11.2 乘法公式（第2课时 完全平方公式)（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除 11.2 乘法公式 第二课时 完全平方公式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点） 2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点） 学习目标 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 情景导入 新知探究 完全平方公式 (a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab 即两个数的和（或差）的平方，等于，加上（或减去）.这个公式叫完全平方公式. 对于满足完全平方公式特征的整式乘法，可以利用完全平方公式直接写 出运算结果．平方差公式与完全平方公式是常用的乘法公式． 课本例题 课本例题 练一练 练一练 课本例题 课堂练习 课堂练习 课堂练习 1. 下列式子中，可利用完全平方公式计算的是(　D　) A. (3 x － y )(－3 x － y ) B. (3 x － y )(3 x ＋ y ) D 分层练习-基础 2. 如果 x2＋ kxy ＋16 y2是一个完全平方式，那么 k 的值是(　D　) C. (－3 x － y )(－3 x ＋ y ) D. (－3 x － y )(3 x ＋ y ) A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 D 3. 如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是(　B　) A. a2－ b2＝( a － b )( a ＋ b ) B. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2 C. 4 ab ＝( a ＋ b )2－( a － b )2 D. ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2 B 4. 若 m － n ＝－4， mn ＝9，则( m ＋ n )2＝(　A　) A. 52 B. 50 C. 45 D. 60 A 5. 若 ＝ x2－4 xy ＋ k2 y2，则 k 的值为 ⁠. 6. [2024常州钟楼区月考]若( x ＋9 y )2＝( x －9 y )2＋ A ，则代数式 A 为 ⁠. ±6　 36 xy 　 7. 利用完全平方公式计算： (1) ；　　　 【解】原式＝ ＝3 600＋2＋ ＝3 602 . (2)1012＋992－98×102； 【解】原式＝(100＋1)2＋(100－1)2－(100－2)(100＋2) ＝1002＋200＋1＋1002－200＋1－(1002－4)＝1002＋6 ＝10 006. 8. (1)解方程：( x －1)2－ x2＝5； 【解】( x －1)2－ x2＝5， x2－2 x ＋1－ x2＝5， －2 x ＋1＝5， －2 x ＝4， x ＝－2. (2)化简：2 a ( a ＋ b )＋( a － b )2. 【解】2 a ( a ＋ b )＋( a － b )2 ＝2 a2＋2 ab ＋ a2－2 ab ＋ b2 ＝3 a2＋ b2. 9. 一个正方形的边长少了3 cm，它的面积就减少了39 cm 2，那么这个正方形的边长为(　B　) A. 9 cm B. 8 cm C. 7 cm D. 6 cm 10. [新考法·整体代入法 2024·成都锦江区模拟] 若( x －1)2＝2， 则代数式3 x2－6 x －5＝ ⁠. B －2　 分层练习-巩固 11. [2023成都武侯区期末]如图，从边长为 a ＋4的正方形纸片中剪去一个边长为 a 的正方形( a ＞0)，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为 ⁠. 8 a ＋16　 12. 已知 x ＋ ＝3，求下列各式的值：(1) ；　　　　 【解】因为 ＝ x2＋2＋ ， 所以 ＝ x2－2＋ ＝ x2＋2＋ －4＝ －4＝32－4＝5. (2) x4＋ . 【解】因为 ＝ x2－2＋ ， 所以 x2＋ ＝ ＋2＝5＋2＝7. 因为 ＝ x4＋2＋ ， 所以 x4＋ ＝ －2＝72－2＝47. 13. [新考法 推导验证法] 利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式： a2＋ b2＋ c2－ ab － bc － ac ＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]. (1)请你检验这个等式的正确性； 【解】右边＝ ( a2－2 ab ＋ b2＋ b2－2 bc ＋ c2＋ c2－2 ac ＋ a2) ＝ (2 a2＋2 b2＋2 c2－2 ab －2 bc －2 ac ) ＝ a2＋ b2＋ c2－ ab － bc － ac ＝左边. (2)若 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025，你能很快求出 a2＋ b2＋ c2－ ab － bc － ac 的值吗？试求出这个值. 【解】当 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025时， 原式＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]＝ ×(1＋1＋4)＝3. 14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数(即十位数字和个位数 字组成的两位数)一定是25”.这一结论可用下面的方法进行证明.设个位数字是 5的自然数为10 a ＋5( a 为自然数)， 则(10 a ＋5)2＝100 a2＋100 a ＋25＝100( a2＋ a )＋25. 这说明平方后的末两位数一定是25. 请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是25的自然数，平方后的末三位数(即依次由百位、十位和个位数字组成的三位数)一定是多少？”并给出证明. 【解】平方后的末三位数一定是625. 证明：设末尾数字是25的自然数为100 a ＋25( a 为自然数)， 则(100 a ＋25)2＝10 000 a2＋5 000 a ＋625＝1 000(10 a2＋5 a )＋625. 这说明平方后的末三位数一定是625. 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2 课堂小结 (4)原式＝(－4y)2－2×(－4y)×eq \f(1,4)＋(eq \f(1,4))2＝16y2＋2y＋eq \f(1,16). 1.计算： (1)(4x＋y)2；　　(2)(a－eq \f(1,2))2； (3)(－2a＋5)2; (4)(－4y－eq \f(1,4))2. 【规范解答】(1)原式＝(4x)2＋2×4x×y＋y2＝16x2＋8xy＋y2； (2)原式＝a2－2×a×(eq \f(1,2))＋(eq \f(1,2))2＝a2－a＋eq \f(1,4)； (3)原式＝(－2a)2＋2×(－2a)×5＋52＝4a2－20a＋25； 2.计算：(2a＋3b－c)2. 原式＝[2a＋(3b－c)]2＝4a2＋4a(3b－c)＋(3b－c)2 ＝4a2＋12ab－4ac＋9b2－6bc＋c2. $$