精品解析：2024年福建省泉州市中考模拟数学试题（二）

2023-2024学年度泉州市初中教学质量监测（二） 初三数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列式子中，化简结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，2024年春节期间，泉州文旅市场共接待旅游人数818.12万人次，实现旅游收入80.18亿元，游客接待量与旅游总收入均创历史新高，用科学记数法可将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式是（ ） A. B. C. D. 5. 为了贯彻落实《教育部办公厅关于举办第八届全国学生“学宪法 讲宪法”活动的通知》精神，某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 平均数为81分 B. 众数为85分 C. 中位数为88分 D. 方差为0 6. 如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少？若设人数为，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上，原点是边的中点．若点在反比例函数的图象上，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 九边形的外角和为____°． 12. 不等式组的解集是__________． 13. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则________． 14. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接，则______度． 15. 已知，且，则的值为________． 16. 二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点E在线段上，，，．求证：． 21. 在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 （1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； （2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 22. 如图，是⊙的直径，点在半径上，点在⊙上，，连接并延长至点，使得，与⊙的另一个交点为． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 23. 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f． 【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． 已知，，，，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 同理可得， ∴，即①______， ∴②______，∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： （1）在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________； （2）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）； （3）如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)． 24. 如图1，点分别为的边上的点，，，作关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点，使得，连接． （1）若，求证：平分； （2）在（1）的条件下，取的中点，求证：三点共线； （3）如图2，当为锐角，且时， 求的长． 25. 已知点和点在抛物线上． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为． ①求的值； ②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度泉州市初中教学质量监测（二） 初三数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列式子中，化简结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的求解、绝对值的化简、乘方运算；掌握运算法则及相关性质是解题的关键．先化简各式，再分析判断即可． 【详解】解：，，，， 则化简结果为负数的是， 故选：A． 2. 据报道，2024年春节期间，泉州文旅市场共接待旅游人数818.12万人次，实现旅游收入80.18亿元，游客接待量与旅游总收入均创历史新高，用科学记数法可将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法可将数据表示为， 故选：B． 3. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．根据组合体的形状进行判断是解题的关键． 根据组合体的形状和三视图的定义即可解答． 【详解】解：该几何体的左视图是：． 故选：C． 4. 的展开式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用完全平方公式把原式展开即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 为了贯彻落实《教育部办公厅关于举办第八届全国学生“学宪法 讲宪法”活动的通知》精神，某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 平均数为81分 B. 众数为85分 C. 中位数为88分 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差，熟知平均数，众数，中位数和方差的定义是解题的关键． 【详解】解：A、平均数为分，故A不符合题意； B、85分出现了2次，出现的次数最多，故众数为85分，故B符合题意； C、把这7位同学的乘积从低到高排列为：76分，82分，85分，85分，86分，88分，90分，处在最中间的是85分，故中位数是85分，故C不符合题意； D、方差 ，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据同圆的半径相等可知：，，再根据等边对等角和线段垂直平分线的逆定理可得结论．本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理等知识，解题的关键是学会利用基本作图解决问题． 【详解】解：由①知：， ， 由②知：， 是的垂直平分线， ； 故选：D． 7. 我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少？若设人数为，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用，根据题意利用总价不变列方程即可． 【详解】解：设人数为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出总价为， 每人出钱，又差了3钱．可得出总价为， 则方程为：， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，根据矩形的性质和平移的性质，可以得到的长，然后即可求得四边形的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由题意可知：， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故选：． 9. 在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上，原点是边的中点．若点在反比例函数的图象上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 作轴，轴，利用相似三角形得到对应线段的相似比，再设点，继而得到点的坐标，再将点代入反比例函数中即可求出结果． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为、， 是的中点，是等边三角形， ，， ，，， ， 又， ， ， 设点，则，， ， ． 故选：A． 10. 如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 九边形的外角和为____°． 【答案】360 【解析】 【详解】任意多边形的外角和都是360°，故九边形的外角和为360°． 故答案为：360． 12. 不等式组的解集是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．利用解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，概率等于所求情况数与总情况数之比． “掷得的数字是3的倍数”的情况数除以总情况数6即为所求的概率． 【详解】解：抛掷一次骰子共有6种等可能的结果，分别为：1、2、3、4、5、6， 其中“掷得的数字是3的倍数”的只有2种， ． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的综合，根据正方形的性质可得，根据作图可得是等腰三角形，由三角形内角和定理可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，即， ∵以点为圆心，以为半径画弧交于点， ∴， ∴ ∴， 故答案为： ． 15. 已知，且，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减，先化简已知，再整体代入，最后约分得结论，掌握分式的运算法则和整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【详解】解：， ，即． ． 故答案为：． 16. 二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为_______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，由题意先求出，再求出，根据对称性表示出点E坐标并代入表达式计算即可，注意分情况讨论． 【详解】解：由题意，令， ， ， 将该图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧）， ， 由题意得，平移前后的函数图象相交于点，若， 当点E在x轴上方时，如下图： 由对称性得：， 点纵坐标为，横坐标为， 点在二次函数的图象上， ， 解得：（不合题意舍去）； 当点E在x轴下方时， 同理：点纵坐标为， ， 解得：（不合题意舍去）； 故答案为：2或6． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的性质，二次根式的性质化简，负整数指数幂的计算，先去绝对值，化简二次根式，计算负指数幂的结果，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先通分计算括号里面的，然后利用完全平方公式，并将除法转化为乘法，可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式=． 20. 如图，点E在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，先利用平行线的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 （1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； （2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【答案】（1）2； （2） 解：同意小明的意见，理由如下： 记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种， 所以； 记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种， 所以； 所以， 所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变． 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求出概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表可得：当n很大时，摸到红球的频率将会接近0.67， ∴摸到红球的概率为0.67， ∴红球的个数：（个）； 【小问2详解】 略 22. 如图，是⊙的直径，点在半径上，点在⊙上，，连接并延长至点，使得，与⊙的另一个交点为． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 又是⊙的半径， ∴与⊙相切． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，，结合，可得，再进一步可得答案； （2）证明，由，设，则，．再建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与都是所对的圆周角， ∴． 在中，． 设，则，． ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴，． 在中，由勾股定理，得． ∴． 【点睛】本题考查的是圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，掌握相应的基础知识是解本题的关键． 23. 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f． 【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． 已知，，，，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 同理可得， ∴，即①______， ∴②______，∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： （1）在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________； （2）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）； （3）如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)． 【答案】（1）相似三角形的性质 （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据相似三角形的性质可得，再利用等量代换可得即可； （3）作，交的延长线于点E，作，交于点F，过点F作，垂足为G，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，同理可得，证明，，可得，，进而可得，即 ，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形的性质， 故答案为：相似三角形的性质； 【小问2详解】 解：由题意可得，，即①， ∴②， 故答案为：①，②； 【小问3详解】 解：如图，作，交的延长线于点E，作，交于点F，过点F作，垂足为G， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在中，，，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 如图1，点分别为的边上的点，，，作关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点，使得，连接． （1）若，求证：平分； （2）在（1）的条件下，取的中点，求证：三点共线； （3）如图2，当为锐角，且时， 求的长． 【答案】（1） 证明：∵与关于对称， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴平分． （2） 证明：如图，连接． 由（1）证得，，，． 设， ∵，， ∴，． 在中，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴三点共线． （3）． 【解析】 【分析】（1）由对称的性质得到，．再证明．得到，即可证明平分 （2）连接．设，则，．由直角三角形的性质得到，则，再证明，即可证明三点共线． （3）如图，过点B作于点P，于点Q，同（1）可证得，则．再证明．得到，．设，则，，即可证明．过点作的平分线交于点R，则，可得．证明．得到，设，则，，由相似三角形的性质得到，证明，得到．则，解得（舍负），则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解；如图，过点B作于点P，于点Q， 同（1）可证得， ∴． 又∵， ∴． ∴，． 设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作的平分线交于点R， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∵，，， ∴， ∴． 由，得， 即，解得（舍负）， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 25. 已知点和点在抛物线上． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为． ①求的值； ②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）①0；②． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①联立直线和抛物线的解析式得出，再根据根与系数的关系得出，，利用待定系数法求出直线的表达式为，联立后得出，推出，求得 ，同理，，求出，即可得解；②设与轴交于点，与轴交于点，求出直线的表达式为，得出，记的面积为，的面积为，的面积为，，求出.记，则，即，再运用一元二次方程根的判别式即可求得答案． 【小问1详解】 解：将点和点代入，得， 解得， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①依题意，联立，得， 所以，， 设直线的表达式为，又直线过点， 所以， 解得， 所以直线的表达式为， 联立，得， 所以，所以， 所以， 同理，， 联立，得， 所以， 所以，即； ②设与轴交于点，与轴交于点， 当，时，由(2)①得， 解得， 所以直线的表达式为， 所以， 记的面积为，的面积为，的面积为，， 所以， 又因为， 所以，，， 所以， 所以， 记，则，即， 因为存在， 故关于的一元二次方程有实数根， 所以， 所以或， 解得或(不符合题意，舍去)， 所以当时，取得最小值，且的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，综合性强，难度较大，属于常考的中考数学压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $