精品解析：安徽省定远县第三中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题

定远三中2024~2025学年高二年级上学期开学考测试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分、考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色显水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则（ ） A. -29 B. -22 C. 22 D. 29 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 8. 在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ） A. -2 B. -4 C. -8 D. -10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意的，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ） A. 若，则点的轨迹为线段 B. 若，则点的轨迹为线段 C. 存在，使得 D. 存在，使得平面 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为________． 13. 的值为______． 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． （1）求摸出的两个球中有红球的概率； （2）记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在平行六面体中，四边形与四边形均为菱形，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角． （1）利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和； （2）记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远三中2024~2025学年高二年级上学期开学考测试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分、考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色显水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由绝对值不等式和集合的交集运算得到结果. 【详解】由，则. 故选：A. 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算得，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 3. 若，则（ ） A. -29 B. -22 C. 22 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案. 【详解】由，得， 所以． 故选：A． 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 5. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间共面向量可得，代入解方程即可得出答案. 【详解】若空间向量共面， 则，所以， 所以，解得：. 故选：B. 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 故选：D． 8. 在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ） A. -2 B. -4 C. -8 D. -10 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算，先把向量用来表示，再用空间向量数量积运算即可求解 【详解】在正三棱锥中，，所以， 则，又，， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意的，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用配方法判断A、C；特值法判定B；利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，，对于任意的恒成立； 对于B，当时，，所以原不等式不恒成立； 对于C，，对于任意的恒成立； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ） A. 若，则点的轨迹为线段 B. 若，则点的轨迹为线段 C. 存在，使得 D. 存在，使得平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得到和，结合三角函数的性质和选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数， 将的图象向左平移个单位长度得到， 因为，可得， 即，可得，解得， 又因为，所以，所以，， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由为奇函数，所以B不正确； 对于C中，由， 则 ，所以C正确； 对于D中，由 ，因为，可得， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件结合余弦定理和三角形面积公式可求出，再利用正弦定理可求出三角形的外接圆半径，从而可求出三角形面积. 【详解】因为的面积，又， 所以，所以， 又，所以， 设外接圆的半径为，所以，解得， 所以外接圆的面积为． 故答案： 13. 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】切化弦，由余弦二倍角公式结合辅助角公式即可求值. 【详解】 故答案为： 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，设，，根据可得，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为点，分别为棱，的中点，所以，， 设，，其中，， 则，. 因为，则，解得， 又因为，，则， 可得， 所以，此时，即线段的长度的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的法向量，易得，即可得出证明； （2）求出，利用（1）中的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则可得，即； 又，即， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． （1）求摸出的两个球中有红球的概率； （2）记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 【答案】（1） （2）事件M，N不相互独立. 【解析】 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型的知识来计算概率； （2）结合分类原理，计算概率，然后通过判断事件的概率关系来确定是否相互独立. 【小问1详解】 从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况. 假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况， 即，共6种. 则摸出的两个球全是白球概率为：.所以摸出的两个球中有红球的概率为. 【小问2详解】 由（1），事件M的概率为， 事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数. 两球均为奇数的情况有，3种；两球均为偶数的情况有, 3种； 共6种，则； 即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有,共2种，则概率为. 因为不成立，所以事件M，N不相互独立. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的解析式，再根据函数奇偶性的判定方法直接去判定即可得证. （2）存在使得不等式成立，根据函数的解析式结构特征结合基本不等式即可求出求出，进而得解. 【小问1详解】 函数为偶函数，证明如下： ， 的定义域为，对于，都有，且， 所以为偶函数. 【小问2详解】 因为存在使得不等式成立，所以， 而，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 故实数的取值范围为. 18. 如图，在平行六面体中，四边形与四边形均为菱形，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）连接，因为四边形与四边形均为菱形， 且，所以与均为等边三角形， 取的中点，连接，则， 设，则， 在中，由及余弦定理，得， 即，所以舍去. 所以，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得，再由余弦定理及勾股定理得，从而利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用二面角的平面角向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直，以为原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 设，则， . 设平面的一个法向量， 由得，取，解得，故， 设平面的一个法向量， 由得，取，解得，故， 所以， 设二面角的大小为，所以. 19. 如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角． （1）利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和； （2）记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式，利用正弦定理与余弦定理化角为边，化简可证； （2）利用倍角定理及正弦定理化角为边，利用边的关系代入余弦定理消元求解方程可得. 【小问1详解】 设的内角的对边分别为，已知，求证：. 证明：由，得， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 则， 整理，得， 当时，，由，得，所以，则， 所以. 当时， 由上可知，当时，. 同理可证，当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 综上可知，倍角定理成立. 【小问2详解】 已知，由正弦定理得，则①， 又，由倍角定理得②， 将①式代入②式得，所以，即③ 由余弦定理，将①③代入得， 由，则， 又的面积为，则， 解得，则，， 故的周长为15. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $