第12章 第19讲 全等三角形应用的常见类型-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第19讲 全等三角形应用的常见类型 老师告诉你 全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等. 类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用 【典例剖析】 例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF． （Ⅰ）求证：CF=AE； （Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长． 例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB． 【针对训练】 1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E． 2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：． 3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M． （1）求证：∠ACD=∠BCE； （2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数． 类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用 【典例剖析】 例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； 例2-2．综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____； 【针对训练】 1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论． 2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G． （1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数； （2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长； （3）求证：BG=EG． 3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：BE=CF； （2）若BG=CA，求证：GA=2DE． 类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用 【典例剖析】 例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证： ①AD∥BC； ②∠B=∠D． 【针对训练】 1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC⊥BE． 2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：． 3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF． 类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用 【典例剖析】 例4-1．如图，，. （1）求证：； （2）若，.求的度数. 例4-2．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F， （1）求证：； （2）当，，时，求AC的长. 【针对训练】 1．如图.点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 2．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 3．如图,以的两边AC,BC为边分别向外作和,使得,,. （1）求证:; （2）若,,求的度数. 4．如图,C是线段AB的中点,CD平分,CE平分,. （1）求证:; （2）若,求的度数. 类型五、全等三角形在生活实际中的应用 【典例剖析】 例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm. （1）试说明：OE=BD； （2）求DE的长． 例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的米尺 测量步骤 ①测量出线段FD的长度 ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF=2.5米，AB=5米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由． （2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明． 【针对训练】 1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁； ②再往前走相同的距离，到达C点； ③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来． 测量数据 AB=10米，BC=10米，CD=5米 （1）凉亭与游艇之间的距离是 _____米． （2）请你说明小明做法的正确性． 2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图． 3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第19讲 全等三角形应用的常见类型（解析版） 老师告诉你 全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等. 类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用 【典例剖析】 例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF． （Ⅰ）求证：CF=AE； （Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长． 【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论； （Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可． 证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DE=DC，∠AED=90°， 在Rt△CDF与Rt△EDA中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL）， ∴CF=AE； （Ⅱ）∵CF=AE，AE=3， ∴CF=3， ∵BF=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠DEB=∠C， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△BED和△BCD中， ， ∴△BED≌△BCD（AAS）， ∴BE=BC=7， ∴AB=BE+AE=7+3=10． 例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB． 【解析】由平行线的性质可得∠A=∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD=EC． 证明：∵BD∥CE， ∴∠ABD=∠C， 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB（SAS）， ∴AD=EB． 【针对训练】 1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E． 【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E． 证明：∵AF=DC， ∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF， ∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠B=∠E． 2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】先根据条件得出，，再根据判定，即可得到． 解：证明：， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M． （1）求证：∠ACD=∠BCE； （2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数． 【解析】（1）根据SSS证明△ABC≌△DEC，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据AAS证明△AGC≌△DHC，进而利用全等三角形的性质解答即可． 证明：（1）在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SSS）， ∴∠ACB=∠DCE， ∴∠ACD=∠BCE； （2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠A=∠D，AC=DC， ∵∠AGC=∠DHC=90°， 在△AGC和△DHC中， ， ∴△AGC≌△DHC（AAS）， ∴CG=CH， ∴MC平分∠BMD， ∴∠BMD=2∠BMC=2×78°=156°． 类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用 【典例剖析】 例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE； 【解析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； ②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案． （1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，CD=BE， ∵DC+CE=DE， ∴AD+BE=DE． （2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中 ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． 例2-2．综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____； 【答案】(1)BE=CF;(2)30;(3)BF=CF+2AM; 【解析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出． 解：（1）BE=CF，∠BDC=30°， 理由如下：如图1所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰三角形， ∴AB=AC，AE=AF， 又∵∠BAC=∠EAF=30°， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE=CF， ∴∠ABE=∠ACD， ∵∠AOE∠ABE+∠BAC， ∠AOE=∠ACD+∠BDC， ∴∠BDC=∠BAC=30°； （2）BE=CF，∠BDC=60°， 理由如下：如图2所示： 证明：∵∠BAC=∠EAF=120°， ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC， 即∠BAE=∠CAF， 又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形， ∴AB=AC，AE=AF， ∴△BAE≌△CAF（SAS） ∴BE=CF， ∴∠AEB=∠AFC， ∵∠EAF=120°，AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE=30°， ∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30°）=60°； （3）BF=CF+2AM， 理由如下：如图3所示： ∵△ABC和△AEF都是等腰三角形， ∴∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC，AE=AF， ∴∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE， 即：∠BAE=∠CAF， ∴△BAE≌△CAE（SAS）， ∴BE=CF， ∵AM⊥BF，AE=AF，EAF=90°， ∴EF=2AM， ∵BF=BE+EF， ∴BF=CF+2AM； 【针对训练】 1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【解析】先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明，在上截取，先证明，得出，再证明，得出，即可解决问题． ， 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在上截取， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G． （1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数； （2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长； （3）求证：BG=EG． 【解析】（1）由∠ADC+∠DAF=90°，∠GAE+∠DAF=90°，得∠ADC=∠GAE=70°； （2）可证明△EAH≌△ADF，EH=AF，AH=DF，则EH+DF=AF+AH=HF=7； （3）作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，可证明△BAI≌△ACF，得BI=AF，而EH=AF，所以BI=EH，可证明△BGI≌△EGH，则BG=EG． （1）解：如图1，∵AF⊥CD， ∴∠AFD=90°， ∴∠ADC+∠DAF=90°， ∵∠DAE=90°， ∴∠GAE+∠DAF=90°， ∴∠ADC=∠GAE=70°， ∴∠ADC的度数是70°． （2）解：如图2，∵EH⊥GF， ∴∠EHA=∠AFD=90°， 由（1）得∠EAH=∠ADF， 在△EAH和△ADF中， ， ∴△EAH≌△ADF（AAS）， ∴EH=AF，AH=DF， ∴EH+DF=AF+AH=HF=7， ∴EH+DF的长是7． （3）证明：如图3，作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I， ∴∠I=∠EHG=∠AFC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAI=∠ACF=90°-∠CAF， 在△BAI和△ACF中， ， ∴△BAI≌△ACF（AAS）， ∴BI=AF， 由（2）得EH=AF， ∴BI=EH， 在△BGI和△EGH中， ， ∴△BGI≌△EGH（AAS）， ∴BG=EG． 3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：BE=CF； （2）若BG=CA，求证：GA=2DE． 【解析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE=CF； （2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE=AF，从而解决问题． 证明：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠F， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE=CF； （2）在Rt△BGE和Rt△CAF中， ， ∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL）， ∴GE=AF， ∴AG=EF． ∵△BED≌△CFD， ∴DE=DF， ∴GA=2DE． 类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用 【典例剖析】 例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE． 求证：（1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可． （2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可． 证明：（1）∵AD∥BE， ∴∠A=∠B， 在△ACD和△BEC中 ∴△ACD≌△BEC（SAS）， （2）∵△ACD≌△BEC， ∴CD=CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE． 例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证： ①AD∥BC； ②∠B=∠D． 【解析】①连接AC，由AB=CD，BC=DA，AC=CA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△CDA，得∠ACB=∠CAD，则AD∥BC； ②由△ABC≌△CDA，得∠B=∠D． 证明：①连接AC， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD∥BC． ②△ABC≌△CDA， ∴∠B=∠D． 【针对训练】 1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC⊥BE． 【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD； （2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD-45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论． （1）△ABE≌△ACD． 证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°． ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE． 即∠BAE=∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD； （2）证明∵△ABE≌△ACD， ∴∠ACD=∠ABE=45°， 又∵∠ACB=45°， ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°， ∴DC⊥BE． 2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】先证明，利用全等三角形的性质解题即可． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF． 【解析】根据平行线的性质得出∠ACE=∠DBF，求出AC=BD，根据全等三角形的判定得出△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠D，根据平行线的判定得出即可． 证明：∵CE∥BF， ∴∠ACE=∠DBF， ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC， 即AC=BD， 在△AEC和△DFB中， ， ∴△AEC≌△DFB（SAS）， ∴∠A=∠D， ∴AE∥DF． 类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用 【典例剖析】 例4-1．如图，，. （1）求证：； （2）若，.求的度数. 答案：（1）见详解 （2） 解析：（1）证明：在与中， ， ， ； （2）， ， ，. ， . 例4-2．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F， （1）求证：； （2）当，，时，求AC的长. （1）答案：见解析 解析：， ，， 是边上的中线， ， ； （2）答案：3 解析：， ， ， ，， . 【针对训练】 1．如图.点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 答案：（1）见解析 （2）4 解析：（1）在和中， ， ； （2），， ， 又， . 2．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 答案：（1）见解析 （2）3 解析：（1）， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， . 3．如图,以的两边AC,BC为边分别向外作和,使得,,. （1）求证:; （2）若,,求的度数. 答案：（1）见解析 （2） 解析:（1）证明:, , 即. 又,, ; （2）由（1）得, ,, . , , . 4．如图,C是线段AB的中点,CD平分,CE平分,. （1）求证:; （2）若,求的度数. 答案：（1）证明见解析; （2）. 解析:（1）点C是线段AB的中点, , 又平分,CE平分, ,, 在和中, （2） . 类型五、全等三角形在生活实际中的应用 【典例剖析】 例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm. （1）试说明：OE=BD； （2）求DE的长． 【解析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论； （2）利用全等三角形性质可得答案． 解：（1）∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE=90°， ∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO=∠ODB=90°， ∴∠BOD+∠B=90°， ∴∠COE=∠B， ∵OC=BO， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE=BD； （2）∵△COE≌△OBD， ∴CE=OD=15cm, ∴DE=OD-OE=7cm. 例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的米尺 测量步骤 ①测量出线段FD的长度 ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF=2.5米，AB=5米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由． （2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明． 【解析】（1）证明△BAC≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出BC=EF； （2）延长BC交EF于点M，由全等三角形的性质得出∠BMF=90°，则可得出结论． 解：（1）BC=EF． 理由：∵EH=DH=2.5米， ∴ED=5米， ∴AB=DE， 由题意可知四边形CADH为矩形， ∴CA=DH=2.5米， ∵DF=2.5米， ∴CA=DF， ∵∠BAC=∠EDF=90°， ∴△BAC≌△EDF（SAS）， ∴BC=EF； （2）BC⊥EF． 理由：延长BC交EF于点M， ∵∠EDF=90°， ∴∠F+∠EDF=90°， ∵△BAC≌△EDF， ∴∠B=∠DEF， ∴∠B+∠F=90°， ∴∠BMF=90°， ∴EF⊥BM． 【针对训练】 1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁； ②再往前走相同的距离，到达C点； ③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来． 测量数据 AB=10米，BC=10米，CD=5米 （1）凉亭与游艇之间的距离是 _____米． （2）请你说明小明做法的正确性． 【答案】5 【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 解：（1）凉亭与游艇之间的距离是5米； 故答案为：5． （2）理由：在△ABS与△CBD中， ， ∴△ABS≌△CBD（ASA）， ∴AS=CD=5米． 2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图． 【解析】方案设计为：从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽；然后根据全等三角形的判断方法证明△ACB≌△DCE，从而得到AB=DE． 解：方案设计为： 从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽． 理由如下：∵AD⊥AB，BE⊥AD， ∴∠BAC=∠EDC， ∵∠BCA=∠ECD，AC=DC， ∴△ACB≌△DCE（ASA）， ∴AB=DE． 3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由． 【解析】∠BAD与∠CAD相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA=OA公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等． 解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD， 理由如下： ∵AB=AC，AE=AB，AF=AC， ∴AE=AF， 在△AOE与△AOF中， ， ∴△AOE≌△AOF（SSS）， ∴∠BAD=∠CAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$