专题2.1 简单事件的概率（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 简单事件的概率（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】 必然事件、不可能事件、随机事件 （1）概念的理解：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。 必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 （2） 事件发生的可能性的大小：必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 【知识点2】 概率 （1）随机事件的概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率.由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此. 当A为必然事件时，；当A为不可能事件时，. （2）用实验法求概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。 （3）用列表法求概率：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 （4） 用树形图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。 要点提示：（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 【知识点4】用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】事件的分类与事件发生可能性的大小 【例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，问： （1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ （2）他遇到红灯的概率是多少？ 【变式1】（2024九年级下·河南·学业考试）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）某省于2021年实行新高考“”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现 种考试科目组． 【题型2】由概率的公式求概率 【例2】（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止） 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 （1）甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________； （2）乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？ （3）为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、之间，电流能够正常通过的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球． 【题型3】用列表法或树状图求概率 【例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）电影《长安三万里》在银幕上展现了长安（今西安）盛世大唐的诗意之美，各地游客慕名而至，感受穿越千年的唐文化盛宴．小亮和许伟同学计划利用五一假期的四天时间打卡以下4个景点：小雁塔、陕西历史博物馆、大唐不夜城、华清宫，他们每天分别打卡1个景点，顺序随机． （1）小亮同学第一关打卡的景点是陕西历史博物馆的概率是___________． （2）请用画树状图或列表的方法，求出小亮和许伟同学第一天打卡的景点相同的概率． 【变式1】（2024·甘肃武威·二模）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024年山西省学业水平考试数学试题）山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为 ． 【题型4】求几何概率 【例4】（21-22七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．   （1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴． （2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 【变式1】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山西运城·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【题型5】用频率估计概率 【例5】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 【变式1】（2024·贵州贵阳·一模）一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子中白球大约有（    ） A．7个 B．10个 C．14个 D．16个 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是，，．从每组牌中各随机摸出一张，这为一次试验．小明做了次试验后发现和为的情况出现了次，据此估计牌面数字的和是的概率是 （精确到）． 【题型6】概率的简单应用 【例6】（2024·山西大同·模拟预测）某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ （4）该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【变式1】（22-23九年级上·云南临沧·期末）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题： (1)请把条形统计图补充完整； (2)若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数； (3)从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率． 【例2】（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．    2、拓展延伸 【例1】（2022·四川成都·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【例2】（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 简单事件的概率（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】 必然事件、不可能事件、随机事件 （1）概念的理解：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。 必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。 （2） 事件发生的可能性的大小：必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 【知识点2】 概率 （1）随机事件的概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率.由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此. 当A为必然事件时，；当A为不可能事件时，. （2）用实验法求概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。 （3）用列表法求概率：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 （4） 用树形图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。 要点提示：（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 【知识点4】用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】事件的分类与事件发生可能性的大小 【例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，问： （1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？ （2）他遇到红灯的概率是多少？ 【答案】(1)绿灯的概率大 (2) 【分析】（1）直接利用概率的意义得出遇到绿灯的概率大； （2）利用绿色灯亮的时间除以三种颜色灯的设置时间，进而得出遇到红灯的概率． 解：（1）每一时刻经过的可能性都相同，南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯 ∵绿灯时间比红灯时间长， ∴他遇到绿灯的概率大； （2）∵在内，红灯的时间是 ∴他遇到红灯的概率是． 【点拨】本题主要考查了概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键． 【变式1】（2024九年级下·河南·学业考试）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）某省于2021年实行新高考“”方案．“3”是指语文数学外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科．这样，新高考方案中最多出现 种考试科目组． 【答案】12 【分析】本题主要考查可能性的大小即乘法原理，根据乘法原理得出结论是解题的关键．根据可能性大小或乘法原理得出结论即可． 解： “3”是指语文、数学、英语三门必考科目， 只有1种选择， “1”是指考生在物理和历史两门中必须选一科， 有物理和历史2种选择， “2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门中选择两科， 有化学生物，化学思想政治，化学地理，生物思想政治，生物地理，思想政治地理6种选择， 新高考方案中最多出现（种考试科目组， 故答案为：12 【题型2】由概率的公式求概率 【例2】（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止） 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 （1）甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________； （2）乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？ （3）为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用消费的钱数和元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为； （2）用概率公式求解即可； （3）设需要将个黄色区域改为红色，根据元奖券的概率为列方程求解即可． 解：（1）∵， ∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会， ∴小明获得奖金的概率为； 故答案为：． （2）乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会， 由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， 所以指针指向红色的概率为， 指针指向黑色的概率为， 所以他获得元和元奖券的概率分别为，． （3）设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将个黄色区域改为红色． 【点拨】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、之间，电流能够正常通过的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是理解两个电子元件只要有一个能正常通过，电路A、B之间电流能够正常通过．根据电流能正常通过的概率电流不能正常通过的概率，即可解题． 解： 解：电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是， 电流不能正常通过电子元件“”的概率也是是， 由图可知：两个电子元件“”同时不正常运行即电流不能正常通过的概率为：，图中电流能够正常通过的概率是， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球． 【答案】8 【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．根据概率公式列方程计算． 解：设袋子中共有x个球，根据题意得： ， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：8． 【题型3】用列表法或树状图求概率 【例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）电影《长安三万里》在银幕上展现了长安（今西安）盛世大唐的诗意之美，各地游客慕名而至，感受穿越千年的唐文化盛宴．小亮和许伟同学计划利用五一假期的四天时间打卡以下4个景点：小雁塔、陕西历史博物馆、大唐不夜城、华清宫，他们每天分别打卡1个景点，顺序随机． （1）小亮同学第一关打卡的景点是陕西历史博物馆的概率是___________． （2）请用画树状图或列表的方法，求出小亮和许伟同学第一天打卡的景点相同的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式计算概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式列式计算概率，即可作答． （2）先列树状图，再运用概率公式列式计算概率，即可作答． 解：（1）依题意∵4个景点：小雁塔、陕西历史博物馆、大唐不夜城、华清宫， ∴小亮同学第一关打卡的景点是陕西历史博物馆的概率是； （2）将4个景点：小雁塔、陕西历史博物馆、大唐不夜城、华清宫依次记作A，B，C，D，画树状图如答图．    由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中第一天打卡的景点相同的结果有4种， ∴小亮和许伟同学第一天打卡的景点相同的概率为． 【变式1】（2024·甘肃武威·二模）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到不同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4种， ∴两次摸到不同颜色的棋子的概率， 故选：D． 【变式2】（2024年山西省学业水平考试数学试题）山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数，再找出其中某事件所占有的结果数，然后根据概率的概念求出这个事件的概率．根据题意先画出树状图得出所有等情况数，然后根据概率公式求解即可． 解：把晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子分别记作1，2，3，4， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由上表可知，共16种可能等可能的结果，其中甲、乙两个小组选择同一剧种有4种， 甲、乙两个小组选择同一剧种的概率． 故答案为： 【题型4】求几何概率 【例4】（21-22七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．   （1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴． （2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 【答案】(1)是，4 (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的定义和正方形的对称性求解即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； （2）停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可． 解：（1）解：根据轴对称图形的定义可知：这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．它的对称轴如下图虚线所示：    故答案为：是，4； （2）设原图中最小的等腰直角三角形的面积为， 则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为， 空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为， ∴这个地板砖的面积为：， ∴停留在阴影区域的概率是： 答：求小老鼠停留在阴影区域的概率是． 【点拨】本题考查轴对称图形的识别和几何概率，掌握轴对称图形的定义和几何概率计算公式是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分 的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， ∴所求阴影部分的面积为． ∵正方形的面积为， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·山西运城·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例． 根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解； 解：∵是的边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【题型5】用频率估计概率 【例5】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）不透明的袋中有若干个白球和黄球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近． （1）估计摸到白球的概率是______； （2）如果袋中有5个黄球，现又放入个黄球，再经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）先求出原来共有黄球和白球的总数，再根据经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近，列出分式方程，解分式方程并检验即可得到答案． 解：（1）经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到黄球的概率为， 则估计摸到白球的概率是 故答案为：； （2）∵经过大量重复实验发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近．袋中有5个黄球， ∴原来共有黄球和白球（个）， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以． 【变式1】（2024·贵州贵阳·一模）一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子中白球大约有（    ） A．7个 B．10个 C．14个 D．16个 【答案】C 【分析】本题主要考查本题考查了利用频率估计概率的知识，用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 解：估计这个口袋中球的数量为（个， （个， 答：盒子中白球大约有14个， 故选：C． 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是，，．从每组牌中各随机摸出一张，这为一次试验．小明做了次试验后发现和为的情况出现了次，据此估计牌面数字的和是的概率是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式等知识点，掌握概率的计算方法及相关知识是解题的关键． 根据题意结合概率的计算方法进行解答即可． 解：根据题意得： ， 故答案为：． 【题型6】概率的简单应用 【例6】（2024·山西大同·模拟预测）某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ （4）该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)100 (2)图见解析 (3)选择“毽子队”的学生有480人 (4) 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图，将条形统计图与扇形统计图信息相关联是解答本题的关键． （1）将两个统计图信息关联即可求解； （2）调查的总人数可知，求得参加B项目的人数，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）画出树状图，根据概率公式求解即可． 解：（1）解：由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为，故本次调查的总人数为：（人）， 故答案为：100； （2）参加B项目的人数为：（人），补全条形统计图如下所示： （3）（人）， ∴估计选择“毽子队”的学生有480人； （4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示： 被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是． 【变式1】（22-23九年级上·云南临沧·期末）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出树状图，即可． 解：如图可知，，为入口；，，为出口， ∴ ∴小颖入口进出口的概率为：． 故选：B． 【点拨】本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果． 【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题： (1)请把条形统计图补充完整； (2)若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数； (3)从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率． 【答案】(1)见解析 (2)30人 (3) 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及条形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）根据成绩为良好的人数除以占的百分比求出调查的总人数，进而求出不合格的人数，补全条形统计图即可； （2）由样本中成绩不合格的百分比估计总体中成绩不合格的百分比，乘以300即可得到结果； （3）列出得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到、两位同学的情况数，即可求出恰好抽到、两位同学的概率． 解：（1）根据题意得：（人）， ∴不合格的为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： （2）根据题意得：（人）， 则该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数约为30人； （3）列表如下： A B C D E A --- B --- C --- D --- E --- 所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况数为2种， 则P（恰好抽到A、B两位同学）． 【例2】（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．    【答案】/ 【分析】将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2022·四川成都·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】//0.25 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 解：如图，连接EG交BD于点P， ∵平分， ∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形 ∴∠MED＝90°， ∴∠AED＝180°－∠MED＝90° ∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ∴△ADE≌△MDE（ASA） ∴AE＝ME 同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADM＝45° ∴∠ADE＝∠MDE＝22.5° ∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45° ∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5° ∴∠EMD＝∠MPE ∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x 在Rt△EFG中，∠EFG＝45°， ∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中， ∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键． 【例2】（2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$