精品解析：广东省深圳市红岭教育集团2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

红岭教育集团2024-2025学年度第一学期 初三入学摸底检测数学试卷 说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，理解 “将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A. 2024 B. 2022 C. 2023 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 5. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间． 【详解】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：． 故所列方程为：． 故选：B． 【点睛】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 6. 如图，平分交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．过点E作于点H，根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长度，再证明，即可求出的长． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； 平分， ， ， ； ； E是的中点，， ； 故选：A． 8. 如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接， ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图， 当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 9. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，熟练掌握一元二次根的判别式是解题关键． 11. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 12. 如图，在中，，，，是的角平分线，于点E，则的长是___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点作，再利用三角形面积公式即可解出． 【详解】解：过点作， ， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，只要证明△AGB≌△BHC，△BKC≌△CQD即可解决问题． 【详解】解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．   ∵∠CFB＝45° ∴CH＝HF， ∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°， ∴∠BAG＝∠FBE， ∵AG⊥BF，CH⊥BF， ∴∠AGB＝∠BHC＝90°， 在△AGB和△BHC中， ∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC， ∴△AGB≌△BHC（AAS）， ∴AG＝BH，BG＝CH， ∵BH＝BG+GH， ∴BH＝HF+GH＝FG， ∴AG＝FG； ∵CH⊥GF， ∴CH∥GM， ∵C为FM的中点， ∴CH＝GM， ∴BG＝GM， ∵BM＝5， ∴BG＝，GM＝2， ∴AG＝2，AB＝5， ∴HF＝， ∴CF＝×＝， ∴CM＝， ∵CK＝CM＝CF＝， ∴BK＝， ∵在△BKC和△CQD中， ∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD， ∴△BKC≌△CQD（AAS）， ∴CQ＝BK＝， DQ＝CK＝， ∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝， ∴DQ＝QF＝， ∴DF＝×＝． 故答案为． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质是解题关键． 三、解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）解一元二次方程：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程根据去分母得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 去分母得，， 解得，， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算，将代入计算出结果，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 16. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 数轴略， 所以不等式组的解集为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点，的坐标； （2）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出． 【答案】（1）， （2），， （3） 根据旋转的性质，画图如下： 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，关于原点对称的点的特征，画旋转图形． （1）根据平移后坐标为，得出平移变换是向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可解答； （2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可解答； （3）根据旋转的性质，先画出点，再依次连接即可． 【小问1详解】 解：∵平移后坐标为， ∴平移变换是向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∵，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵和关于原点成中心对称图形，且，，， ∴，，． 【小问3详解】 略 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）3 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，角平分线的定义，勾股定理等知识； （1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 19. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售． 问题解决 任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价． 任务二 探究进货方案 A，B两种图书进货方案一共有多少种？ 任务三 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】任务一：A种图书标价27元，B种图书标价18元；任务二：A，B两种图书进货方案一共有101种；任务三：购进A种图书700本、B种图书300本才能获得最大利润． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 任务一：设B种图书标价x元，则A种图书标价元，根据题意列方程并求解即可； 任务二：设购进A种图书m本，则购进B种图书本．根据题意列关于的一元一次不等式并求解即可，取值的个数就是A，B两种图书进货方案的种数； 任务三：设获得的总利润为W元，根据“总利润（A种图书的售价A种图书的进价）种图书的数量（B种图书的售价B种图书的进价）种图书的数量”写出W关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当取何值W的值最大，再求出此时的值即可． 【详解】解：任务一： 设B种图书标价x元，则A种图书标价元． 根据题意，得 ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：A种图书标价27元，B种图书标价18元； 任务二： 设购进A种图书m本，则购进B种图书本． 依题意得，， ∴， 又∵， ∴，且m为整数， ∴m可取101个值， ∴A，B两种图书进货方案一共有101种； 任务三： 设获得的总利润为W元， 则 ， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵，且m为整数， ∴当 时，W取最大值，此时购进B种图书（本）， 答：购进A种图书700本、B种图书300本才能获得最大利润． 20. 综合与实践 【问题情境】 在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在中，，，点为线段上一动点，连接．若将线段绕点沿逆时针的方向旋转得到，连接，易证与的数量关系为：__________，位置关系为：__________． 【变式探究】 “创新”小组提出：当点在如图2所示位置时，若将线段绕点沿顺时针的方向旋转，得到，过点作垂直于交于点，连接，试探究的度数． ①“善思”小组经过研究发现线段与的关系为：，，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程． ②从而“明辨”小组得出__________． 【问题拓展】 同学们提出当点在上继续向右运动时，的度数会发生变化，那么当点运动到如图3所示的位置时，__________，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现之间存在某种数量关系，请你写出三条线段之间的数量关系__________． 【答案】问题情境：，； 变式探究：①在中，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②；问题拓展：， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 问题情境：由题意得出，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，从而得出，即可得解； 变式探究：①由题意得出，证明为等腰直角三角形，得出，，，由旋转的性质可得：，，证明，得出，，求出，得到，从而推出；②证明四边形为矩形，得出，即可得解； 问题拓展：由变式探究可得：四边形为矩形，为等腰直角三角形，从而得出，，，可得出答案． 【详解】问题情境：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 变式探究：略 ②由①可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 问题拓展：由变式探究可得：四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2024-2025学年度第一学期 初三入学摸底检测数学试卷 说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A. 2024 B. 2022 C. 2023 D. 2021 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平分交于点D，，垂足为点C，若，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 6 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分） 9. 分解因式：_____． 10. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____． 11. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 12. 如图，在中，，，，是的角平分线，于点E，则的长是___________________． 13. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为_____． 三、解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）解一元二次方程：； （2）解分式方程：． 15. 先化简再求值：，其中． 16. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点，的坐标； （2）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求的长． 19. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本． 素材三 该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售． 问题解决 任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价． 任务二 探究进货方案 A，B两种图书进货方案一共有多少种？ 任务三 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 20. 综合与实践 【问题情境】 在数学课上，老师让同学们探究旋转中的数学问题，如图1，在中，，，点为线段上一动点，连接．若将线段绕点沿逆时针的方向旋转得到，连接，易证与的数量关系为：__________，位置关系为：__________． 【变式探究】 “创新”小组提出：当点在如图2所示位置时，若将线段绕点沿顺时针的方向旋转，得到，过点作垂直于交于点，连接，试探究的度数． ①“善思”小组经过研究发现线段与的关系为：，，请你帮“善思”小组写出此结论的证明过程． ②从而“明辨”小组得出__________． 【问题拓展】 同学们提出当点在上继续向右运动时，的度数会发生变化，那么当点运动到如图3所示的位置时，__________，（请你直接写出答案）此时“变通”小组发现之间存在某种数量关系，请你写出三条线段之间的数量关系__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $