精品解析：河南省周口市恒大中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024-2025学年（上）高二数学开学考试卷 数学试题 试卷考试时间：120分钟 满分：150 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得. 故选：B. 2. 设向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据已知求出，即得的最小值. 【详解】由题得， 因为，所以， 因为， 所以当时，， 所以的最小值为1. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 设复数（是虚数单位），则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法、复数乘法运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 4. 已知向量，，，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】向量垂直的定义及向量的数量积坐标公式计算即可． 【详解】因为，，，故 故选：B 5. 若直线平面，直线平面，，则（ ） A. 或与异面 B. C. 与异面 D. 与相交 【答案】B 【解析】 【分析】过作平面交平面于，过作平面交平面于，通过线面平行的性质定理、判定定理、平行公理可以判断出的位置关系. 【详解】如图，过作平面交平面于，过作平面交平面于，因，所以. 因为，所以. 所以，又，所以，又，所以，所以. 故选：B 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理论证能力. 6. 2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术” 五个专区为、、、、； 从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件； 选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即专区），所对应的基本事件有：，，，，共个基本事件； 因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是. 故选：C 7. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：B 8. 的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得. 【详解】由得，又，所以，从而，所以. 故选：B 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 如图，在正方体中，P为棱上动点，平面，Q为垂足，则（ ）． A. B. 平面截正方体所得的截面可能为三角形 C. 当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大 D. 线段的长度随线段的长度增大而增大 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求证即可判断；对于B，由等边即可判断；对于C，由外接球半径和（的外接圆半径为r）即可判断；对于D，由和随AP的增大而变小可判断. 【详解】选项A，连接，CQ，则，，又因为，， 所以，故，选项A正确； 选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确； 选项C，平面DCP，记的外接圆半径为r， 则外接球半径，由正弦定理得， 当P位于AB中点时，，则， ，选项C错误； 选项D，为定值， 过P作于点M，过M作，则， 如图，可知随AP的增大而变小， 所以由为定值可知，随AP的增大而增大， 故选项D正确． 故选：ABD. 10. 如图(a)，边长为2的正方形 AP₁P₂P₃中，B，C分别是P₁P₂，P₂P₃的中点，AP₂交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个四面体，如图(b)，使P₁，P₂，P₃三点重合，重合后的点记为P，则有（ ） A. 平面PAD⊥平面PBC B. 四面体 P-ABC 的体积为 C. 点P到平面ABC的距离为 D. 四面体 P-ABC 的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理判断A；利用锥体的体积公式结合等积变换可判断BC；利用三棱锥的外接球即是以为棱长的长方体的外接球判断D. 【详解】对于A，由已知可得，平面， 则⊥平面，又平面，故平面平面，故A正确； 对于B，因为两两垂直，则，故B正确； 对于C，设到平面ABC的距离为，， ，解得．点P到平面ABC的距离为，故C错误； 对于D，因两两垂直，故三棱锥的外接球即是以为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的体积为，故D正确， 故选：ABD． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（ ） A. 边上的中线长为 B. 内切圆的面积为 C. 与面积之比为3:2 D. 到的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】如图，取边上的中点，则边上的中线为，两边同时平方结合向量数量积即可判断A；设内切圆的为，由，求出即可判断B；由角平分线定理，，可判断C；到的距离为，求出代入可判断D. 【详解】如下图，取边上的中点， 则边上的中线为，则， ，又因为， 则，则. 故A不正确； 因为，设内切圆的为， ，则，则， 内切圆的面积为：，故B正确. 对于C，由角平分线定理知：，所以C正确； 对于D，因为，在三角形和三角形中， ，则，解得：， 所以，所以， 所以， 所以到距离为：，故D不正确. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可） ①；②；③；④. 【答案】①③（或②④） 【解析】 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案. 【详解】选①②， 若，，则可能，不正确； 选①③， 若，，则，正确； 选①④， 若，，则可能，不正确； 选②③， 若，，则可能，不正确； 选②④， 若，，则，正确； 选③④， 若，，则可能，不正确； 故答案为：①③（或②④） 13. 如图，在四边形中，设，，，则可用表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量的加法与减法法则，在图形中寻找回路即可得到答案. 【详解】. 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题. 14. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理可得，由梯形的中位线即可求解. 【详解】四边形ABCD是梯形，AB//CD， 且AB//平面α，平面平面， 则， 又点M是AD的中点， 所以是梯形的中位线， 所以. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共计77分.） 15. 化简下列各式： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 如图，有一块三棱锥形木块ABCD，其中面ABC内有一点P． （1）若要在面ABC内过点P画一条线段EF，其中点E在线段AB上，点F在线段AC上，且满足EF与AD垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明． （2）经测量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝ ，若P恰为三角形ABC的重心，EF为（1）中所求线段，求三棱锥ADEF的体积． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在AD上任取一点Q；过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB 于G；过点Q在平面ACD 内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF； 若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF. （2）取BC中点M，连MA、MD，由余弦定理求得，根据线面垂直的判定证得面MAD，由已知得三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的，根据棱锥的体积公式可求得答案. 【小问1详解】 解：如图，在AD上任取一点Q； 过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB 于G；过点Q在平面ACD 内作AD的垂线，交AC于H；连接GH，若GH过点P，则GH就是所求线段EF； 若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB、AC相交即得线段EF. 小问2详解】 解：取BC中点M，连MA、MD，因为P为三角形ABC的重心，故P在AM上，且AP=2PM.由题意知，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝ ， 所以，所以，，故面MAD， 于是，故三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的， 由题意得， 在中，，所以，所以 所以. 17. 如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上． （1）设（），，求用x表示y的函数关系式； （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由． 【答案】（1）；（2）DE为AB中线或AC中线，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理有，依题意，即，，由此求得；（2）如果DE是水管，利用基本不等式可求得最小值为，此时，即，且时，DE最短．如果DE是参观线路，注意到在时值相等，根据对钩函数的性质可知最大值为. 【详解】（1）在中，，即，① 又，即，所以，② ②代入①得：（），所以（）． （2）如果DE是水管，， 当且仅当，即时“=”成立，故， 即，且时，最短； 如果是参观线路，记，由对勾函数的性质可知：函数在上递减，在上递增， 故，所以. 即DE为中线或中线时，DE最长． 18. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果； （2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 ，，解得：或， 当时，，； 当时，，； 综上所述：或10 【小问2详解】 若共线，则，解得：或， 当时，，，此时同向； 当时，，，此时反向； 若与的夹角为锐角，则，解得：且， 的取值范围为. 19. 某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解，利用平均数的计算公式求解即可； （2）根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算. 【小问1详解】 ，解得， 这次竞赛成绩平均数的估计值为. 【小问2详解】 不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人， 设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙， 于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种， 其中甲、乙至少有1人被选中的有9种， 所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年（上）高二数学开学考试卷 数学试题 试卷考试时间：120分钟 满分：150 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 2. 设向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 设复数（是虚数单位），则复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则m的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若直线平面，直线平面，，则（ ） A 或与异面 B. C. 与异面 D. 与相交 6. 2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 8. 的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 如图，在正方体中，P为棱上的动点，平面，Q为垂足，则（ ）． A. B. 平面截正方体所得的截面可能为三角形 C. 当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大 D. 线段的长度随线段的长度增大而增大 10. 如图(a)，边长为2的正方形 AP₁P₂P₃中，B，C分别是P₁P₂，P₂P₃的中点，AP₂交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个四面体，如图(b)，使P₁，P₂，P₃三点重合，重合后的点记为P，则有（ ） A. 平面PAD⊥平面PBC B. 四面体 P-ABC 的体积为 C. 点P到平面ABC距离为 D. 四面体 P-ABC 的外接球的体积为 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（ ） A. 边上的中线长为 B. 内切圆的面积为 C. 与面积之比为3:2 D. 到距离为 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可） ①；②；③；④. 13. 如图，在四边形中，设，，，则可用表示为_____． 14. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 四、解答题（共5小题，共计77分.） 15. 化简下列各式： （1）； （2）； （3）； 16. 如图，有一块三棱锥形木块ABCD，其中面ABC内有一点P． （1）若要在面ABC内过点P画一条线段EF，其中点E在线段AB上，点F在线段AC上，且满足EF与AD垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明． （2）经测量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝ ，若P恰为三角形ABC的重心，EF为（1）中所求线段，求三棱锥ADEF的体积． 17. 如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上． （1）设（），，求用x表示y的函数关系式； （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由． 18. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与夹角为锐角，求的取值范围. 19. 某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$