精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年八年级上学期开学数学试题

2024-2025学年灯塔市八年级（上）开学测试数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．根据无理数的概念进行判定即可． 【详解】解：1、0、是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 1，3，6 C. 3，4，5 D. 4，4，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，5，8的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为1，3，6的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为3，4，5的三条线段能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为4，4，9的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据加减消元法，即可求解． 【详解】解：， ①+②，得：2x=8，解得：x=4， ①-②，得：2y=2，解得：y=1， ∴方程组的解为：， 故选 C． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法，是解题的关键． 4. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 检查一枚运载火箭的各零部件 C. 调查某款节能灯的使用寿命 D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了的普查和抽样调查，解题的关键是掌握普查适用于：事关重大、人命关天的；样本较小，方便调查的；对结果精确度要求高的；抽样调查适用于：数量巨大，不便于全面调查的；调查具有破坏性的．根据普查使用的情况，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、检测某城市的空气质量，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； B、检查一枚运载火箭的各零部件，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，符合题意； C、调查某款节能灯的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； D、调查观众对春节联欢晚会的满意度，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 5. 若，则的值为（ ） A. 9 B. －9 C. 6 D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵顶角， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 7. 在一个不透明的盒子中装了5张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“谷雨”，2张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立夏”的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了运用概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比成为解题的关键． 根据在一个不透明的盒子中装了5张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立夏”，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了5张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立夏”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立夏”的可能性为． 故选：B． 8. 一块长为，宽为的长方形卡片，若将这张卡片的长增加，宽减少，则它的面积（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式运算的应用，由变化后的面积减去变化前的面积，利用整式的混合运算法则化简与0比较大小即可求解． 【详解】解：根据题意，设变化后的面积为，变化前的面积为， 则 ， ∵， ∴，则， ∴，即它的面积变小了， 故选：A． 9. 若关于的不等式组，有且只有3个整数解，且关于的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A. 9 B. 17 C. 18 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组的解集，根据有且只有3个整数解，得到关于a的不等式，解之，解一元一次方程，根据解为正整数，得到a的取值，取所有符合题意的整数a即可得到答案． 【详解】解：， 解得：， 因为有且只有3个整数解， ， 整数的值8，9，10， 关于的一元一次方程， 解得：， 因为解是正整数， 整数的值8或10， 所有满足条件的整数的值之和为18． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 10. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走.下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需.设从甲地到乙地的上坡路程长，平路路程长为，依题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】去乙地时路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组． 【详解】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm， 由题意得： 故选C. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “与4的和是正数”，用不等式表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式．根据正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：用不等式表示为． 故答案为： 12. 嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 13. 一个角的补角比它的余角的3倍还多10°，则这个角是______°. 【答案】50° 【解析】 【分析】设这个角为x，根据题意列出方程即可求解. 【详解】设这个角为x，根据题意得180°-x=3（90°-x）+10° 解得x=50°， 故填：50°. 【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是根据题意列出方程进行求解. 14. 一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是__． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出黑色地板在整个地板中所占的比值，再根据其比值得到所求概率． 【详解】由图可知，黑色地板有6块，共有16块地板， 黑色地板在整个地板中所占的比值为：， 小球最终停留在黑色区域的概率是； 故答案为． 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 15. 如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， 的周长最短 ． 故答案为：10． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解二元一次方程组， （1）根据实数运算法则，先求平方根和立方根，并取绝对值，再根据加减运算计算即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，把先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可以得到． （1）画出平移后的图形； （2）请写出平移后的各个顶点的坐标． （3）三角形的面积是 　　． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查图象的平移， （1）根据平移的规则先将对应的点进行平移，再顺次连接即可； （2）根据图象中点的位置和题目给定的平移规则进行求解即可； （3）利用网格特点，结合割补法进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：由图可得，． 【小问3详解】 解：三角形ABC的面积为． 故答案为：． 18. 小红想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？ （2）你是否同意小明同学的说法？说明理由． 【答案】（1）长方形纸片的长是，宽是 （2）不同意，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积为列出方程，解方程即可； （2）根据，得出长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，即可得出不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 【小问1详解】 解：设长方形纸片的长为，则宽为， 依题意得：， ， ， ， ，， 答：长方形纸片的长是，宽是． 【小问2详解】 解：不同意小明同学的说法． 理由：， ， ， 长方形纸片的长大于， 正方形纸片的边长为． 长方形纸片的长大于正方形纸片的边长 不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，应用平方根解方程，无理数的估算，解题的关键是根据等量关系列出方程，求出长方形的长和宽． 19. 如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等式的性质得出，先证明，得出，再证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵于点C，于点F， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20. 六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品(如下表)．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已改概率求数量： （1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色的区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案. 【小问1详解】 解：， ∴小明获得中性笔的概率是； 【小问2详解】 解：， ∴小明获得奖品的概率是； 【小问3详解】 解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色. 21. 如图，． （1）求证∶． （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据同角的补角相等得到，即可证明出； （2）首先根据平行线的性质和判定得到，进而得到，，然后结合角平分线的概念求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 【阅读与思考】 下面是小明同学数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式是常数），当他们满足 ，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式来说 2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若2，4，是一组平衡数，求的值； 问题解决】 （3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）将2，4，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】解：（1） ； （2）是一组平衡数， 的结果为常数， ； （3）． 证明：是平衡数， 结果为常数， 结果为常数， ． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点， 在和中， ， 与为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年灯塔市八年级（上）开学测试数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 1，3，6 C. 3，4，5 D. 4，4，9 3. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 检查一枚运载火箭的各零部件 C. 调查某款节能灯的使用寿命 D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度 5. 若，则的值为（ ） A. 9 B. －9 C. 6 D. －6 6. 如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的盒子中装了5张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“谷雨”，2张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立夏”的可能性为（ ） A. B. C. D. 8. 一块长为，宽为的长方形卡片，若将这张卡片的长增加，宽减少，则它的面积（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法确定 9. 若关于的不等式组，有且只有3个整数解，且关于的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A. 9 B. 17 C. 18 D. 27 10. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走.下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需.设从甲地到乙地的上坡路程长，平路路程长为，依题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “与4的和是正数”，用不等式表示为_____________． 12. 嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为______． 13. 一个角的补角比它的余角的3倍还多10°，则这个角是______°. 14. 一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是__． 15. 如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为______． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，把先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可以得到． （1）画出平移后的图形； （2）请写出平移后的各个顶点的坐标． （3）三角形的面积是 　　． 18. 小红想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？ （2）你是否同意小明同学的说法？说明理由． 19. 如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 20. 六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品(如下表)．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔概率是多少？ （2）小明获得奖品概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 21. 如图，． （1）求证∶． （2）若平分，，，求的度数． 22. 【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式是常数），当他们满足 ，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式来说 2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若2，4，是一组平衡数，求值； 【问题解决】 （3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$