精品解析：安徽省定远县第三中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题

定远三中2024~2025学年高二年级上学期开学考测试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分、考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色显水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则（ ） A. -29 B. -22 C. 22 D. 29 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 8. 在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ） A. -2 B. -4 C. -8 D. -10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意的，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ） A. 若，则点的轨迹为线段 B. 若，则点的轨迹为线段 C. 存在，使得 D. 存在，使得平面 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为________． 13. 的值为______． 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． （1）求摸出的两个球中有红球的概率； （2）记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在平行六面体中，四边形与四边形均为菱形，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角． （1）利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和； （2）记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 定远三中20242025学年高二年级上学期开学考测试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分、考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色显水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合1=x0<<2,B={0,12,则AnB=（) A.仍 B.{0,1} c{1,2} D.0 【答案】A 【解析】 【分析】由绝对值不等式和集合的交集运算得到结果 【详解1由A=（-2,0)U(0,2列，B=0,12号，则4nB= 故选：A. 第1页/共20页 6学科网 组卷网 2若复数2满足(2+3列2=24+820 ,则复数2在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算(2+31)z=4+8i2 得z=2+i,由共轭复数的定 义得2=2-i 再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解。 【详解】因为(2+31)2=4+8对205 所以2= 4+8201+81_0+802-3别）=2+i 2+3i 2+3i（2+3i)(2-3i) 所以2=2-1，所以复数2在复平面内对应的点为(2， ,位于第四象限」 故选：D 3.若a=(1,2-1,6=(,3,2）,则(a+b)(a-2b)=（) A.-29 B.-22 C.22 D.29 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案 【详解1由i=（-2,-0,b=(3,2),得a+6=(0,5-3),a-26=(-3,4,3) 所以(a+b)(a-26)=0x(-3)+5x(-4)+(-3)x3=-29 故选：A 4.以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为() A.18 B.36n C 54z D.72 【答案】D 【解析】 第2页/共20页 学科网命组卷网 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可： 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径r=6,高h=6, 侧面积S=2rh=72π， 故选：D 5.已知空间向量a=(1,03列，6=(2,10)，c=(5,2,2),若a6,c共面，则实数2的值为《) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间共面向量可得 =6+c,代入解方程即可得出答案 【详解】若空间向量0=(，0,3列，b=(2,10),c=(5,22）共面， 则a=6+心，所以(，0,3)=x(21,0)+y5,2z) 1=2x+5y 所以 0=x+2y,解得： 3=z x=-2,y=1,z=3 故选：B 6对数函数y=log,(a>0咀a≠)与二次函数y=(a-)-×在同一坐标系内的图象可能是（) B. ò 第3页/共20页 命学科网 命组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象，分别讨论0<a<1和a>1时，y=1og。x的单调性和y=(a-)r- 的开口方向以 及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得a>1,则二次函数中二次项系数a-1>0,其对应方程的两个 0, 根为a-1, ->1 选项A中，由图象得a-1,从而l<a<2,选项A可能： 1 <0 选项B中，由图象得a-1,与a>1相矛盾，选项B不可能： 选项D中，由对数函数的图象得0<a<1,则a-1<0,二次函数图象开口向下，选项D不可能： 1 >1 选项C中，由图象与x轴的交点的位置得a-1,与0<a<1相矛盾，选项C不可能 故选：A 7.某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽 取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为21，女生每天睡眠时间的平均数为7小时， 方差为14.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为() A.1.86 B.1.88 C.1.9 D.1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解。 800 600 7.7× .+7× .=7.4 【详解】由题意，总体的平均数为800+600 800+600小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： 第4页/共20页 学科网命组卷网 800 ×[2.1+(7.7-7.42]+ 600 800+600 ×[.4+(7-7.42]=1.92 800+600 故选：D, 8.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4,点D,E分别是楼PC,AB的中点，则AD:PE=( A.-2 B.4 C.-8 D.-10 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算，先把MD,PE向量用PA,PB,P℃来表示，科用空间向量数量积运算即 可求解 【详解】在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4,所以PA=PB=PC=4, 则∠APB=∠APC=∠BPC=60,又MD=PD-Pi-)PC-PA E-() i而-p陌-Pc-PAPi+Pme-m+c.丽-Pi-Pa.A 44好44-4x4 =-8 24 故选：C 第5页/共20页 6学科网 命组卷网 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对任意的x∈R,下列不等式恒成立的是() A.x2-x+1>0 B.9x2+1>6x C.4x-4x2-1≤0 D2* 22 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用配方法判断A、C；特值法判定B;利用基本不等式判断D. 【详解】对于A,x2-x+1= 1)2 x-2 270 ,对于任意的x∈R恒成立： 对于B,当X=3时，9x+1=6x,所以原不等式不恒 对于C,4x-4r-1=-(2x-少≤0，对于任意的x∈R恒成立 1 附于D 2+222 ，2= 2,当且仅当2，即x=0时等号成立，故D正确： 故选：ACD. 10如图，在正三楼柱ABC-ABG中，P为空间一动点，若BF=BC+ABB(a,ue[0,,则( b B 第6页/共20页 学科网命组卷网 A若2=少，则点P的轨迹为线段 C B若+H= ,则点P的轨迹为线段BC C存在元M∈(0，，使得AP⊥BC D.存在2，r∈(0，)，使得AP‖平面4BG 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可： 【详解1对于A:由BP=ABC+4BB,元，M∈[0,1，得点P在铡面BCCB内（含边界）， 若元=4，则BP=BC+BB)=ABC(1∈[0，），故点P的轨迹为线段BC,故A正确： 对于B:若元+u=1,则BP=BC+-)BB,所以BP-BB=(BC-BB),即BP=1BC, 又1[0，]故点P的轨迹为线段BC,故B正确： 对于C:分别取棱 BC,BG的中点D,E,连接DE,由题意易EBC上平面DE4, 当点P在线段DE上时，AP⊥BC,故存在2，L∈(O,),使得AP⊥BC,故C正确： 对于D:若使AP‖平面4BG,则点P必在枝棱BC上，此时4=0，故不存在2，r∈(0,1)， 使得AP‖平面4B,G,故D错误 故选：ABC. A B D 第7页/共20页 6学科网命组卷网 L已湘品数=ma看引}-c(a做引0<ac1肉，将的图象向右平移子个*位长 3π A.f(x)+g(x)=0 Bfx16)为偶函数 c8+g5-=0 [0 D.g(x)在6」 上单调递增 【答案】ACD 【解析】 根提题意每四)一co©(4-了和8)=co(4x-结合三角晒数的性质利和选项婆 判定，即可求解。 【f1白量数儿闭-如ar令-cwar令-o2ax-争. 将/闪前两家向在平移4个位长度称到8=-co20+受-争。 长为8说=-小可有8因闭=-m00(语+受-争=-小 o智7=1可隔袋42ae ,解得0=2+16k,k∈Z, 又因为0<a<18,所以w=2,所以()-c4-孕.8)=co(4x-孕。 对于A中，由f()+g()-co红-孕+o-孕-0，所以AE痛： 第8页/共20页 6学科网命组卷网 对于B,自f-8=f)=-o46x-2）孕=-sm4 为奇函数，所以B不正确： 对于中.6否到a网4管-列孕=m+争. g(否-=eos4-7-sn4x+7 则86)+8( 2 对TD中，由=4争，因4[利小写角4r-[晋-司引 [11ππ t∈ 因为函数y=cos1在12’4上单调递增， 所以g(x)在 6 上单调递增，所以D正确 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在A4BC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,C,若A4BC的面积S-V3/6 4+c2-a）,且 a=4△ABC ,则 外接圆的面积为 16π16 -元 【答案】3拼3 【解析】 A 【分析】由己知条件结合余弦定理和三角形的面积公式可求出3，再利用正弦定理可求出三角形的外 第9页/共20页 命学科网命组卷网 接圆半径，从而可求出三角形面积 详解)因为BC的面积S三b+c2一a)os4=6+c2-a 2bc .2hc-cosA=)besinA,所以tanA=5, 1 所以4 2 Asπ 又0<A<π，所以3， 2r=8 2♪4 设aABC外接圆的半径为r,所以”siA√5，解得√5， r2-16m 所以△ABC外接圆的面积为 3. 16π 故答案为：3 13.(sim5°+cos51+V5an10）的值为 【答案】V2 【解析】 【分析】切化弦，由余弦二倍角公式结合辅助角公式即可求值. 【标1mS+os50+5m10)）-(m5+as列+ 3sinl0° cos10° =(sin5°+cos5) cos10°+V3sin10° cos25°-sin25° =cos10°+V3sin10 cos5°-sin5 =2sin40" =√2 √2sin40° 第10页共20页 6学科网命组卷网 故答案为： √2 14.在棱长为4的正方体 BCD-AB,CD中，点E,F分别为棱DA,BB的中点，M,N分别为线 段D4,4B上的动点（不包括端点），且EN⊥FM,则线段MN的长度的最小值为 4v5 【答案】5 【解析】 【分析1建系，设M(x0,4),N(4y4),根据EN1FM可得x=2y,进而利用两点间距离公式结 合二次函数分析求解。 【详解】以D为坐标原点，D1,DC,DD所在的直线分别为轴、'轴、Z轴。建立空间直角坐标系， 如图所示。 2小 D C M A B D B 因为点E,F分别为棱DA,BB的中点，所以E(2,00),F(44,2)】 设M(x0,4),N(44),其中0<x<4,0<y<4, 则EN=(24).FM=(x-4,4,2) 因为EN1FM,则E.FM=(2,y4)小-(x-4,4,2)=2x-4y=0 解得x=2y, 又因为0<x<4.0<y<40<y<2 ,则 第11页/共20页 学科网丽组卷网 可阳w=-++4-4-2-4+-+9 所以W=4V5 45 5,出时y-氵，即线段N的长度的最小值为 45 故答案为：5· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，正方体 BCD-ABCD的棱长为2 D C A D C B (1)用空间向量方法证明：AC∥平面ACD 平面 (2)求直线BD与平面 ACD 所成角的正弦值 【答案】(1)证明：根据题意以D为坐标原点，分别 D1,DC,DD为xy,2轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： Z D C B AI D 第12页/共20页 命学科网命组卷网 易知4(2,0,0，C(0,20),4(2,0,2),C(0,22),D(0,02) 则4G=(-2,20),4C=(-2,2,0),CD=(0,-2,2). 设平面1CD的一个法向量为i=(:少2)， i.AC=-2x+2y=0 则n-CD=-2y+22=0令y=则可得x=12=1即方=(，1,1） 又n:4G=-2+2+0=0,即n14G, 又4Gz平面1CD 所以4G”平面4CD, √6 (2)3 【解析】 【分析】（山）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平而4CD的法向量i=(,1),易行n14C 即可得出证明： (2)求出BD=(-2,-2,0,利用)中的法向量，即可求得直线BD与平面4CD所成角的正弦值为 6 3· 【小问1详解】 略； 第13页供20页 6学科网命组卷网 A 【小问2详解】 C 易知B(2,2,0),D(00,0）,则BD=(-2,2,0) 由(1)知平面1C0的一个法向是为i=(L1), 设直线BD与平面 ACD 所成的角为日， sin=cos BD,n BD.列-2-2v6 则 BDn 2W2×33, √6 即直线BD与平面ACD,所成角的正弦值为3· 16.袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1,2；白球有4个，编号分别 为3,4,5,6，不放回地随机摸出两个球. (1)求摸出的两个球中有红球的概率： (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数'，判断事件M,N是否 相互独立. 3 【答案】(1)5 (2)事件M,N不相互独立. 【解析】 【分析】(1)运用列举法，结合古典概型的知识来计算概率： (2)结合分类原理，计算概率，然后通过判断事件的概率关系来确定是否相互独立. 【小问1详解】 第14页/共20页 6学科网6组卷网 6×5=15 从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有2 种情况· 假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况， 即8,485,8,6,4,5,4,6,56 共6种 62 1、 23 则摸出的两个球全是白球概率为：155·所以摸出的两个球中有红球的概率为55 【小问2详解】 由(1)，事件M的概率为 P(M)=2 事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数 {1,3},{1,5},{3,5 两球均为奇数的情况有 ,3种；两球均为偶数的情况 2,4,26,4,6,3种： P(N)= 62 共6种，则 155: MN即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有{4,6，{3,5}，共2种，则概率为 PMW)=2 5 P(MN)+P(M)P(N) 因为 不成立，所以事件M,N不相互独立 17.已知函数f()=e,8(x)=f1-x)+f1+x) (1)判断函数8()的奇偶性并予以证明： (2)若存在x使得不等式8()≤m成立，求实数m的取值范围 【答案】(1)函数8()为偶函数，证明如下： g(x)=f(1-x)+f(1+x)=e+e+x 8()的定义域为R,对于xeR,都有-x∈R,且8(-)=e+e=8() 第15页/共20页 6学科网 命组卷网 所以8()为偶函数 (2)[2e,+∞) 【解析】 【分析】(1)先求出函数8()的解析式，再根据函数奇偶性的判定方法直接去判定即可得证 (2)存在x使得不等式8()≤m成立台(wm≤m,根据函数8（的解析式结构特征结合基本不等 8(x) 式即可求出求出 进而得解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为存在x使得不等式8(d)≤m成立，所以8xm≤m, 而8()=e+er≥2Vee=2e,当且仅当x=0时，等号成立， 所以8(m=8(0）=2e,则m≥2e, 故实数m的取值范围为2c,+∞） 18.如图，在平行六面体 BCD-4B,CD中，四边形ABCD与四边形4BCD均为菱形。 ∠ABC=4BC=60,cos∠4HB=N6 D 、A D B 1)证明：平面4BCD 平面ABCD 第16页/共20页 6学科网命组卷网 (2)求二面角4-DD-G的正弦省 【答案】(1)连接 C,4C,因为四边形4BCD与四边形4BCD均为菱形， 且∠ABC=ABC=60,所以△ABC与△4BC均为等边三角形， 取BC的中点0，连接40,40，则401BC,40LBC 设AB=2,则A0=40=V5 在△1B4中，由0s∠A4B= 4及余弦定里，得2=M+22-2x2×4×V6 , 即A4-6A4=0,所以44=V6(M4=0舍去) 所以40+40=，所以401A0, 因为BCn40=0,BC,40C平面ABCD,所以A0L平面ABCD, 又A0C平面BCD,所以平面4BCDL平面ABCD V15 (2)5 【解析】 AO⊥BC,AO⊥BC A0⊥A0 【分析】(1)根据菱形性质得 ，再由余弦定理及勾股定理得 ,从而利 用线面垂直的判定定理证明401平面 4BCD,最后利用面面垂直的判定定理证明即可： (2)建立空间直角坐标系，求出平面ADD和平面CDD的法向量，利用二面角的平面角向量公式求解 即可. 【小问1详解】 略 第17页/供20页 命学科网命组卷网 【小问2详解】 OA,OB,OA 由(1)可知， 两两垂直，以0为原点， 以OA,OB,O4 xyz 所在直线分别为轴，'轴，2轴，建立空间直角坐标系 D B 设4B=2,则AV5,0,0B(0,10),C(0,-1,0),4(0,05) DD=AA=（-V3,0,V3,DA=CB=(0,2,0,DC=AB=（-V31,0 设平面4DD的一个法向量m=(,,), DD·m=0∫-3x+V3z=0 由D,4m=0得12y=0 ，取x=1:解得y=0,云=故m=(L.0,) 设平面CG0D的一个法向量i=(:,,2)】 DDn=0-V3x2+3z2=0 DG=0得气一3x+为=0，取与=1解得为=5,2，=1故i-5,) 所以cosm,n= m.n √10 m方2x55, 12 设二面角4-DD,-G的大小为，：所以如8 5 19.如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在△ABC中， 若A=2B,则△ABC为倍角三角形，其中角A叫做2倍角，角B叫做1倍角. 第18页/共20页 6学科网列组卷网 (1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘 以该边与第三边之和： (2)记△MBC的内角 A,B,C a,b.cnB=2C,2sinB=3sinC且△4BC的面积为 的对边分别为.已知 15v7 4,求△ABC的周长. 【答案】(1) 设△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,C,已知A=2B,求证：Q=bb+C) 证明：由A=2B,得sinA=sin2B=2 sinBcosB, 由正弦定理，得a=2 bcosB. 由余弦定理，得a=2bx4+c2-b 2ac 则ac=b(a+c2-b2） 整理，得(c-b)=(c2-b) Bπ 一当b=C时，B=C,由A+B+C=元，得4B=元，所以4，则1= 2, 所以0=b2+c2=b2+bc=b(b+c) 当b≠c时，a=b(c+b)=b(b+c) 由上可知，当A=2B时，a=b(b+c) 同理可证，当1=2C时，a=c(c+b), 当B=2A时，b=a(a+c）:当B=2C时，B=c(c+a）, 第19页/共20页 命学科网命组卷网 当C=2A时， c=a(a+b):当C=2B时，c2=b(b+a): 综上可知，倍角定理成立 (2)15 【解析】 【分析】(1)结合二倍角公式，利用正弦定理与余弦定理化角为边，化简可证： (2)利用倍角定理及正弦定理化角为边，利用边的关系代入余弦定理消元求解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ,b.3 已知2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c,则h=2CO. 又B=2C,由倍角定理得=c(c+)@, 9-d=ac 5 ,a= C 将①式代入②式得 所以5c=4a,即4③ 由余弦定理，将①③代入得cosC=口+bc3 252+ c2-2 =164 3 2ab 53 2× 4 42C 由0<C<π，则sinC=V-cos'2c=V万 4 A4BC的面15Y,则)bsinc-x3ax3exV7-I5y7 24244, 解得c=4,则b=6,a=5.a+h+c=15 ,则 故△ABC的周长为15. 第20页/共20页