验后得到答案； （2）求出，由点到直线距离求出梯形的高，进而求出面积. 【小问1详解】 因为，所以． 又，所以直线的方程为，即． 设，由，得， 解得或． 当时，，不符合题意， 当时，与不平行，符合题意， 故点的坐标为． 【小问2详解】 ，， 点到直线：的距离， 故等腰梯形的面积． 21. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又底面为正方形，是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据线面平行判定定理证明即可得结论； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求平面与平面的法向量，在根据向量夹角余弦公式即可得所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，． 设，得， 则，． 因为，所以，解得， 从而，，． 设平面的法向量为，则 令，得 设平面的法向量为，则 令，得 故平面与平面的夹角的余弦值为 22. 已知的三个顶点是，，． （1）过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程； （2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求. 【小问1详解】 设则， 因为的面积是面积的3倍，所以， 则解得 故直线的方程为，即 【小问2详解】 显然，的斜率存在且不为零，设的方程为， 则过点且与垂直的直线的方程为 设点关于直线对称的点为， 因为直线的方程为， 所以 整理得 因为，所以，解得或 又，，所以， 故直线的方程为，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容；人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第2.3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：与：的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. 或1 D. 4或 4. 若直线：与：平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 若直线：经过第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 在方向上的投影向量为 C. 在方向上的投影向量为 D. 在方向上的投影向量为 10. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 12. 在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________． 14. 已知，，三点在同一条直线上，则________． 15. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________． 16. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线经过点． （1）若与直线：垂直，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 18. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 19. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 20. 在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，点，． （1）求点的坐标； （2）求等腰梯形的面积． 21. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 22. 已知的三个顶点是，，． （1）过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $