精品解析：贵州省遵义市第四中学2024-2025学年高二上学期入学质量监测数学试题

遵义四中2026届高二上学期入学质量监测 数学 命题组长：王贵兰 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. “幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的中位数为7 B. 该组数据的平均数为7.5 C. 该组数据的第60百分位数为7.5 D. 该组数据的极差为5 5. 已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的值域为 C. 的取值范围是 D. 11. 在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，则（ ） A. 该正四棱台的高为3 B. 球的表面积为 C. 该正四棱台体积为56 D. 动点的轨迹长度是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为______________. 13. 已知为所在平面内一点，且，连接，点在线段上且.若，则___________. 14. 已知为所在平面内一点，且点满足，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，. （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. （1）求证：∥平面； （2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 18. 在中，内角所对的边分别是，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求面积的取值范围； （3）如图，为平面上一点，且四点共圆，，求四边形的周长的最大值. 19. 已知函数. （1）若为的一个内角，且恒成立，求实数的取值范围； （2）若，对于，总成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2026届高二上学期入学质量监测 数学 命题组长：王贵兰 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数求出定义域化简集合B，再利用并集的意义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由通过复数运算求出，再根据共轭复数的定义求出，最后根据复数概念求出的虚部. 【详解】由，则， 因此， 所以的虚部为. 故选：B. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较与0，1的大小，从而可比较出大小关系 【详解】，， 所以 故选：D 4. “幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的中位数为7 B. 该组数据的平均数为7.5 C. 该组数据的第60百分位数为7.5 D. 该组数据的极差为5 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，百分位数，极差的求法进行求解即可. 【详解】首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8， 9， 9， 该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确； 该组数据的平均数为，因此B说法不正确； 又，因此该组数据的第60百分位数为，因此C说法正确； 又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确； 故选：B. 5. 已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出圆柱的半径，再由勾股定理求出球的半径，最后计算球的表面积即可； 【详解】设圆柱的高为，底面半径为， 由题意可得， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即， 所以球的表面积为， 故选：B. 6. 已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面平行的判定及性质判断即可. 【详解】由面面平行的判定定理可得不能推出，反之，若，直线平面，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 7. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，根据向量的模的性质和数量积的运算律求，再求，结合投影向量定义可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以 又，， 所以， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，确定时的单调性，利用单调性求出时的解，从而得出时，的解，然后结合已知，利用偶函数性质得结论． 【详解】设， ，，， 即，所以在上是减函数， ，， 时，， 又是偶函数，所以时，的解为， 又因为，所以的解集为， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：令，则，，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：由题意得，故， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的值域为 C. 的取值范围是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可判断出选项AB，根据函数与方程的思想可知，函数与函数图象有三个交点，得出之间的关系即可判断选项CD从而得出结果. 【详解】作出的图象如下： 对于选项A，由图象可知在和上分别单调递减， 但在其并集上不具有单调性，故A说法错误； 对于选项B，根据图象即可得函数的值域是，故选项B正确； 对于选项C，由，且，可得，则； 令，解得，令，解得； 由图象可得，， 所以，故的取值范围是，选项C正确. 对于选项D，令，即与函数图象有三个交点， 由图可知，故，选项D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合． 11. 在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，则（ ） A. 该正四棱台的高为3 B. 球的表面积为 C. 该正四棱台体积为56 D. 动点的轨迹长度是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取正方形的中心，正方形的中心，连接，，，过点作于点，则为正四棱台的高，根据已知条件计算判断，对于B，外接球球心在直线上，连接，，利用勾股定理列方程求出外接球半径，从而可求出球的表面积，对于C，利用棱台的体积公式计算判断，对于D，求出，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，从而可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A，取正方形的中心，正方形的中心， 连接，，，则平面，过点作于点， 则平面，，， ∵，，∴，， 故，， ∴， ∵，由勾股定理得，故A错误； 对于B，正四棱台外接球球心在直线上， 连接，，则，如图所示. 设，则，由勾股定理得 ，∴， 解得，则，故表面积，故B正确； 对于C，正四棱台的体积 ，故C正确； 对于D，如图所示，，勾股定理得 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，且刚好与边、相切， 故轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查棱台的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，从而可求出外接球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： . 13. 已知为所在平面内一点，且，连接，点在线段上且.若，则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得. 【详解】 如图，由题意可知， 由可得，又，所以， 故， 又，故，， ， 故答案为： 14. 已知为所在平面内一点，且点满足，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量的数量积的定义计算即可求出夹角. 【详解】因为，所以, 所以， 所以,所以 所以, 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，. （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求出，向量坐标的加法运算求出再求模长即可； （2）求出、的坐标，再由向量夹角的坐标运算可得答案. 【小问1详解】 ， ， ； 因为， 所以； 【小问2详解】 由（1），， 因为， 所以， 所以 所以与的夹角的余弦值为. 16. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）0.030； （2）79分； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第62百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以样本数据的第62百分位数在内，可得， 所以样本数据的第62百分位数为分； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为，落在的个数为， ，总方差. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. （1）求证：∥平面； （2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 【答案】（1）证明： 设，连接， 因为是平行四边形，可知为的中点， 又因为为侧棱的中点，则∥， 且平面，平面，故∥平面. （2）证明： 由（1）可知：∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，平面， 所以平面∥平面， 且平面平面，平面平面，可得∥， 又因为为的中点，所以为的中点. 【解析】 【分析】（1）设，再证明∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面∥平面，结合面面平行的性质定理分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，内角所对的边分别是，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求面积的取值范围； （3）如图，为平面上一点，且四点共圆，，求四边形的周长的最大值. 【答案】（1）； （2）面积的取值范围为； （3）四边形的周长的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由条件，结合，利用两角和正弦公式化简可得； （2）由条件结合正弦定理可得，，利用三角形面积公式表示面积并化简可得，结合正切函数性质及范围可求结论； （3）由条件利用余弦定理解三角形可求，结合平面几何知识求，再利用余弦定理结合基本不等式求的最大值，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， ， 所以， 所以，又， 故. 【小问2详解】 由正弦定理可得，又，， 所以，， 所以的面积， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，，又， 所以， 所以，故， 所以， 所以面积的取值范围为. 【小问3详解】 因为，，故， 又， 由余弦定理可得， 所以，即， 因为四点共圆，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，四边形的周长取最大值，最大值为. 19. 已知函数. （1）若为的一个内角，且恒成立，求实数的取值范围； （2）若，对于，总成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简可得，可得其单调性，求得，进而可求实数的取值范围； （2）由题意可求得，当时，，当时，，根据题意有，据此计算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当在上单调递增， 因为为的一个内角，所以，所以， ，即， 因为恒成立，所以， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为，又在上单调递增， 所以，即， 所以， ，且，所以， 当时，， 当时，， 若，对于，总成立， 则， ①当时，可得，所以， 所以，解得， ②当时，可得，所以， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $