第三章 3 探索与表达规律-【中考123】2024-2025学年新教材七年级上册数学全程导练（北师大版2024）

全程导练·七年级数学·北师版·上册 探索与表达规律 第1课时 探索规律 [答案PI4] 知识要点分类练单： 4.让我们做一个数字游戏：第一步：取一个自然数 1=5,计算m+1得a1:第二步：算出a1的各数 知识点1探索月历图、数表中的规律 位上的数字之和得2，计算+1得a2;第三步： 1.如图，这是某月的月历，用带阴影的方框恰好框住 算出a2的各数位上的数字之和得m,再计算n+ 四个数.若这样的阴影方框可以任意移动，且框住 这张月历表中的4个数，设a表示的数是x,则这 1得a2:…以此类推，则an等于 () 4个数的和为 (用含x的代数式表示) A.26 B.65 1234 6 C.122 D.124a 7 13 5.(嘉兴中考)观察下列等式：1=12-0,3=2 14 16 19 12,5=3-22,…按此规律，则第n个等式为 21 2223 24 25 26 27 28293031 知识点3探索图形中的规律 1题图 6.跨学科（江西中考）将字母“C”“H”按照如图所 2.填写下列日历中的一部分，找出日历中的数字的 一些规律，并回答问题。 示的规律摆放，依次类推，则第4个图形中字母 “H”的个数是 () 2 15 18 H HH HHH 8 H-C-HH一C-C-HH一C H H HH H ① ② ③ ⑤ 0 9 10 6题图 16 12 17 18 A.9 B.10 2题图 C.11 D.12 (1)日历中左右相邻的两个数相差 7.(广州中考)如图，用若干根相同的小木棒拼成图 下相邻的两个数相差 形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形 (2)日历中横排（或竖排）相邻三个数的和等于 数字的3倍，也就是说它们的和一 需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木 定能够被 整除，而商就是 棒，…若按照这样的方法拼成的第n个图形需 数字： 要2022根小木棒，则n的值为 (3)用正方形方框在日历中框出的9个数的和等 于正中间数字的 倍 ©知识点2探索数式中的规律 第1个图形 第2个图形 第3个图形 3.有一列数：0,2,4,6，…第n个数应为 7题图 A.2(n-1) B.2n-1 A.252 B.253 C.2(n+1) D.2n+1 C.336 D.337 见此图标乱科音/微信扫码领取你的考场冲刺政路！ 第三章整式及其加减 8.下列图形是按照一定规律画出的“树形图”，观察 发现：图②比图①多出2个“树枝”，图③比图② 素养探究创新练： 多出4个“树枝”，图④比图③多出8个“树枝”， 12.某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相 …按此规律进行下去，图⑥比图②多出“树枝” 同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表 的个数为 示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为 连续排列. ② ③ 8题图 12题图① 能力提升综合练单' 【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直 角三角形地砖有6块（如图②）. 9.如图，人行道是用同样大小的灰、白两种不同颜色 的小正方形地砖铺设而成的，图中的每一个小正 方形表示一块地砖.如果按图①，图②，图③… 12题图② 12题图③ 的次序铺设地砖，把第n个图形用图⑦表示，那么 (1)当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地 第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是 砖有 块（如图③）： (2)以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖， 则等腰直角三角形地砖增加 块 【规律总结】 ③ (3)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数) 9题图 块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块 A.150 B.200 C.355 D.505 数为 (用含n的代数式表示)： 10.将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 【问题解决】 第1行 第2行 (4)现有2024块等腰直角三角形地砖，若按此 234 第3行 98765 规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多 第4行 10111213141516 少块？ 第5行 252423222120191817 10题图 则2024在第 行 11.如图，把同样大小的黑色棋子按照一定规律摆放 在正方形的边上，则第n个图形需要黑色棋子的 个数是 第1个图形 第2个图形 第3个图形 11题图 见此图标鼠料音/微信拉码领取你的考场冲刺玫略1 59 全程导练·七年级数学·北师版·上册 第2课时 借助运算解释规律和现象 [答案PI5] 知识要点分类练单： 能力提升综合练心 知识点■借助运算解释规律和现象 3.如图，将连续的奇数1,3,5,7，…按图①中的方式 排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框 1.新情境魔术师为大家表演了一个魔术.他请观众 出的任意5个数（如图②）分别用a,b,c,d,x 想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 表示 (1)若x=17,则a+b+c+d= 去6以3><加上 片诉魔术 帅结果 (2)移动十字框，用x表示a+b+c+d= 1题图 魔术师立刻说出了观众想的那个数 (3)M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于 (1)如果小明想的数是-2，那么他告诉魔术师的 1000,请说明理由。 结果是 1357911 (2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师的结果是 131517192123 252729313335 105,那么小聪想的那个数是 373941434547 bx c (3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说 495153555759 d 等■里8■8■有有8市室年 出他们想的那个数，请你通过计算说出其中 3题图①D 3题图② 的奥妙. 素养探究创新练中： 4.若一个三位整数的百位数字与个位数字的和是十 位数字的2倍，则称这个三位整数是“团结数”， 2.如图，小明在研究数学问题时发现一个有趣的 例如：对于整数246，它的百位数字为2.个位数字 现象： 为6，十位数字为4，满足2+6=4×2，则246是 “团结数” 任意写一个三位数，百 比如 位数学比个位数字大2 785 (1)任写一个小于200的“团结数”： (2)请说明任意一个“团结数”一定是3的倍数， 交换百位数字与个位数字 587 用大数减去小数 785-587=198 交换差的百位数学与个位数学 891 做加法 198+891=1089 2题图 请你用不同的三位数再做一做，你发现了什么有 趣的现象？用你所学过的知识解释 见此图标乱料音/微信扫码领取你的考场冲刺政路！ 第三章 整式及其加减 ☆问题解决策略：归纳 [答案P叫5 知识要点分类练单： 4瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据？，6 5121 @知识点雪归纳策略 2引2…中，成功地发现了其规律，从而得到了巴 2536 1.有下列等式： 尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门.根据这个 第1个等式：2×(12-1+1)-1=1'： 规律，第6个数为 第2个等式：3×(22-2+1)-1=2： 第3个等式：4×(32-3+1)-1=3： 素养探究创新练中 第4个等式：5×(42-4+1)-1=43： 5.(河南郑州期中)下列图形是由一些小正方形和 第5个等式：6×(52-5+1)-1=5： 实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，第1个 图形中实心圆的个数为K,=4,第2个图形中实 按照以上规律，解决下列问题： 心圆的个数为K,=6,…,第n个图形中实心圆的 (1)写出第6个等式： 个数为K (2)猜想第n个等式（用含n的等式表示）. 第1个图形 第2个图形 第3个图形 5题图 (1)K= (用含n的代数式表示)，Km= 2.观察以下等式： (2)我们用“帝”定义一种新运算：对于任意有理 ①22-2=2： 数a和正整数n,规定a*n= ②23-2=22： a-K。+la+K1 ③2-2=23； 2 0 例如：(-3)*2=-3-人+-3+KL 2 (1)请写出第④个等式： (2)根据规律，用含字母n的式子表示第@个等 -3-6+1-3+61=-3. 2 式： ①求(-26.6)*10的值： (3)计算：2+22+2+…+2m ②比较3*n与(-3)*n的大小， 能力提升综合练单： 3.(河南郑州期中)在求两位数的平方时，可以用 “列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示 32=102446-211689=792167-4489 0904 16366481 49 2 48 144 30 1o242116792▣44891 3题图 则第5个方框中最下面一行的数可能是（ A.1296B.2809C.3136 D.4225 见此图标鼠料音/微信拉码领取你的考场冲刺玫略引 61全程导练·七年级数学·北师版·上册 3.解：原式=4a2-3a-1+4a-4a2=a-1.当a=-29.解：(1)10m+b. 时，原式=-2-1=-3. (2)由题意，得这两个数的和为(10a+b)+(106+ 4.解：4A-B=7x2-5y+6. a)=11a+11b=11(a+b). 当x=1,y=-2时， 因为a,b都是整数， 原式=7×12-5×1×(-2)+6=23. 所以a+b也是整数 5.解：因为C=2(3a2b-ab2)-(ab+3a2b) 所以这两个数的和能被1整除. =60'b-2ab -ab'-3a'b 这两个数的差为(10a+b)-(10b+a)=10a+b- =3a2b-3ab, 10b-a=9a-96=9(a-b). 所以=6- 因为a,b都是整数， 所以a-b也是整数， 又因为A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+ 2 ab+ 2 3 所以这两个数的差一定是9的倍数 所以4M-(3M-2B)+号 10.解：(1)4[解析]设“■”的值为a, 则3(3x2+4xy）-a(2x+3xy-1) =A+2B+号 =9x2+12y-2ax2-3axy+a =(9-2a)x2+(12-3a)xy+a =2+3-2-1+2(-d+b+）+- 由于该题的标准答案中不含有y, 所以12-3a=0.所以a=4. guk (2)3(3x2+4xy)-4(2x2+3y-1) =2d2+3h-2a-1-2n+ab+号+206-2a6 =9x2+12xy-8x2-12xy+4 =x2+4. =4d-2n++26- 所以该题的标准答案为x+4. 3探索与表达规律 当a=-1,b=-2时， 第1课时探索规律 原式=4x(-1)×(-2)-2x(-)+写+号× 【知识要点分蔡练】 1.4x+14 （-102×(-2)-}×(-10×(-2 2.填写日历如下：①910②141631125 =8+2+写-3+6 49101517⑤4511621116 (1)17(2)中间3中间(3)9 13 3.A 4.B[解析]根据题意，有n1=5,a1=+1=25+ 6.解：4-3B=(3a2+4ab+5)-3(a2-2ab) 1=26,n2=2+6=8,42=+1=64+1=65,m= =10ab+5. 因为a,b互为倒数， 6+5=11,a=m9+1=121+1=122,n4=1+2+ 所以ab=1, 2=5,a4=nm+1=25+1=26,n5=2+6=8,a5= 所以10b+5=10×1+5=15. n号+1=64+1=65，m6=6+5=11,aw=后+1= 7.解：原式=3m2-4mn-2m2-4mn 121+1=122,…观察数值，可知计算结果具有周期 =m2-8mn. 性，20÷3=62，所以am=4,=65.故选B. 因为单项式-y与？的和仍是单项式。 5.2n-1=n2-(n-1)2 6.B[解析]第1个题图中H的个数为4，第2个题 所以-y与子以是同类项， 图中H的个数为4+2，第3个题图中H的个数为 4+2×2,第4个题图中H的个数为4+2×3=10. 所以m+1=2,n=3,即m=1,n=3, 故选B 则原式=12-8×1×3=-23. 8.解：17x2-(8x2+5x)-(4x2+x-3)+(5x2+6x- 7.B8.60 1)-3 【能力提升综合练】 =17x2-8.x2-5x-4x2-x+3+5x2+6.x-1-3 9.C10.4511.5n+3 =10x2-1. 【素养探究创新练】 因为当x=2024和x=-2024时，x2的值相同， 12.解：(1)8[解析]由题图③可知，等腰直角三角 所以他计算的结果是正确的 形地砖有8块，故答案为8 ·14· 参考答案及解析 (2)2[解析]观察题图①可知，每相邻两块正方 所以a+b+c=36. 形地砖之间都有两块等腰直角三角形地砖，所以 所以任意一个“团结数”一定是3的倍数 每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就 ☆问颧解决策略：归纳 增加2块. 【知识要点分乘练】 (3)2m+4[解析]观察题图②可知，中间一块正 1.解：(1)7×(62-6+1)-1=6 方形地砖的左上、左边、左下共有3块等腰直角三 (2)(n+1)(2-n+1)-1=n3 角形，它右上、右边、右下也有3块等腰直角三角 2.解：(1)25-2=2 形地砖，题图③和题图①两端的正方形地砖两侧 (2)2+4-2°=2 都各有3块等腰直角三角形地砖，且每两块正方 (3)原式=2-2. 形地砖中间都有两块等腰直角三角形地砖，归纳 【能力提升综合练】 得：若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块 3.B 正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为6+ 4. 64 2(n-1)=2n+4. 60 (4)由(3)可知，等腰直角三角形地砖块数为2n+ 【素养探究创新练】 4,是偶数，由题意，得2n+4=2024,所以n=1010, 5.解：(1)2n+2202 所以建这条人行道需要正方形地砖1010块， (2)①(-26.6)*10 第2课时借助运算解释规律和现象 【知识要点分英练】 =-26.6-K0+1-26.6+K 2 1.解：(1)3(2)100 (3)设观众想的数为a,变换之后的结果为(3a-6)÷ =-26.6-22+1-26.6+221 2 3+7=a+5,所以魔术师用结果减去5就是观众想 =-22. 的数. ②因为n是正整数，所以下.=2n+2≥4， 2.解：答案不唯一 所以3*n= 3-K。+3+K. 例如：任想一个数为614,614-416=198， 2 198+891=1089. 3-K.+3+K 现象：最后的结果一定是1089. 设百位数字为a,十位数字为b, =3, 则个位数字为a-2. 第一步：100a+10b+a-2=101a+106-2. (-3)*n=-3-K+1-3+K1 第二步：100(a-2)+106+a=101a+106-200. -3-K。-3+K 第三步：(101a+106-2)-(101a+10b-200)=198. 2 所以最后的结果一定是1089. =-3, 【能力提升综合练】 所以3*n>(-3)*n. 3.解：(1)68[解析]观察题图①可知a=x-12,b 弟三章易错强化训练 x-2,c=x+2,d=x+12, 所以当x=17时，a=5,b=15,c=19,d=29, 1.B[解析]B项，x与y的和除以x的商是+y 所以a+b+c+d=5+15+19+29=68. 2.C (2)4x[解析]因为a=x-12,b=x-2,c=x+2, 3.解：5,3y是多项式 d=x+12,所以a+b+c+d=(x-12)+(x-2)+(x+ 4 2)+(x+12)=4x. 4.(1)2x2-2y2(2)-3a2-5a-4 (3)M的值不能等于1000.理由如下： [解析](1)原式-8x2-5y2-6x2+3y2 令M=1000,则4x+x=1000,所以x=200 =(8-6).x2+(-5+3)y2 因为200不是奇数，所以与题目x为奇数的要求矛 =2x2-2y2. 盾，所以M的值不能等于1000. (2)原式=a-a2-2-2a2-6a-2 【素养撫究创新练】 =(-1-2)a2+(1-6)a+(-2-2) 4.解：(1)111（容案不唯一）》 =-3a2-5a-4 (2)设“团结数”的百位数字为，十位数字为b,个5.解：原式=2xy. 位数字为c,则a+c=2b. 6.解：(1)一(2)原式=x2-x-5. ·15