精品解析：福建省福州市部分高中2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题

福建省福州市2024-2025学年上学期部分区县高二开学联考数学试卷 【满分：150】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 4. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知为双曲线左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 11. 已知函数的部分图象如图所示下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴方程为直线 C. 函数的单调递减区间为 D. 若对于任意，都有成立，实数的取值范围为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角，为锐角，且，，则角______． 13. 已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足__________． 14. 若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）若，求||的值； （2）若，求值． 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图是函数图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）记方程在上根从小到大依次为，若，试求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州市2024-2025学年上学期部分区县高二开学联考数学试卷 【满分：150】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解. 【详解】由， 函数值域， 又对任意的实数，在区间上的值域均为， 则， 解得， 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 3. 在中，角的对边分别为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断. 【详解】因为，又， 即，由正弦定理可得， 即，所以为直角三角形且为直角. 故选：B 4. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出辅助线，得到或其补角为线与所成的角，求出，结合，利用余弦定理求出余弦值. 【详解】取的中点，连接， 因为E，F分别是，的中点， 所以，故或其补角为直线与所成的角， ， 又， 故， 故直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 5. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求的最值，利用外接圆数形结合可求最值. 【详解】设，如图， 由题意，即在平行四边形中，，， 求的最大值. 延长至，使，则， 由正弦定理，三点所在外接圆的直径， 所以，设圆心为，如图， 所以可知，又， 所以由余弦定理可得， 则由图象可知， 故选：C 6. 已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移的原则得的表达式，根据的范围得出的范围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果. 【详解】将函数向左平移个单位长度后得到函数， 即， ∵，∴， ∵在上有且仅有两个不相等的实根， ∴，解得， 即实数的取值范围是， 故选：B. 7. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质逐项分析. 【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形， 平面，平面，平面， 平面，又，所以与AM是异面直线，正确； 对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，， 又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确； 对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面， 即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图： 当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM， 四点共面，平面，， 即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图： 错误； 对于④，在正方形ABCD内， 所以，又平面ABCD，平面ABCD， ，平面，平面， 平面AEM，平面平面，正确； 故选：C. 【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状. 8. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，，由两角差的正切公式计算可得，根据正弦定理建立a与c的方程，结合离心率的定义即可求解. 【详解】因为且的垂直平分线经过点A， 所以为等腰三角形且， 在中，， 由， 得，解得，由正弦定理可知： ，即， 有，整理得， 即，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据和，结合正弦定理建立关于a与c的方程，解方程即可. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘方以及除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】,在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限，A正确， ，B错误， ，C正确， ，故D错误， 故选：AC 10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D. 【详解】因为，，， 所以，，， 对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得， 即与不共线，故A错误； 对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：设平面的法向量， 则，取，得，故D正确； 故选：BD 11. 已知函数的部分图象如图所示下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象的对称轴方程为直线 C. 函数的单调递减区间为 D. 若对于任意，都有成立，实数的取值范围为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图，求出，再利用正弦函数的性质逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的周期，，解得，A正确； 对于B，由，得， 而，则，即， 由，解得， 函数的图象的对称轴方程为直线，B正确； 对于C，由，得， 因此函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，当时，，，即， 由，显然，， 因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角，为锐角，且，，则角______． 【答案】 【解析】 【分析】由于，由两角差的正切公式求解. 【详解】由为锐角，，且， 则，， 所以， 又为锐角，所以. 故答案为： 13. 已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足__________． 【答案】. 【解析】 分析】方法1：运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果. 方法2：先计算、，再运用A，B，C三点共线则列方程可得结果. 【详解】方法1：因为A，B，C三点共线，所以设， 即：， 所以，消去m得：. 方法2：， ， 因为A，B，C三点共线，所以， 故，所以． 故答案为：. 14. 若曲线与圆恰有4个公共点，则取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围. 【详解】因为曲线与圆恰有4个公共点， 所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上， 则有,解得． 故答案为:. 四、解答题：本题共5分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）若，求||的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方化简求解即可； （2）将两边平方化简得到，根据求解即可 【小问1详解】 ∵ ∴，∴，即 【小问2详解】 ，∴，即 ． 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程. （2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程. 【小问1详解】 ，的中点坐标为，直线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为，即， 联立得，即圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为 【小问2详解】 设，，因为线段的中点， 所以，则， 因点在圆上运动，所以， 则， 即的轨迹方程为. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用同角三角函数关系求值再根据角的范围判断符号即可； （2）先根据同角三角函数关系求值再应用诱导公式求值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即. 因为，则，所以，， 因为，所以. 【小问2详解】 由解得，， 所以； 所以. 18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． 19. 如图是函数图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式； （2）根据正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令， ，即，结合正弦函数的图象及对称性计算可得. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，又， 则，所以， 又函数过点，所以，则， 则，解得， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 令，，解得，， 令，，解得，． 因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 【小问3详解】 方程，即，即， 因为，所以， 设，其中，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即， 又的对称轴为， 不妨设个解从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称， 所以，，， 即，，， 解得，，． 所以， 所以，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程在区间上的解的个数，结合正弦函数的图象及对称性计算得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$