第五章 1-2 认识方程 一元一次方程的解法-【中考123】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程导练（北师大版2024）

第五章一元一次方程 第五章 一元一次方程 认识方程 [答案P21] 知识要点分类练典 7.有x位学生分配宿舍，如果每间宿舍住6人，最后 多余1间宿舍：如果每间宿舍住4人，最后还缺2 知识点1方程和一元一次方程的概念 间宿舍.求学生人数可列方程为 1.(山东济宁期末)下列各式中：①x=0;②2x>3; A.-1=x+2 6 4 B-1=+2 ③x2+x-2=0:④}+2=0：⑤3x-2:⑥x-y=0. C.6(x-1)=4(x+2) D名+1=4-2 是方程的有 () 6 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2已知下列方程：0x-2=子：20,3=1：③吃 能力提升综合练典 8.小丽同学在做作业时，不小心将方程2(x一3)- 5x+1:④x2-4x=3:⑤x=6:⑥x+2y=0.其中是 ■=x+1中的一个常数污染了，在询问老师后， 一元一次方程的有 老师告诉她方程的解是x=9,请问这个被污染的 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 常数■是 3.已知(a-3)x-21-5=8是关于x的一元一次方 A.4 B.3 C.2 D.1 程，则a= 9.一个长方形的周长为30cm,若这个长方形的长 A.3或1B.1 C.3 D.0 减少1cm,宽增加2cm就可成为一个正方形，设 @知识点2方程的解 长方形的长为xcm,则可列方程为 4.方程3x+18=0的解是 ( A.x=-6B.x=-3 C.x=-4D.x=-5 10.已知关于x的方程(m-2)xm-"+18=0是一元 5.检验下列各数是不是方程3(x+2)=2x-1的解. 一次方程. (1)x=0:(2)x=-7:(3)x=7. (1)求m的值： (2)求2(5m+2)-3(2m-1)的值. 知识点3根据实际问题列一元一次方程 6.一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8 天完成，现由甲先做2天，乙再加人合作，完成这 项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x 天，依题意可列方程为 B 8 c骨+营 见此图标围料音/微估扫码领取你的考场冲刺攻略！ 79 全程导练·七年级数学·北师版·上册 一元一次方程的解法 第1课时 等式的基本性质 [答案P21] 知识要点分类练单 知识点2利用等式的基本性质解方程 6.补全下列解方程-4x-5=7的过程 @知识点1等式的基本性质 解：方程两边同时 ,得 1.(安做马楼山期木)已知等式3a=2b+5,则下列 -4x-5 =7 等式中不一定成立的是 化简，得-4x= A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6 方程两边同时 ,得x= 5 D.3ac =2bc +5 7.已知5a+8b=3b+10,利用等式的基本性质可求 得a+b的值是 2.若a=b,则下列变形正确的是 8.如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的 A.2a=36 B.a+c=b-c 质量为15克，则当B的质量为 克时，天 C.u=b 242 b 平处于平衡状态 3.根据等式的基本性质，下列变形正确的是( 囚囚®☒BE® A.如果8a=4,那么a=2 B.如果ac=bc,那么a=b 8题图 C如果号-？那么2a=36 9.阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步，为 什么？ D.如果1-2a=3a,那么3a+2a=1 2(x-1)-1=3(x-1)-1. 4.(山西吕梁期末)下列运用等式的基本性质对等 两边同时加1，得2(x-1)=3(x-1), 第一步 式进行的变形中，错误的是 两边同时除以x-1,得2=3. 第二步 A若a=b,则g=b B.若a=b,则ac=bc C.若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b D.若x=y,则x-3=y-3 5.根据等式的基本性质填空： (1)若3x-1=2,则3x=2+1,是根据等式的基本 性质，等式两边 ； (2)若5=-6，则x ,是根据等式的基 本性质，等式两边 (3)若-2x=4,则x= ,是根据等式的基 本性质，等式两边 80 见此图标鼠抖音/微信扫码领取你的考场冲刺政略！ 第五章一元一次方程Y 10.利用等式的基本性质解下列方程： 15.已知等式2a-3=2b+1,请你猜想a与b之间的 (1)4+3x=11; (2)5y-6=3y+2: 大小关系，并说明理由 (3)-名= 3 (4)-8y=9-5y. 16.王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x= 能力提升综合练单： 5(m-3),小明说x=5:小刚说不一定，当x≠5 时，这个等式也可能成立.你认为他俩的说法正 11.下列说法错误的是 确吗？用等式的基本性质说明理由 A.如果ax=bx,那么a=b B如果a=6,那么4 C.如果a=b,那么ac-d=bc-d D.如果x=3,那么x2=3x 12.有一个密码系统，其原理如下面的框图所示.当 输出的数为-10时，输入的数x是 输人无一→3x+2→输出 12题图 13.已知3m+7n=4n-9,利用等式的基本性质 可求得m+n的值，继而求得(m+n)3的值是 素养探究创新练中 14能否由等式(3m+4)x=2a-b得到x=2a-bg 3a+4 17.足球是全球最具影响力的体育运动，被誉为“世 为什么？反过来，能否由等式x一得到 界第一运动”，如图，足球表面是由若干黑色正 五边形和白色正六边形皮块围成的，我们把这些 (3a+4)x=2a-b?为什么？ 正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻 两个面的公共边叫作足球的棱.已知某足球的白 色正六边形的面有20个，则该足球的黑色正五 边形的面有 个，该足球表面的棱有 条 17题图 见此图标司轩音/微信扫码领取你的考场冲刺政略！ 81 全程导练·七年级数学·北师版·上册 第2课时 利用移项解一元一次方程 [答案P22] 知识要点分类练} 能力提升综合练 色知识点1①移项 7.如果单项式-y与2y是同类项，那么关于x 1.下列变形属于移项的是 的方程br+a=0的解为 () A.由3x=6.得x=2 B.由7x+3=x+5.得7x+3=5+x 号 Bx=号 C由9-x=x-4,得-x-x=-4-9 C.x=3 D.x=-3 D.由+2=3x-1,得3x-1=x+2 8.若关于x的方程3x+2m=-1与方程x+2= 2.下列方程移项正确的是 2x+1的解相同，则m的值为 A.4x-1=-5移项，得4x=5-1 A.-2 B.2 C.-1 D.1 B.5x-2=-5移项.得5x=-5-2 9.如图，这是一个正方体的展开图.如果正方体相对 C.3x+2=2x移项，得3x-2x=2 的两个面上标注的数值相等，那么x的值是 D.3x+2=7x移项，得3x-7x=-2 ©知识点2用移项法解一元一次方程 3 3.方程3x=2x+7的解是 ( +t A.x=4 B.x=-4C.x=7 D.x=-7 4.(陕西成阳期末)若多项式3x+5与5x-7的值相 等，则x的值为 ( 9题图 A.6 B.5 C.4 D.3 10.甲仓库有200t煤，乙仓库有80t煤.如果甲仓库 5.下列方程中，与方程2x-3=x+2的解相同的是 每天运出15t煤，乙仓库每天运进251煤，那么 () 天后两仓库存煤量相等。 A.2x-5=4x+2 B.3x-5=5x+1 11.解方程： C.3x=x+5 D.4x+5=5x (1)x-3=-21-4: 6.解方程： (1)2-x=3: (2)3x-4=6x+8: (3)2-3x=5x+7: (4)3x+4=x+2: (5)7x-8=5x+4 (2)号-8=0.25-02x 82 见此图标乱井音/微信扫码领取你的考场冲刺政陷！ 第五章一元一次方程 12.张老师给学生分练习本，若每人分4本，则余8 本：若每人分5本，则缺2本.求有多少名学生和 素养探究创新练： 多少本练习本. 14.如图，在幻方的九个空格中填入9个数字，使得 处于同一横行，同一竖列，同一对角线上的三个 数的和都相等，写出求x的值的过程并完成此 幻方 4 2r-1 x+1 14题图 13.某服装厂接到一批校服订货任务，按计划天数进 行生产，若平均每天生产20套，则比订货任务少 生产100套：若平均每天生产23套，则比订货任 务多生产20套.请问这批校服订货任务是多少 套？原计划多少天完成？ 见此闲标围抖音/微估扫码领取你的考场冲刺攻略！ 83 全程导练·七年级数学·北师版·上册 第3课时利用去括号解一元一次方程 [答案P22] 知识要点分类练典 能力提升综合练 知识点1①用去括号法解一元一次方程 8.小亮在做作业时，不小心将墨水洒在了作业纸上， 1.解方程9-(x-6)=7(x-1)时，去括号正确的是 导致方程3(x-2)-《 )=x中的一个常数被 污染，同桌说正确答案是x=5,则被污染的常数 A.9-x+6=7x+7 B.9-x-6=7x+1 是 ( C.9-x+6=7x-7 D.9-x-6=7x-1 A.6 B.5 C.4 D.3 2.(重庆中考)方程2(x-3)=6的解是 9.若“△”表示一种新运算，规定a△b=a×b-(a+ 3.已知代数式5a+1与3(a-5)的值相等，那么a= b),若(-2)△(1+x)=-x+6,则x的值为 4.解方程：2(x-2)-(1-3x)=x+3. 10.若式子9x+6与式子3(x-1)-9的值相等，则 解：去括号，得 t= 移项，得 11.解方程： 合并同类项，得 (1)3x-2(x-1)=9-4(x+3): 方程的两边都除以 ,得 5.解方程： (1)2(x-1)+1=0: (2)3(4x-1)-5(3x+2)=2-7(2x-1). (2)5+3x=2(5-x). ©知识点2用去括号法解一元一次方程解决简单 的应用问题 12.直播带货已是热潮，某人利用直播销售甲、乙两 6.小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上 种商品，预计用3600元购进一批商品，其中乙 学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结 种商品的件数比甲种商品的2倍少40件，甲、乙 果发现比上学所花的时间多10分钟，如果设上学 两种商品的单价分别为20元、30元，求这一批 路上所花的时间为x小时，根据题意所列方程正 商品中甲、乙两种商品各有多少件？ 确的是 A4=3+6】 B4x+)=3x c4x-6)=3 D.4x=3(x-10) 7.一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30 分，逆风需要6小时，已知风速为每小时20千米， 则无风时飞机的速度为 千米/时. 见此图标乱井音/微信扫码领取你的考场冲刺政路！ 第五章一元一次方程 13.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算 经十书》之一，书中记载了这样一个题目：“今有 素养探究创新练： 木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量 15.同学们，今天我们来学习一个新知识.形如 之，不足一尺，木长几何？”译文：用一根绳子去 :的式子叫作三阶行列式，它的运算法则 量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再 量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？请解 用公式表示为8 =ad-c,利用此法则解决 答上述问题. 以下问题： (1)仿照上面的解释，表示出mP的结果： (2)依此法则计算 21 -34 的结果： (3)如果53 x+l x =4,那么x的值为多少？ 14.新情境2024年央视春晚西安分会场《山河诗长 安》的惊艳亮相，为西安添了一把“火”，让人们 再度看到了中华优秀传统文化创新传承的恢宏 气魄，也深切感受到了中华民族的文化自信.晶 晶在西安旅游期间，准备给朋友们带A,B两种 特色纪念品，经询问，购买3件A种纪念品和2 件B种纪念品共需63元，每件B种纪念品比每 件A种纪念品少6元，请问每件A种纪念品和 每件B种纪念品的价格分别为多少？ 见此图标围料音/微信拉码领取你的考场冲刺玫略1 85 全程导练·七年级数学·北师版·上册 第4课时利用去分母解一元一次方程 [答案P23] 知识要点分类练典 @知识点1)利用去分母解一元一次方程 1.解方程y+3-2-3y1去分母时，方程两边都乘 5 3 各分母的最小公倍数为 ( (4)y-',1=2-y+3 2 5 A.20 B.15 C.10 D.5 2解方程3.2合1，下列去分母正确的是 A.3(x-3)-(2x+1)=1 B.(x-3)-(2x+1)=6 知识点2解一元一次方程的步骤 C.3(x-3)-2x+1=6 6小明解方程-1兮子的步聚如下： D.3(x-3)-(2x+1)=6 方程两边同乘6，得3(x+1)-1=2(x-2).① 去括号，得3x+3-1=2x-2.② 3.当a= 时，关于的方程2.3”：1 移项，得3x-2x=-2-3+1.③ 6 合并同类项，得x=-4.④ 的解是x=-1, 以上解题步骤中，开始出错的一步是 () 4已知关于x的方程2=x+受与-3x-2 A.① B.② C.③ D.④ 3与3 7.解方程：34_x1=1-1 34 12 的解互为倒数，则m= 解：方程两边同乘 ,得 5.解方程： 4(3x-4)-3(x-1)= a6子 去括号，得12x-16-3x+3= 6 移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以 ,得 能力提升综合练典 &若-与的值相等，则x的值为 4 () A.-3 B.3 C.-3 (2)x-1=2: 2 9.如图，点A,B为数轴上的两点，O为原点，A.B表示 的数分别是，号是若R,0两点之间的距离等于 A,B两点之间的距离，则x的值是 A B 0 x+2 0 2 3 9题图 86 见此图标乱科音/微信扫码领取你的考场冲刺政路！ 第五章一元一次方程 10.解方程： 13.为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台 小2103 式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式 205 电脑的台数的！还少5台，则购置的笔记本电脑 有多少台？ (2)2x-1-3-0.3x+0.5 3 0.2 素养探究创新练业： 1小明解方程2；+1：生，由于粗心大意，在 14,定义：若整数：的值使关于x的方程兰+1= kx的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”， 去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的 解为x=4,试求a的值，并求出方程正确的解. （①)判断=0.与=1是香为方程兰+1= 的“友好系数”，写出判断过程； (2)方程于+1=“友好系数“的个数是有限 个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方 程的所有“友好系数”：如果是无穷多，请说 明理由. 12.已知方程9x+4=6x的解与关于x的方程6x- 2 号=3(x-1D的解互为相反数求a的值 见此闲标围料音/微估扫码领取你的考场冲刺玫略！ 87参考答案及解析 2 一元一次方程的解法 第1课时 等式的基本性质 由P是CD的中点,0是DE的中点, 【知识要点分类练】 2 1.D 2. D 3.D 4.A 5.(1)同时加1(2)-12 同时乘2 2 (3)-2 同时除以-2 6.加5 +5 +5 12 除以-4 -3 7.2 8.7.5 6.B 7.A 8.B 9.C 9.解:解题过程第二步出错.理由:方程两边不能除以 10.解:(1)①乙AOD和/B0C相等 x-1,x-1可能为0 理由:因$为 AOD=90^{*+ B0D. B0C=90*+$ 10.解:(1)方程的两边都减4.得4+3x-4=11-4. 乙BOD. 化简,得3x=7 所以乙AOD和/BOC相等。 ②A0C+ B0D=180. 理由: AOC+B0D=360*-90*$2=18 0$$$ (2)方程的两边都加6-3v,得5y-6+(6-3v)= (2)①AOD和乙BOC相等 3y+2+(6-3y). 理由:因为 AOD=90*- BOD和 B$0C=90$-$ 化简,得2v=8. 乙BOD. 方程的两边都除以2.得v=4 所以/AOD和/BOC相等 5 ②乙AOC+/B0D=180 得 55 理由: A0C+ B0D=180*- B0D+ B$0D= 9y- -6+6 180%. 11.3 12.60 13.2023 第五章 一元一次方程 45 1 认识方程 【知识要点分类练】 (4)方程的两边都加5v.得-8v+5y=9-5v+5v 1. B 2. B 3. B 4. A 化简,得-3v=9. 5.解:(1)当x=0时,左边=3x(0+2)=6.右边= 方程的两边都除以-3.得y=-3 2x0-1=-1. 【能力提升综合练】 因为左边;右边,所以x=0不是方程的解 11.A $2)当x=-7时,左边=3x(-7+2)=-15.右边 12.-4 [解析]由题意,得3x+2=-10,方程的两 =2x(-7)-1=-15. 边都减2,得3x=-12.方程的两边都除以3,得; 因为左边=右边,所以x=-7是方程的解 =-4,所以输入的数x是-4. (3)当x=7时,左边=3x(7+2)=27,右边=2 13.-27 7-1=13. 14.解:由等式(3a+4)x=2a-b不一定能得到x= 2a-.理由如下: 因为左边;右边,所以x=7不是方程的解 6.D 7.D 3a+4 【能力提升综合练】 当a=- 8.C 9.-1-30-2x2 不能得到x= 2a-b ## 3+4 -2a-b得到(3a+4)x=2a- 10.解:(1)由已知,得lm-11=1且m-20 反过来,能由等式x= 3a+4 解得m=0. 6.理由如下: (2)原式=10m+4-6m+3=4m+7 等式x3a-4 当m=0时. 原式-0+7=7 2a-b. .2. 全程导练·七年级数学·北师版·上册 15.解:a大于b.理由如下: 【素养探究创新练】 等式2a-3=2b+1的两边都加3,得2a=2$+4. 14.解:根据题意可得2x-1+x+1=4+x+x+1.解 等式2a=2b+4的两边都减2b,得2a-2b=4 得x=5.则可得此幻方如答图 等式2a-2b=4的两边都除以2.得a-b-2. 因为a与5的差是正数,所以a大于b 16.解:小明的说法错误,小刚的说法正确,理由如下; 2 A 当m-3=0时,x为任意数;当m-3:0时,x=5. 【素养摇究创新练】 17.12 90 [解析]每块黑色正五边形的5条边分别 14题答图 与5块白色正六边形的边重合,每块白色正六边 第3课时 利用去括号解一元一次方程 形的6条边中,有3条边与黑色正五边形的边重 【知识要点分类练】 合,另3条边与其他白色正六边形的边重合,设该 1.C 足球的正五边形的面有x个,则这些正五边形的 2.x=6 [解析]去括号,得2x-6=6. 面一共有5x条边,而足球的正六边形的面有20 移项、合并同类项,得2x=12,解得x=6. 个,根据题意知,5x=20x3.解得x=12.所以该足 3. -8 [解析]根据题意,得5a+1=3(a-5). 球的正五边形的面有12个,因为任何相邻两个面 的公共边叫作足球的校,所以该足球表面的校有 去括号,得5a+1=3a-15 (12x5+20x6)-2=90(条). 移项,合并同类项,得2a三-16,解得a三-8 第2课时 利用移项解一元一次方程 故答案为-8. 4.2x-4-1+3r=x+3 【知识要点分类练】 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 2x+3x-x-3+4+1 4r=8 6.解:(1)移项,得-x=3-2. 4x=2 合并同类项,得-x=1. 方程的两边都除以-1.得x=-1. 5.解:(1)去括号,得2x-2+1=0 (2)移项,得3x-6x=8+4 移项、合并同类项,得2x=1. 合并同类项,得-3x=12. 方程的两边都除以2,得x= 方程的两边都除以-3.得x=-4. (3)移项,得-3x-5x=7-2. (2)去括号,得5+3x=10-2x. 合并同类项,得-8x=5. 移项,得3x+2x=10-5. 5 合并同类项,得5x-5. 方程的两边都除以-8,得x=- 8 方程的两边都除以5.得x=1 (4)移项,得3x-x=2-4. 6.A 合并同类项,得2x=-2. 7.460 方程的两边都除以2.得x=-1. 【能力提升综合练】 (5)移项,得7x-5x=4+8 8.C 合并同类项,得2x=12. 7 9._ 方程的两边都除以2.得x=6 2 10.-3 【能力提升综合练】 11.解:(1)x=-1. 7.B8.A (2)x=2. 9.9 10.3 12.解:设这一批商品中甲种商品有x件,则乙种商品 (2):55 有(2x-40)件. 根据题意,得20x+30(2x-40)=3600 12.解:有10名学生,48本练习本. 13.解:设这批校服的订货任务是:套. 解得x=60. 所以2t-40=2x60-40=80 根据题意,得x-100x+20 23· 20 答:这一批商品中甲种商品有60件,乙种商品有 解得x-900 80件. 则x-100900-100 13.解:设木长为:尺 20 20 -40. 根据题意,得x+4.5-2(x-1). 答:这批校服的订货任务是900套,原计划40天 解得x=6.5. 完成. 答:木长6.5尺 .22. 参考答案及解析 14.解:设每件A种纪念品的价格是x元,则每件B种10.解:(1)去分母,得5(1-2x)-20=x-2-4(3x+1) 纪念品的价格是(x-6)元. 去括号,得5-10x-20=x-2-12x-4 根据题意,得3x+2(x-6)=63. 移项,得12x-x-10x=-2-4-5+20 解得x=15. 合并同类项,得x-9. 所以x-6=15-6-9 答:每件A种纪念品的价格是15元,每件B种纪 3 念品的价格是9元. 去分母,得2(2x-1)-18=3(3x+5). 【素养探究创新练】 去括号,得4x-2-18=9x+15 15.解:(1)根据题意,得原式=mq一p 移项、合并同类项,得-5x=35. (2)原式=8+3=11. 方程的两边都除以-5.得x=-7 (3)由法则,得5x-3(x+1)=4.解得x=3.5 11.解:由题意,可知2(2x-1)+1=5(x+a). 第4课时 利用去分母解一元一次方程 把x=4代入,得a=-1. 将a=-1代入原方程得2x-11--1 【知识要点分练】 1.B 2.D 5 去分母,去括号,得4x-2+10=5x-5. 移项,合并同类项,得-x=-13. 6 1.去分母,得2+3-a=6,解得a=-1. 方程的两边都除以-1,得x=13 12.解:解方程04-6x, 4._ [解析]由2x+1-3x-2去分母,得2x+1= 5 2 3 去分母,得9x+4=12x. 9x-6,解得x=1.根据题意,得关于x的方程x-m 解得x- A = 2 解方程6x-- 去分母、去括号,得12x-a=6x-6 5.解:(1)去分母,得5y-1=14 移项、合并同类项,得5v=15. 方程的两边都除以5,得y=3 -0. (2)去分母,得2x-(x-1)=4 解得a=-2. 去括号,得2x-x+1=4. 13.解:购置的笔记本电脑有16台 移项,得2x-x=4-1. 【素养探究创新练】 合并同类项,得x-3. (3)去分母,得2(x+3)-3(x+1)=6 去括号,得2x+6-3x-3=6. 解得::-6. 移项、合并同类项,得-x=3. 所以=0为此方程的“友好系数”; 方程的两边都除以-1.得x三-3 当1时41=x (4)去分母,得10-5(y-1)=20-2(v+3). 2 去括号,得10y-5y+5=20-2v-6. 解得x-6. 移项,得10v-5v+2v=20-6-5. 所以。=1为此方程的“友好系数” 合并同类项,得7v-9 (2)41= 方程的两边都除以7,得y=” 2 解得x=2k-6. 6.A [解析]方程两边同乘6应为3(x+1)-6= 当上是整数时,x也是整数. 2(x-2),所以开始出错的步骤为①.故选A 所以方程的“友好系数”有无穷多 7.12 12(x-1)12-x+1 12x-3x+ 专题5 一元一次方程的解法 12+1+16-310x26 10x-13 13 1.解:移项,得4x+x=32-7. 合并同类项,得5x-25. 【能力提升综合练】 方程的两边都除以5,得x=5 8.C 2.解:去括号,得2-3x-6=3-2x. 9.-8 移项,得-3x+2x-3-2+6 .23.