精品解析：重庆市育才中学校2025届高三上学期定时训练（一）数学试题

重庆市育才中学校高2025届高三定时训练（一） 数学试题 2024.9 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题：函数（且）过定点，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若与的图象在上有唯一交点，则实数（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 7. 第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（ ）种 A. 108 B. 114 C. 150 D. 240 8. 已知函数，若函数有6个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的有（ ） A B. 已知则 C. D. 10. 已知函数，下列说法正确是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 当， C. D. 曲线有且仅有两条过点的切线 11. 已知函数为定义在R上的函数的导数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 关于对称 C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，常数项是___________. 13. 已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则__________． 14. 已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足． （1）若函数的定义域为，求a，b的值； （2）若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 16. 传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表． 年份t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 11 13 18 21 27 （1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； （2）该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望． 参考公式： 对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且极小值大于0，求a的取值范围． 18. 某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动． 在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对概率 0.8 05 获得的奖金（元） 10 20 30 （1）若，按“①、②、③”的顺序猜谜．在所获奖金不低于10元的条件下，求小王所获奖金为30元的概率； （2）假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ （3）在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B两类问题，每个参赛者回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取，规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取．已知小王能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n次回答正确的概率． 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间上有且仅有一个零点； （3）设为函数在区间上的零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市育才中学校高2025届高三定时训练（一） 数学试题 2024.9 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】集合，所以. 故选：C 2. 已知命题，命题：函数（且）过定点，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数性质，结合命题的否定判断即可. 【详解】由指数函数性质可知，恒成立，故为假命题，所以为真命题； 因为，所以过定点，为真命题. 故选：B 3. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 4. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数及正弦函数的单调性，借助媒介数比较大小. 【详解】依题意， 所以. 故选：A 6. 已知函数，若与的图象在上有唯一交点，则实数（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义构造函数，再探讨函数的奇偶性即可得解. 【详解】令，， 由，得是上的偶函数，其图象关于对称， 由与的图象在上有唯一交点，得函数有唯一零点，因此，所以. 又当时，， 当时，，故在为增函数， 故，故， 故在上有唯一零点，故. 故选：C 7. 第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（ ）种 A. 108 B. 114 C. 150 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】把5名新教师分成3组，利用分组分配及排除法列式计算即得. 【详解】5名新教师按分组有种方法，按分组有种分法， 因此5名新教师的安排方案有种， 当甲乙在同一组时，甲乙可视为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有种， 所以所求不同的安排方案有（种）. 故选：B 8. 已知函数，若函数有6个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元，结合的图象分析方程两根的分布情况，分类讨论可得. 【详解】由于函数有个零点，故方程有个根， 设，方程转化为， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当趋于时，趋于0，趋于0时，趋于， 所以函数的图象如图所示： 从图象可知，要使方程有个根， 则可转化为方程有两根且两根为以下情况： ①，，由得，验证不满足，因此这样的不存在； ②，，由得，验证满足成立，即； ③，，设， 由根的分布知，得. 综上：或. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. 已知则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数幂运算即可判断A；根据对数运算性质即可判断BD；利用诱导公式即可判断C. 【详解】对A，中，而中，故A错误； 对B，， 则，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 当， C. D. 曲线有且仅有两条过点的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合函数的单调性及导数的几何意义判断ABD；计算判断C. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得，函数的单调减区间为，A正确； 对于B，当时，；当时，， 即函数在上递增，在上递减，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，令切点为，则切线方程为， 当时，，解得或， 因此曲线有且仅有两条过点的切线，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数为定义在R上的函数的导数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 关于对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断A；利用复合函数求导法则，结合对称性、周期性求解判断BCD. 【详解】对于A，由为偶函数，得，则图象关于对称， 而为实数集上的奇函数，因此，A正确； 对于B，由为奇函数，得， 两边求导得：，即，函数为偶函数， 又，两边求导得：， 函数图象关于对称，得不到B选项说法，B错误； 对于C，由关于对称，得，C正确； 对于D，由，得，即， 因此是以为周期的函数，而， 而，则， 综上 故，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，常数项是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得； 【详解】解：二项式展开式的通项，令，解得，所以 故答案为： 13. 已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算即得. 【详解】函数，求导得，依题意，， 所以. 故答案为：4 14. 已知均为正实数，且，则当取得最小值时__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出取得最小值时的值；利用基本不等式处理，再利用基本不等式即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足． （1）若函数的定义域为，求a，b的值； （2）若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理求解即可； （2）根据复合函数单调性和真数大于0不等式组求解可得. 【小问1详解】 由题知，的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得. 【小问2详解】 因为为增函数，且函数在上单调递增， 所以函数在单调递增，且恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. 16. 传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表． 年份t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 11 13 18 21 27 （1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； （2）该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望． 参考公式： 对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】（1），年 （2）分布列见解析，期望. 【解析】 【分析】（1）利用给定的数据求出相关量，再利用最小二乘法求出回归直线方程，解不等式估算即可. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 设关于的线性回归方程， 依题意，，， ，， 因此，， 则关于的线性回归方程为， 令，解得，，取， 所以该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆． 【小问2详解】 依题意，按1:3分层抽样知，12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车， 所有可能的取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 期望. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，再按值分段讨论的正负即可. （2）由（1）的信息，结合极小值情况，求解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数在上单调递增，无极值， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值， 整理得，令，函数， 函数在上单调递增，，由，解得，即， 所以a的取值范围是. 18. 某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动． 在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得奖金（元） 10 20 30 （1）若，按“①、②、③”顺序猜谜．在所获奖金不低于10元的条件下，求小王所获奖金为30元的概率； （2）假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ （3）在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B两类问题，每个参赛者回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取，规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取．已知小王能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n次回答正确的概率． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用条件概率计算即得. （2）求出按两种指定顺序猜谜所获奖金的期望，再作差比较大小即可. （3）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出递推公式，再利用构造法求出通项公式. 【小问1详解】 设“所获奖金不低于元”为事件，“小王所获得的奖金为元”为事件， 则，， 所以 【小问2详解】 若小王按“①、②、③”的顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，， ，， 因此； 若小王按“③、②、①”顺序猜谜语，他所获奖金所有可能取值为(元)， ，，，， 因此，， 当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多； 当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多； 当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多． 【小问3详解】 小王第次回答正确的概率只与第次回答是否正确有关， 则，即，于是，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即，则， 所以小王第次回答正确的概率 ． 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间上有且仅有一个零点； （3）设为函数在区间上的零点，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的值域. （2）按为偶数、奇数分类确定单调性，结合零点存在性定理推理即得. （3）由（2）的结论，结合差角的正切公式、不等式性质及正切函数单调性推理即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 当时，，即函数在区间上是增函数， 而，，所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 当时， ①当是偶数时，，则函数在区间上单调递增； ②当是奇数时，，故函数在区间上单调递减； 而，，则， 由零点存在定理知，函数在区间上有且仅有一个零点. 【小问3详解】 由（2）知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即， 由，，得， ， 由，得，则，即； ， 由（1）知，当时，，则在上单增，于是，即， 又，则，因此， 所以 【点睛】关键点点睛：求出的范围，利用差角的正切公式及不等式性质化简变形是证明给定不等式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$