精品解析：内蒙古包头市第六中学等多校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由元素与集合的关系判断和集合与集合关系的判断及表示方法，对选项逐一分析. 【详解】集合， ，A选项错误； ，元素与集合不能用符号，B选项错误； 根据子集的定义，有，C选项正确； 集合不是集合中的元素，不能用符号，D选项错误. 故选：C. 2. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列的通项公式计算公比，再求和即可. 【详解】设等比数列的公比为，，依题意，，， 即，所以，即， 解得或，所以，，或，，， 所以. 故选：B. 3. “数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 4. 香农一维纳指数（H）是在生物学中衡量群落中的生物多样性的一个指标，其计算公式为，其中n为群落中物种总数，为第i个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例．已知某地区一群落初始指数为，群落中所有物种个体数量为N，在引入数量为M的一个新物种后，指数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数的含义，表示，再结合，，利用对数的运算法则化简运算可得. 【详解】不妨设引入数量为M的新物种之前，该群落中原有物种总数为， 由题意得，且， 在引入数量为M的一个新物种后，， 故选：B. 5. 若是偶函数，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】的定义域为， 由于是偶函数，所以， 所以， ， ， 所以. 故选：A 6. 已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的函数类型，求得，再利用导数的几何意义，求得即可. 【详解】因为为幂函数，故，解得，则，； 不妨设也即与的切点为， 则，且，解得. 故选：D. 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助奇函数的性质，结合复合函数的导数公式可得，结合已知条件可得的周期，再利用赋值法结合其周期计算即可得解. 【详解】由函数为奇函数，则，则， 由，则，即， 即有，则， 即具有周期性，且其周期为，则， 对，令，则有，即，即. 故选：D. 8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（ ） A. B. C. e D. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】通过同构得对任意恒成立，令，利用导数得在上单调递增，从而得，即有在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得答案. 【详解】解：因为不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 不等式对任意恒成立， 所以不等式对任意恒成立， 令，则， 令，则， 当时，即单调递减； 当时，即单调递增； 所以， 所以在上单调递增， 又因为式对任意恒成立， 即， 所以在上恒成立， 即，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以a的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在利用导数解答恒成立问题时，如果题设中有指数函数和对数函数，经常通过同构法，转化为函数的单调性进行求解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，，得，而，则，B错误； 对于C，函数在上单调递增，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前n项和为，，且，则（ ） A. B. C. 当时，取最小值 D. 当时，n的最大值为10 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件得到，结合等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意， 所以异号，而，所以，，A选项正确. 则， 所以，B选项正确. 由于，则，所以等差数列的前项为负数， 从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误. ， 所以当时，n的最大值为10，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于点成中心对称 B. ，无极值 C. 若在上单调递增，则 D. 若曲线与x轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，，则为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】A项判断是否恒成立即可；B项取特值利用导数研究极值可得；C项转化为在恒成立问题求解；D项求导数可得斜率，再代入化简即可得. 【详解】A项，， . 当且仅当时，曲线关于点成中心对称. 即当时，曲线不关于点成中心对称，故A错误； B项，当时，， ，则在上单调递增，不存在极值， 即，无极值，故B正确； C项，若在上单调递增， 则在恒成立，即，恒成立， 又由，得，所以要使恒成立，则，故C错误； D项，由题意可知， ， 则； ；. 故， 即为定值，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，求解即可. 【详解】因为，，， 故， 当且仅当，也即时取得等号. 故答案为：. 13. 写出一个同时满足下列三个条件的数列的通项公式：______ ①；②数列是递减数列；③数列的前n项和恒成立． 【答案】(不唯一) 【解析】 【分析】根据①②，可以联想到指数函数，且底数满足，再根据等比数列的求和公式验证③即可. 【详解】解：因为①，可以联想到指数函数； 又因为②数列是递减数列，可以联想到指数函数中底数满足； 当时，， 所以，满足①； 且数列是递减数列，满足②； ，满足③. 故答案为：(不唯一) 14. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】令， 令， 因为，所以，， 由，则， 令，即，解得， 则， 故当且仅当时，有. 故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到，从而可得出取最小值时，的值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若曲线过点，求的解集； （2）若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，根据函数的单调性以及定义域列不等式组来求得正确答案. （2）根据等差数列的性质列方程，利用分离常数法，以及基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 若曲线过点，则， 所以，所以，在上单调递增， 所以不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 依题意，存在使得，，成等差数列， 所以存在使得，且， 即存在使得， 即存在使得， 即存在使得， 即存在使得， 而当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）根据有极小值，且极小值大于列不等式，根据函数的单调性求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 的定义域是， ，在上单调递增， 令，解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以在处取得极小值， 依题意，， 即，函数在上单调递增，且当时，， 所以. 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【小问1详解】 依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 18. 设函数， （1）证明：有两个零点； （2）记是的导数，为的两个零点，证明：． 【答案】（1） 由，得，即，令， 函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 又，因此使得，使得， 所以函数有两个零点. （2） 由（1）知函数的零点满足：， 求导得，要证，即证，即证明， 令，求导得 ， 函数在上单调递减，则，由，得， 即，由，得，且在上单调递增， 因此，即，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用零点的意义，构造函数，利用导函判断函数单调性，借助零点存在性定理即可推理得证. （2）求出的导数，化不等式为，利用（1）中函数构造函数，结合零点的意义及单调性推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式转化成求证，然后再利用构造函数利用函数单调性证明. 19. 设，是不超过x的最大整数，当时，的位数记为，例如：，． （1）求；（注） （2）当时，记由曲线，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求数列的前n项和； （3）当，时，证明：． 【答案】（1）8 （2） （3） ， 当时， ，， 此时，， 所以，； ， 则有， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）利用对数式的运算得，可求； （2）根据定义可得当时，，然后求出通项，错位相减法求； （3）取，可得，，确定的范围和的值，即可证明． 【小问1详解】 ，则，所以. 【小问2详解】 当时，， 表示，，以及轴围成的平面图形的面积， 所以，记， 则①， 所以②， 由①②得 ， 所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 根据定义可得当时，，于对的范围分段讨论，判断和的范围，进而可得和的值，即可得到证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7 3. “数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 香农一维纳指数（H）是在生物学中衡量群落中的生物多样性的一个指标，其计算公式为，其中n为群落中物种总数，为第i个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例．已知某地区一群落初始指数为，群落中所有物种个体数量为N，在引入数量为M的一个新物种后，指数（ ） A. B. C. D. 5. 若是偶函数，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（ ） A. B. C. e D. 2e 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，，且，则（ ） A. B. C. 当时，取最小值 D. 当时，n的最大值为10 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于点成中心对称 B. ，无极值 C. 若在上单调递增，则 D. 若曲线与x轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，，则为定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，，则的最小值为______ 13. 写出一个同时满足下列三个条件的数列的通项公式：______ ①；②数列是递减数列；③数列的前n项和恒成立． 14. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若曲线过点，求的解集； （2）若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围． 17. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和． 18. 设函数， （1）证明：有两个零点； （2）记是的导数，为的两个零点，证明：． 19. 设，是不超过x的最大整数，当时，的位数记为，例如：，． （1）求；（注） （2）当时，记由曲线，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求数列的前n项和； （3）当，时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $