精品解析：湖南省长沙市中雅培粹学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年下学期九年级入学练习试卷 数学科目 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．是的一次函数，所以A选项不符合题意； B．是的二次函数，所以B选项不符合题意； C．是的反比例函数，所以C选项不符合题意； D．是的正比例函数，所以D选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式其中对称轴是解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线． 故选：A． 3. 一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数图象经过的象限确定是解题的关键． 分析题目内容，观察题中一次函数的图象，可以看到图象经过二、三、四象限，所以． 【详解】解：图象经过二、三、四象限， 故． 故选：C． 4. 如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解本题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， 与不一定垂直，与不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意； 四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， 故C符合题意； 与不一定相等， 与不一定相等， 故D不符合题意， 故选：C． 5. 从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，，派谁去参赛成绩更稳定（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差越小，数据越稳定求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴派丙去参赛更合适， 故选：C． 6. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 无实数根 D. 由于不知道m的值，无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等实数根， 故选A． 7. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项、然后再给等式两边同时加上，然后再化简即可解答． 【详解】解： ， 故选：． 8. 受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设快递量平均每年增长率为x，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB， ∵，， ∴AC= ∴BD=10cm， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据图象与y轴交点即可判定，再利用二次函数的对称性和与轴交点求出对称轴，根据图象即可判断当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，再由当时，可得． 【详解】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴， ∴，A选项的结论不正确，不符合题意； 二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为，故B选项的结论不正确，不符合题意； 由图象知：当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意； 当时，，故D选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 若m，n是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握有成为解题的关键． 直接运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴． 故答案为：． 13. 将一次函数的图像向上平移3个单位长度，所得直线表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的法则解答即可．本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图像向上平移3个单位长度， ∴所得直线表达式为， 即． 故答案为：． 14. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故答案为：． 15. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得或3，则，， 当时，，则， ∴，， ∴， 故答案为：15． 16. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共7个小题，满分52分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，二次根式的加减运算，掌握基础运算的运算法则是解本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，已知一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【小问1详解】 设一次函数的解析式为， 把点，分别代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 设点坐标为， 的面积为6， ， 即 解得或， 或． 20. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 21. 奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） （1）网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； （2）第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 （2）再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设分别购进款纪念币、款纪念币枚，由题意得：，据此即可求解； （2）设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，；结合即可求解； 【小问1详解】 解：设分别购进款纪念币、款纪念币枚， 由题意得： 解得： ∴购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 【小问2详解】 解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为， 则 ∵ 解得： 又∵随的增大而减小 ∴当时，取最大值，且 此时： 故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 22. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）此方程为“限根方程”，理由见解析 （2）k的值为2 （3）m的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； 【小问2详解】 ∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； 【小问3详解】 ， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求出抛物线的表达式； （2）若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； （3）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）点的横坐标为 （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键． （1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解； （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点， ， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 又， ， 设，则， ， 又， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立：， 解得：， 点在第一象限， ， 即点的横坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 如图， 当时， ， 解得：， 或； 当时， 即， 解得：， 或， 综上：点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级入学练习试卷 数学科目 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，，派谁去参赛成绩更稳定（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 无实数根 D. 由于不知道m的值，无法确定 7. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 12. 若m，n是方程的两根，则______． 13. 将一次函数的图像向上平移3个单位长度，所得直线表达式为______． 14. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为_______． 15. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为______． 16. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 三、解答题（本大题共7个小题，满分52分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 20. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 21. 奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） （1）网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； （2）第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 22. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 23. 如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求出抛物线的表达式； （2）若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； （3）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $