精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2024年高二9月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算及共轭复数的概念计算即可 【详解】易知， 所以，虚部为． 故选：A． 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列出方程求解即可. 【详解】由， 又，则，解得． 故选：B． 3. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解 【详解】因， 所以是直角三角形且，可得， 所以的面积， 则的面积． 故选：A 4. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用诱导公式求出，再利用二倍角公式和同角三角函数的关系，对齐次化处理，然后分子分母同时除以，即可求解. 【详解】因为，所以， 则． 故选：D． 5. 已知，，，则a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，判断各数的范围以及大小关系，即得答案. 【详解】由于， 又函数在R上单调递增，所以， 故. 故选：D 6. 2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（ ） A. 3.6米 B. 3.9米 C. 7.2米 D. 7.8米 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出，，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】设，，， 同理可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故选：C． 7. 已知关于x的方程在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，根据方程有3个不相等的实数根可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 由，可得， 因为方程有3个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得， 解得，所以的取值范围． 故选：B． 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出球心和的位置，再根据线面垂直性质得出当，，G三点共线时，的最大值为. 【详解】如下图所示： 设BC的中点为G，的中点为H，的外接圆圆心为M，的外接圆圆心为N， 易得，， 过M，N分别作平面，平面ABCD的垂线，交点即为， 又为GH的中点，所以当MG和NG最小时，取得最大值． 设，，由，可得， 整理得，故当， 即F为的中点时，MG取得最小值， 同理可得NG的最小值也是， 此时，，G三点共线，． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列幂函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据幂函数的性质判断单调性即得. 【详解】对于A，函数，因，故函数在上单调递减，不合题意； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称且满足，故函数为奇函数， 且，故函数在上单调递增，故B符合题意； 对于C，因函数的定义域是，关于原点不对称，即函数没有奇偶性，不合题意； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称且满足，故函数为奇函数， 且，故函数在上单调递增，故D符合题意. 故选：BD． 10. 在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论的大小，然后根据几何关系求DC的长即可. 【详解】 如图①，当且时， 二面角是直二面角，故平面平面, 且平面平面,平面， 故平面ABC，所以， 因为，所以，故C正确； 同理可得，当且时，平面ABC，所以， 因为，所以，故D正确； 当且时，如图②， 过点D作，垂足为E，连接CE， 因为平面平面,且平面平面,平面， 故平面ABC,所以，此时, ,， 所以,故A正确； 当且时，同理可得， ，. 故选：ACD． 11. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则c可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理、正弦的和角公式先判定，再利用三角换元设，根据余弦定理及三角恒等变换得出，利用正弦函数的性质求值域即可. 【详解】由已知及正弦定理可得， 即， 易知，所以，故， 由，可得． 设，， 则 ，其中，， 因为，所以， 又， 所以，可得，则． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据对数函数的定义域及余弦函数的图象求解即可． 【详解】由题意可得，即， 所以，， 故答案为：，． 13. 已知i是虚数单位，复数z满足，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解即可. 【详解】由复数的几何意义及，可得在复平面内复数z对应的点到和的距离相等， 所以Z在线段OA的垂直平分线上，即， 同理，由，可得，所以， 故． 故答案为： 14. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）求DC与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥体积与表面积公式代入计算即可得出结果； （2）利用线面角的定义作出DC与平面ABC所成角的平面角，即可得出结果. 【小问1详解】 圆锥的母线， 则圆锥的表面积， 圆锥的体积 【小问2详解】 取AO的中点E，连接DE，CE， 因为D，E分别是PA，OA的中点，所以，所以平面ABC， 所以CE是DC在平面ABC内的射影，所以是DC与平面ABC所成角， 又，， 所以， 可得， 即DC与平面ABC所成角的正弦值是． 16. 已知向量，． （1）若，，求的值； （2）设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）． 【答案】（1） （2），，答案见解析 【解析】 【分析】（1）由，利用向量模的坐标运算，求得，倍角公式求的值； （2）由向量积的坐标运算求出解析式，由降幂公式和辅助角公式化简，整体代入法求对称中心，取其中一个对称中心平移到原点，可知得到一个奇函数的图像的平移变换. 【小问1详解】 由，可得， 整理得，即， 因为，所以，所以， 则． 【小问2详解】 ， 令，，解得，． 所以图像对称中心坐标是，， 令，可得的图像的一个对称中心坐标是， 所以将的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像． 17. 在中，是的中点，是的中点，，． （1）求和的长； （2）若，的平分线交于点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）结合平面向量基本定理，用表示出已知条件，联立方程即可求解； （2）设，，结合向量的数量积，利用余弦定理和面积公式，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 同理可得， 则，解得. 【小问2详解】 设，， 由，得，故， 由余弦定理得， 解得． 由，可得， 整理得． 18. 已知在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，M是棱PD的中点． （1）求证：平面PBC； （2）在棱BC上是否存在点N，满足且?若存在，确定点N的位置并给出证明；若不存在，请说明理由； （3）若，求点D到平面PBC距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在BC的中点N，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取PC的中点E，连接ME，BE，借助中位线性质，得到四边形是平行四边形，再用线面平行的判定即可证明； （2）存在的中点N，满足且．连接借助等腰三角形性质得到，，进而得到平面，再用线面垂直性质得到线线垂直； （3）过点D作，垂足为Q，先证明平面平面PDN，得到线面垂直，得到线段的长度就是点D到平面的距离，再用余弦定理，同角三角函数关系和锐角三角函数可解. 【小问1详解】 证明：取PC的中点E，连接ME，BE， 因为M，E分别是PD，PC的中点，所以，． 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 存在的中点N，满足且． 证明如下：连接 运用勾股定理， 直角梯形性质，得到, 则和为等边三角形，则可以求出高， 因为，M是的中点，所以， 又，，N是的中点，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，即且． 【小问3详解】 过点D作，垂足为Q，由（2）得平面PDN，因为平面， 所以平面平面PDN，又平面平面，面， 所以平面，故线段的长度就是点D到平面的距离， 在中，， 则， 所以． 19. 通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：． （1）根据上述过程，推导出关于的表达式； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）仿照已知结合同角三角函数的平方关系，化简，可得答案； （2）利用二倍角公式以及三倍角余弦公式，即可求得答案； （3）由（1）可得，再结合诱导公式化简求值，即得答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为，所以， 即，可得， 因为，所以，可得， 整理得， 因为，所以． 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省名校联盟2024年高二9月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 4. 已知，则的值是（ ） A 2 B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（ ） A. 3.6米 B. 3.9米 C. 7.2米 D. 7.8米 7. 已知关于x的方程在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列幂函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A B. C D. 10. 在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长可以是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角所对边分别为，已知，，则c可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 13. 已知i是虚数单位，复数z满足，则______ 14. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，D是母线PA的中点，C在底面圆周上，． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）求DC与平面ABC所成角的正弦值． 16. 已知向量，． （1）若，，求的值； （2）设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）． 17. 在中，是的中点，是的中点，，． （1）求和的长； （2）若，的平分线交于点，求的长． 18. 已知在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，M是棱PD的中点． （1）求证：平面PBC； （2）在棱BC上是否存在点N，满足且?若存在，确定点N的位置并给出证明；若不存在，请说明理由； （3）若，求点D到平面PBC的距离． 19. 通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：． （1）根据上述过程，推导出关于的表达式； （2）求的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$