精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期入学适应性训练数学试题

重庆八中2024—2025学年度（上）高三年级入学适应性训练 数学试题 命题：高三命题组 审核：高三审题组 打印：朱俊 校对：伍晓琴 陈超 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解二次不等式和对数函数不等式化简集合，结合集合的交集、补集运算即可求解. 【详解】或 所以 故选：A 2. 若x，，则的一个充分不必要条件（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分与必要条件的推导关系逐个选项判断即可 【详解】根据充分与必要条件的关系可知，设：“”的一个充分不必要条件为，则能推出，但不能推出； 对A，“”不能推出“”，故A错误； 对B，“”能推出 “”，且“”不能推出“”，故B正确； 对C，“”不能推出“”，故C错误； 对D，“”不能推出“”，故D错误 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析，充分条件能推出必要条件，必要条件不能推出充分条件，属于基础题 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 4. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，则（ ） A. 64 B. 100 C. 128 D. 132 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质计算可得，再由长与宽之比都相等可得结果. 【详解】由题意可得， 由长与宽之比都相等可得，即， 可得. 故选：C 5. 牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 25分钟 B. 32分钟 C. 35分钟 D. 42分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 6. 已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】函数的图象如下图所示： 令，若函数有三个零点， ①方程有一根在上，一根在上， 则，即，解得， ②方程有一根在上，一根等于-1， 则，此时无解， 综上：， 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先变形得到，故，累加法求和得到，结合等差数列求和公式得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D 8. 已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将图象与两坐标轴围成的图形面积，转化为图象与所围成的图象面积.利用的单调性、对称性等知识求得围成图形的面积. 【详解】由题可知函数图象为图象向左平移一个单位得到， 图象与两坐标轴围成的图形面积即为图象与所围成的图形面积， ，由得，解得， 所以的定义域为， 则有，函数的图象关于点成中心对称， 又，且点与点也关于点成中心对称， ， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减， 如图，根据对称性可知图象与所围成的图形面积是， 也即图象与两坐标轴围成的图形面积为. 故选：C 【点睛】本题涉及到多个函数的性质，如函数定义域的求法、函数图象变换（左加右减）、函数图象的对称性的判断方法、复合函数单调性的判断，还有对称图形面积的求法，需要利用数形结合的数学思想方法来求解. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 将一组样本数据的平均数混入到该组样本数据中，由此估计出来的统计量不变的有（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差 【答案】AD 【解析】 【分析】A，分别计算出原样本平均数和平均数混入后的平均数，对比可得；B，举例可以说明原样本的中位数和平均数混入后的中位数不一定相同；C，举例可以说明原样本的标准差和平均数混入后的标准差不一定相同；D，设，由于，则这两组数据的极差相同. 【详解】设原样本为，其平均数为，则，即， 混入后为，，平均数为， 于是， 则这两组数据的平均数相同，故A正确； 取这组数据为，则其中位数为3， 平均数， 加入平均数4后，中位数变为， 于是可得这两组数据的中位数不一定相同，故B错误； 取这组数据为，平均数为， 则其标准差为， 加入平均数3后，标准差变为 ， 于是可得这两组数据的标准差不同，故C错误； 不妨设，由于， 故这两组数据的极差相同，故D正确. 故选：AD. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误. 【详解】由，，得：； 对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即，），B错误； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C正确； 对于D，（当且仅当，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可判定A错误；根据题意，求得，可得判定B正确；由，结合函数的单调性，可判定C正确；结合函数求得，可得判定D正确. 【详解】由函数定义域为， 且，所以的单调递增区间为， 对于A中，令，可得， 所以，所以A错误； 对于B中，由， 所以， 因为，所以，所以B正确； 对于C中，由， 因为，所以， 因为，所以，即，所以C正确； 对于D中，由即， 令，可得， 所以函数在为单调递减函数，所以，即 因为可得，所以， 可得， 所以，所以D正确； 故选：BCD 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】法一：设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.法二：利用焦点三角形的面积公式快速求解. 【详解】 解法一：如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 解法二：如图，的面积为. 故答案：2. 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】设与曲线相切于点，写出切线方程，将切点代入两个方程，求出，再设与曲线相切于点，对函数求导，利用切线斜率求出切点，再将其代入，即可求得值. 【详解】设直线与曲线相切于点，由，得， 因为与曲线相切，所以消去，解得. 设与曲线相切于点，由，得， 即，， 因在曲线上，故， 即，解得. 故答案为： 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出. 【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数， 所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称， 所以，， 所以， 则， 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 则，，，，，，，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数的图象的对称点，对称直线，周期. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，若，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先赋值求出，再仿写式子相减，得，再利用累乘法进行求解； （2）先化简，再利用裂项抵消法进行求和. 【小问1详解】 在中， 令，得，解得， 因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 即（），当时，符合该式， 所以， 又因为满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以． 16. 已知函数･ （1）若，讨论的单调性； （2）若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后再利用导函数的正负情况，分类讨论即可； （2）先将函数代入不等式，然后参变分离，转化为函数最值问题，最后利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，得，即， 令，则，即不等式在恒成立， 设，则， 令， 所以上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即实数的取值范围为. 【点睛】此题主要考察了分类讨论函数单调性以及导数的恒成立问题，都是比较常规；分类讨论主要是讨论导函数的正负情况；对于恒成立问题，主要考虑两个方法，参变分离或整体构造，一般首选参变分离. 17. 已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是椭圆C的顶点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点，若三点均在椭圆上，且，直线的斜率均存在，请问直线是否过定点，若过定点求出定点坐标，若不过定点，说明理由. 【答案】（1） （2）过定点. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点和顶点坐标可直接求出标准方程； （2）设直线，联立直线方程与椭圆方程，利用的条件得到之间的等量关系式，结合双十字相乘法或待定系数法或主元法即可得出之间的化简式，代入直线AB的方程即可得定点坐标. 【小问1详解】 椭圆的焦点，椭圆的焦点 易知椭圆的焦点在轴上，且，故椭圆. 【小问2详解】 证明：因为点在椭圆上，解得. 设，直线.联立，得， 则，进而， 因为，所以，即， 即，即 即 法一（双十字相乘法） 法二待定系数法或 法三（主元法） 因为，所以点不在直线上，则，所以所以直线过定点. 18. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】（1）， （2）分布列见解析 （3）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得随机变量服从二项分布，即可得出期望值，依据二项式性质可得时，最大. （2）写出的所有可能取值，求出对应概率即可求得分布列； （3）根据题意可求得，可知游戏规则是公平的. 【小问1详解】 依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是， 当时，最大. 【小问2详解】 记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，Y可取.由事件相互独立， 则. ； ； ； 故分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问3详解】 不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币； 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 19. 已知函数， （1）求的最大值； （2）求函数的单调区间； （3）若，求实数的值. 【答案】（1）0 （2）在单调递减，在单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调性，从而求得的最大值. （2）先求得的定义域，然后利用多次求导的方法，求得的单调区间. （3）利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，根据单调性和最值来求得的值. 【小问1详解】 据题意，的定义域为，由， 所以在单调递增，在单调递减，所以. 【小问2详解】 据题意，，解得或， 所以的定义域为，由. 令，则， 于是知在单调递增，在单调递减， 所以，则， 即在单调递减，也在单调递减. 【小问3详解】 令， 则， ①当时，有，于是对， 有单调递增，存在，使得， 即，即，矛盾； ②当时，有，于是对，有单调递增， 存在使得， 即，即，矛盾； ③当时，，则在单调递减，又， 所以，则，即，符合题意. 综上： 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果一次求导无法求得函数的单调区间，可以考虑利用多次求导来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中2024—2025学年度（上）高三年级入学适应性训练 数学试题 命题：高三命题组 审核：高三审题组 打印：朱俊 校对：伍晓琴 陈超 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若x，，则的一个充分不必要条件（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 《中国共产党党旗党徽制作和使用若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，则（ ） A. 64 B. 100 C. 128 D. 132 5. 牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 25分钟 B. 32分钟 C. 35分钟 D. 42分钟 6. 已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 2 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 将一组样本数据的平均数混入到该组样本数据中，由此估计出来的统计量不变的有（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数__________. 14. 设函数定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，若，且． （1）求数列通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 16. 已知函数･ （1）若，讨论的单调性； （2）若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 17. 已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是椭圆C的顶点. （1）求椭圆C标准方程； （2）已知点，若三点均在椭圆上，且，直线的斜率均存在，请问直线是否过定点，若过定点求出定点坐标，若不过定点，说明理由. 18. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 19. 已知函数， （1）求的最大值； （2）求函数的单调区间； （3）若，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$