精品解析：安徽省六校教育研究会2025届高三上学期入学考试数学试卷

安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试 数学试题 2024.9 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：C 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数求解即可. 【详解】由，可得，故. 故选：B. 3. 设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，根据求解即可. 【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切化弦，通分即可求解. 【详解】因为，因为，所以. 故选：A. 5. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在中点处，求出即可得球的半径，进而由球的体积公式即可得解. 【详解】根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体， 显然四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球球心在中点处， 又，故外接球半径， 所以. 故选：D. 6. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可； 【详解】因为，故， 其中，因此为减函数， 因为，故， 所以， 所以. 故选：B. 7. 若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5个交点临界状态的解即可. 【详解】如图所示，画出在的图象， 也画出的草图， 函数与的图象有且仅有4个交点， 则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可. 满足，解得． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可以推出和关于点对称，进而可得关于直线对称.再用赋值法求值即可. 【详解】由于， 所以， 则，因此. 令，则，故. 由于为奇函数，故， 即，故关于点对称. 由题， ，故关于直线对称， 因此当时，， 故， 因此. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为50 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用期望的性质计算判断A；由对称性求出，再由不等式的性质求出最小值判断B；利用正态分布的对称性判断CD. 【详解】随机变量， 对于A，，则，A选项错误； 对于B，，有，则， 当且仅当时等号成立，的最小值为50，B选项正确； 对于C，，所以，C选项正确； 对于D，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线， 因为，所以，故D选项错误. 故选：BC. 10. 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ） A. 双纽线的方程为 B C. 双纽线上满足的点有2个 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义将代入，化简后即可判断A；根据，判断B；由，可得在线段的中垂线即上，将代入方程求解后，即可判断C；利用向量和余弦定理判断D. 【详解】解：由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 当时，则双纽线的方程为， 化简可得，故A正确； 由等面积法得， 则，所以，故B正确； 因为，， 所以在线段的中垂线即上， 令，得，解得， 所以双曲线上满足的点有一个，故C错误； 因为在线段的中点，所以， 所以， 由余弦定理得， 即， ， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点 B. 函数的图像与函数的图像没有公切线 C. 函数，则有极大值，且极大值点 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用与的图象，知时，有一个交点，当，构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求得，即可求解；选项B，设出切点，利用导数的几何意义得到，将问题转化成求方程解的个数，即可求解；选项C，令，对求导，求出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解；选项D，构造函数和，利用导数与函数单调性间的关系，得到，且等号不能同时取到，再利用与图象间的关系，即可求解. 【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点， 当时，令，则， 由，得到，由，得到， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时取最小值，即， 所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确； 对于选项B，设与切于点，与切于点 则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数， 令，则，易知在上恒小于0， 当时，令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，又，， 所以在上有使得，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，且 当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误， 对于选项C，令，所以， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以存在，使得，即， 则上单调递增，在上单调递减， 所以有极大值，且极大值点，故选项C正确， 对于选项D，，则， 当时，时，， 所以，即，当且仅当时取等号， 令，则在区间上恒成立， 又，所以，当且仅当时取等号， 又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方， 所以，且等号不能同时取到，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面四边形中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将整理成，利用余弦定理求出和，最后利用向量数量积的定义计算即得. 【详解】 设，则（*）, 由余弦定理，，, 则由（*）可得：. 故答案为：. 13. 倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，依题意，利用点差法推出，结合图形得到，即得，与前式联立消去，计算即得. 【详解】 设中点为，两渐近线可写成，设， 则，且 ①-②可得， 整理得，，即(*)， 如图，在中，，则, 故，即， 将此式代入（*）得，解得依题意，，则. 故答案为：. 14. 我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有______种. 【答案】348 【解析】 【分析】分两类：①若6人乘坐3只船和②若6人乘坐2只船，即可利用分组分配问题，即可求解. 【详解】①若6人乘坐3只船： 先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法，再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船： 共有种方法 综上共有：种方法. 故答案为：348 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求角； （2）若的面积，若，且，求的周长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角再结合两角和的正弦公式即可求出，进而求出角. （2）先由三角形面积公式得，再由题意得，两边平方化简后结合即可求出，进而得，从而得解. 【小问1详解】 由正弦定理有， 所以， 所以， 又，故， 所以，由于，故. 【小问2详解】 由（1）得， 故，又，且， 所以， 又， 所以， 所以，结合解得或， 当时，， 故，此时三角形周长为； 当时，， 故，此时三角形周长为. 16. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，再结合线面垂直的判定定理可得结果； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果. 【小问1详解】 由三棱台知，平面， 因为平面，且平面平面， 所以， 因为，所以，又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接，以为原点，为轴，为轴， 过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为， 则 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得平面的一个法向量， 易得平面的一个法向量， 设与平面夹角为， ， 所以 由，得， 由（1）知，所以， 解得，所以三棱台的体积. 17. 已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，取椭圆上顶点列式求出即可得解. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即得. 【小问1详解】 不妨设椭圆上顶点，此时， 因为的面积为8，所以，联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 由消去并整理得， 设，则， 直线的方程为，令，得点的纵坐标， 则，同理得， 所以 . 18. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数； （2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数； （3）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【小问1详解】 函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点. 小问2详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递减， 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述：在上有且只有2个零点. 【小问3详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则. 因为，所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以. 由“合一切线”的定义可知，，所以. 当时，取， 则，符合题意. 所以. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用． 19. 若数列满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”. （1）设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”. （2）试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”. （3）若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合数列的新定义和递推公式，即可求解； （2）设，求得，结合数列的新定义，即可求解； （3）定义运算#：，证得，即运算“#”满足结合律，根据给定的数列，且，分为偶数和为奇数，结合数列的新定义，即可得证. 【小问1详解】 解：由题意，可得该数列第3项， 由递推公式，可得， 经计算，无论降维过程如何进行，最终得到坍缩数都是. 【小问2详解】 解：设，则， 故， 所以，， 所以，即， 所以当数列满足时，经过一次“降维”后得到的新数列仍然是边界为1的数列， 故这种“降维”可以持续进行，直至得到一个只有一项的数列，从而得到“坍缩数”. 【小问3详解】 解：定义运算#：，下面证明这个运算满足交换律与结合律： ，即运算“#”满足交换律， 又由， ， 所以，即运算“#”满足结合律， 所以对于给定数列，持续“降维”后得到的“城缩数”是唯一确定的，与实施“降维”的具体操作过程无关. 对于给定的数列，且， （i）当为偶数时，注意到， 而，从而， 按如下方式进行“降维”： 首先去掉第1项与第2项，在数列末尾添加；然后去掉原数列的第3项与第4项， 在数列末尾添加按照此种方式进行次“降维”之后得到的数列各项皆为正， 因此最终得到的“坍缩数”必为正数. （ii）当为奇数时，注意到， 而，从而. 按如下方式进行“降维”： 首先去掉第2项与第3项，在数列末尾添加；然后去掉原数列的第4项与第5项， 在数列末尾添加.按照此种方式进行次“降维”之后， 得到的数列各项皆为负数，因此最终得到的“扨缩数”必为负数. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、遇到数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试 数学试题 2024.9 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 0 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为50 C. D 若，则 10. 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ） A. 双纽线的方程为 B. C. 双纽线上满足的点有2个 D. 最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点 B. 函数的图像与函数的图像没有公切线 C. 函数，则有极大值，且极大值点 D. 当时，恒成立 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面四边形中，，则______. 13. 倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为______. 14. 我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有______种. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求角； （2）若的面积，若，且，求的周长. 16. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角余弦值为，求该三棱台的体积. 17. 已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 19. 若数列满足，则称该数列为边界为1数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”. （1）设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”. （2）试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”. （3）若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$