精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四十七中学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

哈47中学2024—2025 学年度上学期开学验收 初四数学试题 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为 120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、 “座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液修正带、刮纸刀． 一、选择题 （每小题3分，共计30分） 1. 下列式子中，表示y 是 x 的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 下列一次函数，y随x 增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，数轴上点 A 表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 7. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1 8. 下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（ 　） A. B. C. D. 9. 如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知1号探测气球从海拔5米处出发， 以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升．两个气球都上升了．图像表示两个探测气球的海拔高度差y（单位：m）与上升时间t（单位：min）之间的函数图像．下列说法正确的有 （ ）个． ①A点纵坐标为10； ②B时刻，1号气球的海拔高度为25； ③当时，； ④C点纵坐标为20； A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题 （每小题3分，共计 30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 关于 x的一元二次方程 有一个根为1，则a的值为______________． 13. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为______________． 14. 如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高_______________米． 15. 如图，平行四边形中，平分，交于点F，，交点，，则=_________． 16. 如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集为________． 17. 在平行四边形中，，过A 作交边于点H，若，则四边形的面积为_______________． 18. 某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_____． 19. 将三角形纸片按如图折叠，使点C落在边上的点D处，折痕为，已知，，若以点B，D，F为顶点的三角形与相似，那么的长是__________． 20. 已知∶四边形，，连接对角线，过D作于，若，则的长为_______________． 三．解答题（21题8分， 22、23题各7分， 24题8分， 25-27题各10分， 共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图， 中， 于D， 若 求 23. 如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： （1）在图1中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形； （2）将图1中分割形成的2个三角形进行重新拼接，形成平行四边形，在图2、图3、图4中画出拼成的平行四边形，并直接写出每种情况中非拼线接形成的对角线的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，直线与直线相交于点． (1)求直线解析式； (2)点在第一象限直线上，连接，且，求点的坐标． 25. 某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元，购进A种商品6件和B种商品8件需440元． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利超过344元，则至少购进多少件A商品？ 26. 已知：矩形，E、F 分别是、 边上两点，连接交对角线于G，． （1）求证：； （2）取中点 N，过N作交于M，求证：； （3）在（2）得条件下，延长交于K，若，，，求线段长． 27. 平面直角坐标系中，直线 交轴于、交轴于， 直线交轴正半轴于点， 且． （1）求直线的解析式； （2）点是线段上一动点， 连接，点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）条件下，过作，交直线于，交轴于，是第四象限内一点，连接、，使，，是线段上一点，过作 于，连接、， 当时，求的最小值，并求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈47中学2024—2025 学年度上学期开学验收 初四数学试题 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为 120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、 “座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液修正带、刮纸刀． 一、选择题 （每小题3分，共计30分） 1. 下列式子中，表示y 是 x 的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，满足的式子为正比例函数，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、满足，故该选项是正确的； B、不满足，故该选项是不正确的； C、不满足，故该选项是不正确的； D、不满足，故该选项是不正确的； 故选：A． 2. 在中，，则是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，设，则，，可得，根据勾股定理的逆定理即可得答案．熟练掌握股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 3. 下列一次函数，y随x 增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数中中，y随x 增大而减小， ∴， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 4. 如图所示，数轴上点 A 表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 解：如图，， ， 点A在原点右边， 点 A 表示的数为． 故选C． 5. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 6. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ） A. B. 20tan37° C. D. 20sin37° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B． 考点：解直角三角形的应用. 7. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示， ∵菱形的周长为8cm， ∴菱形的边长为2cm， ∵菱形的高为1cm， ∴sinB= ∴∠B=30°， ∴∠C=150°， 则该菱形两邻角度数比为5：1， 故选C． 8. 下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，故选项错误，不符合题意； B、∵，故选项正确，符合题意； C、∵，故选项错误，不符合题意； D、∵，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握判别式． 9. 如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 10. 已知1号探测气球从海拔5米处出发， 以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升．两个气球都上升了．图像表示两个探测气球的海拔高度差y（单位：m）与上升时间t（单位：min）之间的函数图像．下列说法正确的有 （ ）个． ①A点纵坐标为10； ②B时刻，1号气球的海拔高度为25； ③当时，； ④C点纵坐标为20； A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像，从函数图形中获取信息，然后逐个判断即可；熟练掌握数形结合思想是关键． 【详解】解：①，故正确； ②设经过分钟，两个探测气球相遇 故B时刻，1号气球的海拔高度为25；故正确； ③当时， 故错误； ④ 故正确； 故选：C． 二、填空题 （每小题3分，共计 30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 关于 x的一元二次方程 有一个根为1，则a的值为______________． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入，转化为a的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】jie :把代入， 得， 解得， 故答案为：1． 13. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为______________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高_______________米． 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据，，可得，进而可得，再代入相应数据可得长． 【详解】解：如图， ，， ， ∴， 由题意可知，米，米，米， ∴， ∴米． 答：长臂端点应升高了8米． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例． 15. 如图，平行四边形中，平分，交于点F，，交点，，则=_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得：∠DFA＝∠EAF＝∠DAF，所以DF＝AD＝5，由等腰三角形三线合一的性质得：AG＝FG，再证明AD＝AE，可得DG＝3，利用勾股定理得AG的长，可得结论． 【详解】解：如图，设AF，DE交于点G， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠DFA＝∠EAF＝∠DAF， ∴DF＝AD＝5， ∵DE⊥AF， ∴AG＝FG， ∵∠DAF＝∠EAG，∠AGD＝∠AGE， ∴∠ADE＝∠AEG， ∴AE＝AD＝5， ∴DG＝EG＝DE＝×6＝3， 由勾股定理得：AG＝ ， ∴AF＝2AG＝8， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 16. 如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集为________． 【答案】x＞−3 【解析】 【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax＋b在直线y＝ax＋b上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，不等式kx＞ax＋b的解集为：x＞−3． 故答案为：x＞−3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 17. 在平行四边形中，，过A 作交边于点H，若，则四边形的面积为_______________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质算出，然后运用勾股定理列式，结合平行四边形的面积等于底乘高列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵在平行四边形中，， ∴ ∵过A 作交边于点H ∴ ∴ 故答案为：16 18. 某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_____． 【答案】25% ． 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，640×（1-降价的百分率）2=（640-280），据此方程解答即可. 【详解】设每次降价的百分率为x 由题意得： 解得：x=0.25 答：每次降低的百分率是25% 故答案25% 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于典型题，审清题意，列出方程是解题关键. 19. 将三角形纸片按如图折叠，使点C落在边上的点D处，折痕为，已知，，若以点B，D，F为顶点的三角形与相似，那么的长是__________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，分两种情况讨论：①若，则，②若，则，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：∵沿折叠C和D重合， ∴， 设，则， 以点为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①若，则， 则 即 解得：，经检验符合题意； ②若，则， 则 即：， 解得：，经检验符合题意； 综上所述的长为或， 故答案为或； 20. 已知∶四边形，，连接对角线，过D作于，若，则长为_______________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，勾股定理，解直角三角形的应用，先因为四边形，，得出四边形是内接四边形，是的中点，是直径，连接，根据，，则，代入数值计算，得，即可作答． 【详解】解：如图：记是的中点，连接， ∵在四边形，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：10 三．解答题（21题8分， 22、23题各7分， 24题8分， 25-27题各10分， 共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】分别化简代数式和的值，代入计算． 【详解】解：原式． ， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊三角函数的值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 22. 如图， 在中， 于D， 若 求 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，结合已知条件和正切的定义，进行求解即可，此题考查了相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义，难度不大． 【详解】解：，于， ，， ． ， 即． ， 设为，则为． ． 在中，， ． 23. 如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题： （1）在图1中，用一条线段将分成2个全等的直角三角形； （2）将图1中分割形成的2个三角形进行重新拼接，形成平行四边形，在图2、图3、图4中画出拼成的平行四边形，并直接写出每种情况中非拼线接形成的对角线的长度． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）因为等腰三角形，则过点A作，结合网格特征，得，即可作答． （2）结合平行四边形的性质，先作图，再运用勾股定理计算，即可作答． 本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，网格与勾股定理，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，如图所示：即为所求， 【小问2详解】 解：依题意， 虚线为非拼线接形成的对角线的长度 ∴ 虚线为非拼线接形成的对角线的长度 ∴ 虚线为非拼线接形成的对角线的长度 ∴ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，点的坐标分别为(1，0)，(0，2)，直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限的直线上，连接，且，求点的坐标． 【答案】（1）y＝−2x＋2；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得到直线AB的表达式； （2）通过解方程组即可得到点P的坐标，设点Q（t，2t−6），作QH⊥x轴，垂足为H，PK⊥x轴，垂足为K．可得KA＝2−1＝1，PK＝2，HA＝t−1，QH＝2t−6，根据勾股定理得到AP，AQ，根据AP＝AQ得到关于t的方程，解方程求得t，从而得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）设AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， 把（1，0）、（0，2）代入y＝kx＋b 得：，解得：k＝−2，b＝2， ∴y＝−2x＋2； （2）联立得，解得：x＝2，y＝−2， ∴P（2，−2）， 设点Q（t，2t−6），作QH⊥x轴，垂足为H．PK⊥x轴，垂足为K． KA＝2−1＝1，PK＝2，HA＝t−1，QH＝2t−6 AP＝，AQ＝， ∵AP＝AQ， ∴（t−1）2＋（2t−6）2＝5， 解得：t1＝2(舍去)；t2＝，， 把x＝代入y＝2x−6，得y＝， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 25. 某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元，购进A种商品6件和B种商品8件需440元． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利超过344元，则至少购进多少件A商品？ 【答案】（1）A种进价为40元，B种进价为25元． （2）至少购进A种商品22件． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由购进A种商品5件和B种商品4件需300元和购进A种商品6件和B种商品8件需440元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品件．根据获得的利润不低于344元，建立不等式求出其解就即可． 【小问1详解】 设A种进价为x元，B种进价为y元．由题意，得 ， 解得： 答：A种进价为40元，B种进价为25元． 【小问2详解】 设购进A种商品a件，则购进B种商品件．由题意，得 ， 解得： 答：至少购进A种商品22件． 26. 已知：矩形，E、F 分别是、 边上两点，连接交对角线于G，． （1）求证：； （2）取中点 N，过N作交于M，求证：； （3）在（2）得条件下，延长交于K，若，，，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据矩形及等边对等角求解，，即可证明结论； （2）连接，，由题意可知垂直平分，得，则，由（1）可知，，求得，设，则，求得，可得，再证明，即可证得； （3）连接，，由（2）知，垂直平分，可知为等腰直角三角形，由，设，，，证明，得，，则，由（2）知，，则，设，在中，根据，可求得，得，根据，解得，延长至，使得，连接，则，得，，，在中，求得，由（2）可知，，在中，即可求解． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 则； 【小问2详解】 证明：连接，， ∵为中点，，即垂直平分， ∴，则， 由（1）可知，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，， 由（2）知，垂直平分，则， ∵，则， ∴，则为等腰直角三角形， ∴，则 在矩形中，，则， ∴， 由，设，，， 在与中，， ∴， ∴，，则， 由（2）知，，则， 设，则，，， 在中，，即， 可得：， ∴， ∵， ∴，即：，，，， 延长至，使得，连接，则， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， 由（2）可知，， 在中，． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形，直角三角形是解决问题的关键． 27. 平面直角坐标系中，直线 交轴于、交轴于， 直线交轴正半轴于点， 且． （1）求直线的解析式； （2）点是线段上一动点， 连接，点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，过作，交直线于，交轴于，是第四象限内一点，连接、，使，，是线段上一点，过作 于，连接、， 当时，求的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为 （2） （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作作轴于，则，，而，由，即可求解； （3）过作于，可证明，求得，，可求直线的解析式为，联立直线和直线的解析式得，过点作轴于点，证明，设则，，由得，，故，则；过点B作交轴于点，则，，同理可证：，求得，同上可求：，联立直线的表达式得，过点作轴于点，则，过点C作，连接，则四边形为平行四边形，可得，，过点P作轴于点L，延长交于点，由得，，证明，求得，由得，，故的最小值为，当点三点共线时取得最小值，此时点N的位置为的交点，同上可求，，联立直线的表达式即可求解． 小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，， ，， ，        ， ， 设直线解析式为，将， 代入得： ，     解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：点是线段是一动点，且横坐标为， ， 如图所示，过点作轴于，则， ，，           ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过作于， ， ， ， 又， ， ，， ， ，则， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得：， 解得：， ， 过点作轴于点， ， ， ， 过点作于点，过作于点，设与轴交于点， ， 四边形是矩形， ， 同理四边形为矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， 由得，， ∴， ∴， ∴， 过点B作交轴于点， ∵， ∴，； 同理可证：， ∴， ∴， 即两点重合； 由，，同上可求：， 联立直线的表达式得，， 解得：， ∴， 过点作轴于点，则， 过点C作，连接； ∴四边形为平行四边形， ∴，， 过点P作轴于点L，延长交于点， 由得，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， 故的最小值为，当点三点共线时取得最小值， 此时点N的位置为的交点， ∵，， ∴同上可求，， 联立直线的表达式得，， 解得：， ∴． 【点睛】本题是一次函数与几何综合，主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，待定系数法求函数解析式等，正确作出辅助线构造矩形，直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$