精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

湖南师大附中高新实验中学2024年下期九年级暑假作业检测试卷（数学） 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 2. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可． 【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6， ∴中位数为：9.4， 故选B． 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 4. 抛物线图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可． 【详解】解：抛物线图象的顶点坐标是． 故选D． 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当 时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 6. 某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得答案． 【详解】解：由题意得： 故选：B． 【点睛】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 7. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数图象与一元一次不等式的联系求解即可． 【详解】解：由图可得，当时，， ∴关x的不等式的解集是， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，对角线 ，相交于点 ，，垂足为 ，，，则 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而求得的度数，由是等边三角形，求出的度数，又由，求得 的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 10. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②； 根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③； 根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④. 【详解】解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确； ②∵抛物线过，∴时，，故②正确； ③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误； ④由图象可知：，，∴， ∵，∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 12. 已知正比例函数图像经过二、四象限，则k______0． 【答案】 【解析】 【分析】对于正比例函数，当时，函数图象经过一、三象限；当 时，函数图象经过二、四象限；由此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过二、四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数图象的性质，理解正比函数图象的性质与比例系数之间的关系是解题关键． 13. 将抛物线y=4x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,所得抛物线的解析式为______. 【答案】y=4(x+2)2+3 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的解析式. 【详解】抛物线y=4x2向上平移3个单位得到解析式为y=4x2+3； 向左平移2个单位所得抛物线的解析式为y=4(x+2)2+3； 故答案为y=4(x+2)2+3. 【点睛】本题考查的是二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键. 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 15. 如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为__cm2． 【答案】． 【解析】 【详解】解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示， ∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点， ∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG， EF=AC=HG， ∴四边形EHGF是平行四边形， ∵菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴AO=AB=3， ∴AC=6， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=， ∴BD=6， ∵EH=BD，EF=AC， ∴EH=3，EF=3， ∴矩形EFGH的面积=EF•FG=9cm2． 故答案为：． 16. 如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线 上一动点，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点E关于 的对称点，连接，交 于M，此时，最小值是的长，进而可求得答案． 【详解】解：如图，作点E关于 的对称点，连接，交 于M，此时最小， ∵四边形是正方形， ∴，，，点在 上，， ∴， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（共9小题，6、6、6、8、8、9、9、10、10，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）无实数根 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用公式法计算即可． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 原方程无实数根 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________人；表中________，________； （2）请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3）3600人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 ∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 20. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）根据点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过和两点， ∴， 解得：， 所以这个一次函数为； 【小问2详解】 令，则， ∴直线 与y轴的交点为； 令 ，则， ∴直线 与x轴的交点为． ∴一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 证明：， ∵ ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，D是AC的中点，过点D作交 于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求 的长． 【答案】（1）证明：∵D是 的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质： （1）先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，再利用等积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∵， 即， ∴． 23. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资 万元，修建一个 种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚 个，则修建 种光伏车棚个，修建种和 种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资 万元，修建一个 种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚 个，则修建 种光伏车棚个，修建种和 种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随 的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 24. 矩形的边长，点 在上，把沿折叠，使点 落在边的点处，． （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点 运动，同时点 从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为 秒，过点 作，于点． ①请证明在、 运动的过程中，四边形是平行四边形； ②连接，当 为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）①证明：由题意得：，， 则， ，， ，， 由（1）得：， ， ， 四边形是平行四边形； ②秒或秒 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，然后求出，则； （2）①由题意得：，，则，由（1）得：，则，从而推出，即可证明四边形是平行四边形；②分三种情况：当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，，， 四边形是矩形， ， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②分三种情况： 、当时，，如图所示： ，， ，， ，， ， 即， 解得：； 、当时，点、重合，不能构成； 、当时，如图所示： 过 作于 ， 则四边形是矩形，，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当 为秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 25. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线 上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段 长度的最大值． 【答案】（1） （2） 当 时，， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线 的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线 的解析式，把代入即可求出线段 长度的最大值． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段 长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中高新实验中学2024年下期九年级暑假作业检测试卷（数学） 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 6. 某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线 ，相交于点 ，，垂足为 ，，，则 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 9. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 12. 已知正比例函数图像经过二、四象限，则k______0． 13. 将抛物线y=4x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,所得抛物线的解析式为______. 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为__cm2． 16. 如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线 上一动点，则的最小值为________． 三、解答题（共9小题，6、6、6、8、8、9、9、10、10，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________人；表中________，________； （2）请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 20. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 22. 如图，在中，，，D是AC的中点，过点D作交 于点E，延长至F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求 的长． 23. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 24. 矩形的边长，点 在上，把沿折叠，使点 落在边的点处，． （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点 运动，同时点 从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为 秒，过点 作，于点． ①请证明在、 运动的过程中，四边形是平行四边形； ②连接，当 为何值时，为直角三角形？ 25. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线 上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段 长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $