精品解析：湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

八上暑假学习反馈练习 数学 一. 选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：A、0.15是小数，属于有理数； B、=3，属于有理数； C、是无理数； D、是分数，属于有理数； 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律即可直接判断． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解某批次灯泡的使用寿命情况 B. 了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间 C. 企业招聘，对应聘人员的面试 D. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测 【答案】A 【解析】 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可得出结果． 【详解】解：A、了解某批次灯泡的使用寿命情况，适宜采用抽样调查，故A符合题意； B、了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间，适合普查，故B不符合题意； C、企业招聘，对应聘人员的面试，适合普查，故C不符合题意； D、在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，适合普查，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，理解抽样调查和全面调查的区别是解题关键． 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ；；，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 5. 要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线，即可判断解题． 【详解】解：A、图中为边上的高，不符合题意； B、图中不是高，不符合题意； C、图中为边上的高，符合题意； D、图中为边上的高，不符合题意； 故选：C． 6. 若一个正多边形的一个内角是135度，则这个多边形的边数为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的一个内角是135度，可得正多边形的一个外角是45度，即可求解． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是135度， ∴正多边形的一个外角是45度， ∴这个多边形的边数为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 7. 设三角形三边之长分别为3，8，a，则a的值可能为（　　） A. 11 B. 9 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系列出不等式，求出a的取值范围，进而确定a的可能取值． 【详解】解：根据题意得：，即， 即只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8. 如图，甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有甲 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法得出甲和乙与全等，丙与不全等． 【详解】解：在和甲的三角形中，两个角及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：， 所以甲和全等； 在和乙的三角形中，两角及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：， ∴乙和全等； 在和丙的三角形中，只有一边一角对应相等，不能判定甲与全等； 综上分析可知，和全等的是甲和乙，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 9. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案． 【详解】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 设∠A＝x，则x+2x+3x＝180， 解得：x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键． 10. 如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 二. 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据点到直线上各点的线段中，垂线段最短即可得出结论． 【详解】∵PQ⊥l，垂足为Q， ∴依据是垂线段最短的原理， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查点到直线上各点的线段中，垂线段最短的实际应用，理解基本定理是解题关键． 12. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____． 【答案】 【解析】 【分析】要把方程5x-2y=3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1； 【详解】5x-2y=3， 移项得：-2y=3-5x， 系数化1得： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可． 13. 已知点关于x轴对称的点的坐标是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，是一个五角星环饰，则________． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质，得 ， ， ， 故答案为： ． 15. 如图， 已知， 则________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由，可得，，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知不等式组无解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得，， 故答案为：． 三. 解答题（共9个小题， 第17、18、19题每题6分， 第20、21题每题8分， 第22、23题每题9分， 第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】先化简和计算绝对值，然后合并即可； 【详解】原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，求立方根，绝对值，混合运算中要熟练掌握运算法则． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法． （1）方程左右两边同除以3，再开平方即可； （2）方程左右两边同除以5，再开立方即可． 【小问1详解】 解：， 方程左右两边同除以3得，， 方程左右两边同时开平方得，， 解得，． 【小问2详解】 解：， 方程左右两边同除以5得，， 方程左右两边同时开立方得，， 解得，． 19. 已知△中，． （1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点． ④做射线； 请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）. ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA （2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长． 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）先证明，然后利用“等面积法”求解即可； 【小问1详解】 解：由作图过程得，，，则， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 根据的面积不变可得 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角、垂直定义、三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是解答的关键． 20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度； (2)请补全条形统计； (3)若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 【答案】(1)60、90； (2)补全图形如下： (3)900． 【解析】 【分析】（1）由基本了解的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角； （2）由（1）可求得了解很少的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 【详解】(1)接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝90°， 故答案为60、90． (2)“了解很少”的人数为60﹣(15+30+5)＝10人， (3)估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×＝900人． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图． 21. 如图，在中，，点是上一点，于点，于点． （1）若点是的中点，求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出； （2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 22. 为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元． （1）求A、B两种图书的单价各是多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种图书单价22元，B种图书单价25元 （2）共有三种方案：方案一：购买A种图书27本，购买B种图书33本；方案二：购买A种图书28本，购买B种图书32本；方案三：购买A种图书29本，购买B种图书31本 【解析】 【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买A种图书n本，B种图书本，根据题意列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：设A种图书单价x元，B种图书单价y元 根据题意得： 解得： 答：A种图书单价22元，B种图书单价25元； 【小问2详解】 设购买A种图书n本，B种图书本 根据题意得： 解得： ∵n为正整数 ∴n可取27，28，29， 共有三种方案： 方案一：购买A种图书27本，购买B种图书33本 方案二：购买A种图书28本，购买B种图书32本 方案三：购买A种图书29本，购买B种图书31本 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及不等式组的实际应用，根据题意，找出数量关系，是解题的关键． 23. 如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF． 【答案】 （1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． （2）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BCA＝∠E， ∴∠ACD＝∠E， ∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD； （3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M， ∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD， ∴AF＝AM， 又∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∵AC＝AE，∠CAE＝90°， ∴∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵AM⊥CE， ∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°， ∴CM＝AM＝ME， 又∵AF＝AM， ∴EC＝2AF． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA即可证得． （2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得． （3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC＝2AF． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 24. 若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式； 是 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组 是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【答案】（1）2；1 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； 【小问3详解】 解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． （1）如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； （2）如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； （3）已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， 轴，轴，， 四边形是正方形， 在和中， ， ， ． （2）5 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由可得，，再由证得，最后根据全等三角形的性质即可证得结论； （2）在轴负半轴上截取，连接，即可证得，，进而可得知面积分别相等和，再由面积公式即可求得结论； （3）①过点作于，由可证，继而可知，，即可求解；②在上截取，连接，由可证和，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 如图，在轴负半轴上截取，连接， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 【小问3详解】 ①如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ； ②，理由如下： 如图，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、二次根式和平方的非负性、三角形的面积公式，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上暑假学习反馈练习 数学 一. 选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 了解某批次灯泡的使用寿命情况 B. 了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间 C. 企业招聘，对应聘人员的面试 D. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个正多边形的一个内角是135度，则这个多边形的边数为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 7. 设三角形三边之长分别为3，8，a，则a的值可能为（　　） A. 11 B. 9 C. 5 D. 3 8. 如图，甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有甲 9. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二. 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是_______． 12. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____． 13. 已知点关于x轴对称的点的坐标是 ________． 14. 如图，是一个五角星环饰，则________． 15. 如图， 已知， 则________． 16. 已知不等式组无解，则a的取值范围是_______． 三. 解答题（共9个小题， 第17、18、19题每题6分， 第20、21题每题8分， 第22、23题每题9分， 第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知△中，． （1）如图1，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点． ④做射线； 请回答：这种作“”的方法的依据是________（填序号）. ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA （2）如图2，当时，（1）中的射线交于点，已知，，，求的长． 20. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　度； (2)请补全条形统计； (3)若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 21. 如图，在中，，点是上一点，于点，于点． （1）若点是的中点，求证：； （2）若，求的度数． 22. 为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元． （1）求A、B两种图书的单价各是多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？ 23. 如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF． 24. 若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式； 是 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组 是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． （1）如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； （2）如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； （3）已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $