精品解析：江苏省句容市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

八年级数学阶段性学习评价样卷 一、填空题（每小题2分，共24分） 1. 在平行四边形中，，则____． 2. 为了解我省中小学生每天课外体育活动时间情况，比较适合的调查方式是 ____（填“全面调查”或“抽样调查”）． 3. 一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于____事件． 4. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹谷约为 _____石． 5. 为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率____(精确到0.01) ． 6. 已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是22，第二组与第四组的频率之和是，那么第三组的频数是__． 7. 面积为的菱形的一条对角线长为，则这个菱形的边长为______． 8. 房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点D、E、M、N分别是的中点，，则____ 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，那么______． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 11. 如图，矩形中，点E在上，且平分，若，，则____． 12. 如图，在平行四边形中，，，，为上一点且，则_____． 二、选择（每小题3分，共21分） 13. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法中错误的是（ ） A. 掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是 B. 从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件 C. 了解我市居民知晓“创建文明城市”的情况，适合抽样调查 D. 某种彩票中奖率为，买张彩票一定有张中奖 15. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 16. 如图，在平行四边形中，相交于点O，E为的中点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 17. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 18. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 26 19. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 20. 在如图所示的正方形网格中有，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，点A的坐标为，是关于A点中心对称的图形，写出，两点的坐标． 21. 某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计的图，请根据图中信息回答问题： （1）该名运动员正中靶心的频率在________附近摆动，他正中靶心的概率估计值为________． （2）如果一次练习时他一共打了150枪． ①试估计他正中靶心的枪数． ②如果他想要在这次练习中想要打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？ 22. 垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.垃圾分类管理，能最大限度地实现垃圾资源利用，减少垃圾处置的数量，改善生存环境状态.垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下： 根据图表解答下列问题： （1）请在条形统计图中将“厨余垃圾B”的信息补充完整； （2）在扇形统计图样中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为度； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占12%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.6吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为2000吨，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 23. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当的度数为 时，四边形是矩形． 24. 在平行四边形中，E、F分别是线段上的点，请用直尺和圆规作菱形 （1）用两种不同方法，不写作图过程，保留作图痕迹； （2）选择其中一种给出证明过程． 25. 如图，点E在矩形ABCD边DA的延长线上，EA=AD，过点D作DF/∥BE交BA的延长线于点F，连接BD，EF． （1）求证：四边形BDFE为菱形； （2）若AB＝2，∠ADB＝30°，求菱形BDFE的面积． 26. 如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． （1）求证：矩形为正方形； （2） ． 27. 矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． （1）若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； （2）若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； （3）如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学阶段性学习评价样卷 一、填空题（每小题2分，共24分） 1. 在平行四边形中，，则____． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到一组邻角互补，即，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 2. 为了解我省中小学生每天课外体育活动时间情况，比较适合的调查方式是 ____（填“全面调查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此进行进行判断． 【详解】解：为了解我省中小学生每天课外体育活动时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 3. 一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于____事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件分类的概念“随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，不可能发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件”，由此即可求解 ． 【详解】解：根据题意，座位号码是奇数属于随机事件， 故答案为：随机 ． 4. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹谷约为 _____石． 【答案】150 【解析】 【分析】由200粒内谷所占的比例来估计总体中谷的比例即可． 【详解】解：这批米内夹谷约为（石）， 故答案为：150． 【点睛】本题考查由样本估计总体，掌握样本与总体的联系是解题关键． 5. 为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率____(精确到0.01) ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到附近， 所以估计“点落入圆形区域内”的概率为， 故答案为：． 6. 已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是22，第二组与第四组的频率之和是，那么第三组的频数是__． 【答案】25 【解析】 【分析】根据频率的计算公式求出第二组与第四组的频数，由此即可得． 【详解】解：第二组与第四组的频率之和是，数据总数为100个， 第二组与第四组的频数是， 第一组的频数是22， 第三组的频数是， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟记频率的计算公式是解题关键． 7. 面积为的菱形的一条对角线长为，则这个菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的面积求出另一条对角线的长度，再利用勾股定理即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的另一条对角线长为， 由题意得，， ∴， 即菱形的另一条对角线长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴菱形的边长， 故答案为：． 8. 房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知，点D、E、M、N分别是的中点，，则____ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质，熟练掌握相关性质是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质和直角三角形斜边上的中线性质得到，再利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴，即， ∵点E是的中点，， ∴， 又∵点N是的中点，点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案：3． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，那么______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 11. 如图，在矩形中，点E在上，且平分，若，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出，进而求得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，，，，为上一点且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由平行四边形的性质得，，从而得，又证明是等边三角形，得，进而得，根据含的直角三角形的性质得，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键． 二、选择（每小题3分，共21分） 13. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 14. 下列说法中错误的是（ ） A. 掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是 B. 从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件 C. 了解我市居民知晓“创建文明城市”的情况，适合抽样调查 D. 某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了概率求法以及抽样调查的意义、不可能事件的定义、概率的意义，正确掌握这些定义和意义是解题关键．直接利用概率求法以及抽样调查的意义、不可能事件的定义、概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A中、掷一枚普通的正六面体骰子，共种等可能情况，故出现向上一面点数是2的概率是，说法正确，故不合题意； B中、装有个红球的袋子中，没有白球，故摸出个白球是不可能事件，说法正确，故不合题意； C中、了解我市居民知晓“创建文明城市”的情况，调查范围大，故适合抽样调查，说法正确，故不合题意； D中、某种彩票的中奖率为，是指大量重复试验，中奖频率接近，不是指买张彩票一定有张中奖，原说法错误，故符合题意； 故选：D． 15. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理，掌握相关定理内容是解题关键． 【详解】解：对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A是假命题； 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B是真命题； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题； 故选：A ． 16. 如图，在平行四边形中，相交于点O，E为的中点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可得，再由E为边中点可得是的中位线，利用三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在中，， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 17. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、两点间距离公式，先求得的长度，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【详解】解：连接，， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 18. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的面积逐渐增大，点在上运动时，的面积保持不变，结合图象得到，即可得出结果． 【详解】解：当点在上运动时， 的面积，随着的增大而增大， 当点在上运动时，的面积为定值，保持不变， 由图象可知：， ∴矩形的周长是； 故选B． 19. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 三、解答题 20. 在如图所示的正方形网格中有，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，点A的坐标为，是关于A点中心对称的图形，写出，两点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图----旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． （1）分别作出点B和点C以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）由点B和点A的坐标作出坐标系，分别作出点B，C关于点A的对称点，再顺次连接即可得，再确定点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，，两点的坐标分别为 21. 某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计的图，请根据图中信息回答问题： （1）该名运动员正中靶心的频率在________附近摆动，他正中靶心的概率估计值为________． （2）如果一次练习时他一共打了150枪． ①试估计他正中靶心的枪数． ②如果他想要在这次练习中想要打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？ 【答案】（1）0.9；0.9 （2）135；50 【解析】 【分析】（1）根据图中的五个点分析即可得到该名运动员正中靶心的频率在0.9附近摆动，再利用频率估计概率即可； （2）①根据他正中靶心的概率即可求出他正中靶心的枪数；②先求出他还需要命中的枪数，再用还需要命中的枪数除以命中的概率即可求解． 【小问1详解】 解：根据图中的五个点，该名运动员正中靶心的频率在0.9附近摆动，他正中靶心的概率估计值是0.9； 【小问2详解】 解：①∵他正中靶心的概率估计值是0.9 ∴150×0.9=135（枪） 故答案为0.9,135 答：估计他正中靶心的枪数为135枪． ②180－135=45（枪） 45÷0.9=50（枪） 答：他还需要打大约50枪． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的应用等知识点，利用频率估计概率是解答本题的关键． 22. 垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.垃圾分类管理，能最大限度地实现垃圾资源利用，减少垃圾处置的数量，改善生存环境状态.垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下： 根据图表解答下列问题： （1）请在条形统计图中将“厨余垃圾B”的信息补充完整； （2）在扇形统计图样中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为度； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占12%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.6吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为2000吨，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 【答案】（1）补全条形统计图见解析；（2）21.6；（3）每月回收的塑料类垃圾可以获得77.76吨二级原料． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件算出其他三种垃圾的数量，即可得解； （2）算出有害垃圾C的概率再乘以即可； （3）根据已知的数据列式计算即可； 【详解】（1）解：（吨，（吨，（吨，（吨，补全条形统计图如图所示： （2）， 故答案为：21.6； （3）（吨， 答：每月回收的塑料类垃圾可以获得77.76吨二级原料． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、全面调查和抽样调查，准确计算,从统计图形中获取关联信息是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当的度数为 时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质， （1）根据题意可得，根据平行四边形的性质可证，可得，结合平行四边形的判定即可求证； （2）根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”，当时可得，根据三角形的外角的性质即可求证． 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，，即， ∴四边形是矩形， ∴当四边形是矩形时，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 24. 在平行四边形中，E、F分别是线段上的点，请用直尺和圆规作菱形 （1）用两种不同方法，不写作图过程，保留作图痕迹； （2）选择其中一种给出证明过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、线段的垂直平分线和角平分线等基本作图． （1）如图1，以点A为圆心，为半径画弧交于点E，以点B为圆心，为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求；如图2，作的角平分线交于点E，作线段的垂直平分线交于点F，连接，则四边形即为所求． （2）如图1，，，证明四边形为平行四边形，又由即可得到结论；如图2，证明，，再证明，即可得到结论． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图1：在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； 如图2，在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形． 25. 如图，点E在矩形ABCD边DA的延长线上，EA=AD，过点D作DF/∥BE交BA的延长线于点F，连接BD，EF． （1）求证：四边形BDFE为菱形； （2）若AB＝2，∠ADB＝30°，求菱形BDFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）菱形BDFE的面积． 【解析】 【分析】（1）首先证明△ADF≌△AEB可得AF=AB，进而可以证明四边形BDFE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵DF∥BE， ∴∠FDA=∠BEA， 在△ADF和△AEB中， ， ∴△ADF≌△AEB（ASA）， ∴AF=AB， ∵EA=AD， ∴四边形BDFE为平行四边形， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB=90°， ∴平行四边形BDFE为菱形； （2）∵∠DAB=90°，AB=2，∠ADB=30°， ∴AD=AB=2， ∴BF=2AB=4，DE=2AD=4， ∴菱形BDFE的面积为×BF•DE=×4×4=8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ADF≌△AEB． 26. 如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． （1）求证：矩形为正方形； （2） ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于M，于N，证，得，即可证矩形为正方形； （2）证明，可得，由此可推得，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于M，于N，则． 四边形是正方形， 平分，， 又，， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ，， ． 在和中， ， ． ， ∵四边形是矩形， 矩形是正方形． 【小问2详解】 解：四边形与四边形为正方形， ∴，，， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，化为最简二次根式，解决本题的关键是熟练运用相关性质定理． 27. 矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． （1）若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； （2）若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； （3）如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，设，再利用中利用勾股定理列出式子，求解即可； （2）过点作，为垂足，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①由翻折得， ∵，， ∴， 故答案为：； ②如图，由折叠知，，， 在中，， 设，则，， 则， ∵四边形矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：如图，过点作，为垂足， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； 【小问3详解】 解：①当时，如图， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， 由翻折知， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$