11.2 乘法公式（第1课时 平方差公式)（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除 11.2 乘法公式 第一课时 平方差公式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点） 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点） 学习目标 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习导入 ①(x ＋1)( x－1)； ②(m ＋2)( m－2)； ③(2m＋1)(2m－1)； ④(5y ＋z)(5y－z). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算：看谁算得又快又准. 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2 新知探究 平方差公式 概念归纳 满足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接写出运算结果． 课本例题 课本例题 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 1.下列式子中，可以用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋2)(2＋x)　　 B．(x＋y)(－x－y) C．(2x＋y)(y－2x) D．(2x－y)(x＋2y) C 练一练 (3)原式＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)＝(x4－1)(x4＋1)(x8＋1)＝(x8－1)(x8＋1)＝x16－1. 2.计算： (1)(5x2＋3y2)(5x2－3y2)； (2)(－2a＋b)(－2a－b)； (3)(x－1)(x＋1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)． 【规范解答】(1)原式＝(5x2)2－(3y2)2＝25x4－9y4； (2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2； 课堂练习 = ²- ² =4²-25 =1²-（2a）² =1-4a² = （ ）² = = =（）²-（ ）² =4- =（-2x-3 ）（-2x+3） =（-2x）²-3² =4x²-9 =x²-（2y）²+（2x）²-y² = x²-4y ²+4x² -y² =5x²-5 y² 课堂练习 1. 下列各式能用平方差公式计算的是(　B　) A. ( x －3)(3－ x ) B. (－2 x －1)(－2 x ＋1) B 分层练习-基础 2. 乘积等于 a2－ b2的式子是(　C　) C. ( x －3)(2 x ＋3) D. (－ x －3)( x ＋3) A. ( a ＋ b )(－ a ＋ b ) B. (－ a － b )( a － b ) C. (－ a ＋ b )(－ a － b ) D. 以上都不对 C 3. 计算 a2－( a ＋1)( a －1)的结果是(　A　) A. 1 B. －1 C. 2 a2＋1 D. 2 a2－1 4. [新考法 整体代入法]已知( x ＋2)( x －2)－2 x ＝1，则2 x2－4 x ＋3的值为(　) A. 13 B. 3 C. －3 D. 5 A A 5. 已知 M ＝2 0242， N ＝2 023× 2 025，则 M 与 N 的大小关系是(　A　) A. M ＞ N B. M ＜ N C. M ＝ N D. 不能确定 【解析】∵ M ＝2 0242， N ＝2 023×2 025＝(2 024－1)(2 024＋ 1) ＝2 0242－1，∴ M － N ＝2 0242－(2 0242－1)＝1＞0， ∴ M ＞ N . A 6. 若(2 x ＋3 y )( mx － ny )＝9 y2－4 x2，则 m ， n 的值分别为 ⁠. －2，－3　 【解】原式＝ ＝92－ ＝80 . 7.计算： (1)9 ×8 ；　　　 (2) . 【解】原式＝ ＝ ＝ ＝21. 8. [整体思想 2024·北京房山区二模]已知 x2－ x －1＝0， 求式子( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)的值. 【解】( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2) ＝ x2－9＋ x2－2 x ＝2 x2－2 x －9 ＝2( x2－ x )－9. ∵ x2－ x －1＝0，∴ x2－ x ＝1， ∴原式＝2×1－9＝2－9＝－7. 9. 若(4＋ m2)( m ＋2)(　　)＝16－ m4，则括号内应填入的代数式为(　B　) A. m －2 B. 2－ m C. 2＋ m D. m －9 B 分层练习-巩固 10. 如果(2 a ＋2 b ＋1)(2 a ＋2 b －1)＝15，那么 a ＋ b 的值为(　D　) A. ±8 B. －4 C. 2 D. ±2 D 11. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是(　A　) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 A 【解析】设大正方形的边长为 x ，小正方形的边长为 y ， 则 AE ＝ x － y ，由题意，可知 x2－ y2＝30.阴影部分的面积 是 AE · BC ＋ AE · DB ＝ ( x － y )· x ＋ ( x － y )· y ＝ ( x － y )( x ＋ y )＝ ( x2－ y2)＝ ×30＝15. 12. 三个连续偶数，若中间一个数是 n ，则它们的积为 ⁠ ⁠. 13. [2023常德武陵区一模]已知 x ， y 满足方程组 则4 x2－36 y2的值为 ⁠. n3－4 n 　 －80　 【解析】4 x2－36 y2＝4( x2－9 y2)＝4( x －3 y )( x ＋3 y ) ＝4×4×(－5)＝－80. 14. 小丽在计算3×(4＋1)×(42＋1)时，把3写成(4－1)后，发现可以连续运用平方差公式进行计算.用类似的方法计算： × × ＋ ＝ ⁠. 2　 【解析】 × × ＋ ＝2× × ＋ ＝2× × ＋ ＝2× ＋ ＝2－ ＋ ＝2. 【解题技巧】(1)用平方差公式简算的前提是两数和与两数差的形式； (2)若没有差的形式可添项运算，前提是添项之后必须保持原结果不变； (3)若出现连续加减的可考虑分组展开，以达到简算的目的. 15. 如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 a ， b 的正方形秧田 A ， B ，其中不能使用的面积为 M (阴影部分). (1)用含 a ， M 的代数式表示 A 中能使用的面积 ⁠⁠； (2)若 a ＋ b ＝10， a － b ＝5，求 A 比 B 多出的使用面积. a2－M 　 【解】A 比 B 多出的使用面积为( a2－ M )－( b2－M )＝a2－ b2 ＝( a ＋ b )( a － b )＝10×5＝50. 答： A 比 B 多出的使用面积为50. 16. [2024石家庄桥西区质检]发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数.若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数. 验证：如(2＋3)2－22＝ ， (3＋4)2－32＝ .　 探究：设“发现”中的两个已知正整数为 n ， n ＋ m (两数之差为 m )，请说明“发现”中的结论的正确性. 21　 40　 【解】探究：( n ＋ m )2－ n2＝( n ＋ m ＋ n )( n ＋ m － n )＝ m (2 n ＋ m ). 当 m 为奇数时，因为2 n 为偶数，所以2 n ＋ m 为奇数，所以 m (2 n ＋ m )为奇数； 当 m 为偶数时，因为2 n 为偶数，所以2 n ＋ m 为偶数，所以 m (2 n ＋ m )为偶数. 17. 如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.图②是将图① 中的阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如 图①，阴影部分的面积是 ；比较图①，图②阴影部分的面积，可以 得到乘法公式 ⁠ ( a ＋ b )( a － b )　 a2－ b2　 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2　 分层练习-拓展 课堂小结 一级标题：黑体， 26 S2＝eq \f(1,2)(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 3．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． (1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 解：(1)S1＝a2－b2， $$