精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

北京市第一六一中学2024-2025学年度第一学期开学测试 初三数学试卷 考生须知 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 2．试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 5. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可 6. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为__________． 11. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 12. 如果一组数据1，2，3，4，5的方差是2，那么一组新数据2，4，6，8，10的方差是_______． 13. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______． 14. 定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则 的值是__________． 15. 如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为_________ ． 16. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，舅26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）一次函数的图象与x轴交于点B，求 的面积． 21. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与 交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 23. 如图，中，，过A点作 的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交 的延长线于E点，连接，若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线上，直线过点． （1）求的值及直线的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出 的取值范围． 25. 为了解我国2022年25个地区第一季度快递业务收入情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息． a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为： 534.9 437.0 270.3 187.7 104.0 b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下： 快递业务收入x 频数 6 10 1 3 c．第一季度快递业务收入的数据在这一组的是： 20.2 20.4 22.4 24.2 26.1 26.5 28.5 34.4 39.1 39.8 d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下： 前5位的地区 其余20个地区 全部25个地区 平均数 306.8 29.9 n 中位数 270.3 m 28.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______； （2）在下面3个数中，与表中n的值最接近的是______（填写序号）； ①30 ②85 ③150 （3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为______亿元． 26. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示． 记录得到以下信息： a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：）与游览时间x（单位：）的对应关系如下图： b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表： 景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷 路程（） 1 2 3 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为　　　； （2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在　　　相遇（填写景点名称），此时距出发经过了　　　； （3）下面有三个推断： ①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是； ②小旭比小田晚到达国际展园； ③时，小田比小旭多走了． 所有合理推断的序号是　　　． 27. 如图，E为正方形内部一点，且，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）作于点G，交于点H， 用等式表示线段的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点． （1）在点，，中，矩形的矩宽点是______； （2）若点为矩形的矩宽点，求 的值； （3）若直线上只存在一个矩形的矩宽点，则 的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学2024-2025学年度第一学期开学测试 初三数学试卷 考生须知 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 2．试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式． D、，不是最简二次根式； 故选：C． 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是理解平行四边形的性质，相邻的角度数和是180度． 依据平行四边形的性质，相邻的角互补，即可解决． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及利用一次函数增减性比较函数值大小，先由确定一次函数的增减性，由增减性直接比较即可得到答案，熟记一次函数增减性是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而减小， 点，在函数的图象上，， ， 故选：A． 6. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响. 【详解】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化． 故选：B． 7. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、∵ ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、 ∴ 不是直角三角形，故B符合题意； C、∵ ∴设 ∴ ∴ 是直角三角形 故C不符合题意； D、∵ ∴ ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 8. 如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，②错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴把代入方程中得：， 故答案为：0 11. 如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 12. 如果一组数据1，2，3，4，5的方差是2，那么一组新数据2，4，6，8，10的方差是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】把数据1，2，3，4，5每个数乘以2得到新数据，则新数据的平均数是原数据的2倍，根据方差公式得到新数据的方差为原数据方差的倍． 【详解】解：∵一组数据1，2，3，4，5的方差是2， ∴数据2，4，6，8，10的方差==8． 故答案为8． 【点睛】本题考查方差，解决本题的关键是掌握一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 13. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ， 分别为，的中点， 是的中位线， ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的． 14. 定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求新定义函数值，先根据新定义的“衍生函数”，得到一次函数的“衍生函数”是，将代入“衍生函数”即可得到答案，读懂题意，理解“衍生函数”是解决问题的关键． 【详解】解：定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”， 一次函数的“衍生函数”是， 点在这个一次函数的“衍生函数”图象上， 当 时，， 故答案为：1． 15. 如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为_________ ． 【答案】或6或2 【解析】 【分析】由题意可求得；分三种情况考虑：；；即可． 【详解】解：， ， 由勾股定理得：； 当时，如图，则； 当时，过点C作于E，如图； 则，， 由勾股定理得：， ； 当时，则， ； 而， 即， ， 是等边三角形， ， ； 综上，的长为或6或2． 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，注意分类讨论． 16. 如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏， 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放， 把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；结合图形建立关系式是解题的关键；设小矩形的长为a，宽为b，根据阴影部分面积为大矩形面积减去5个小矩形面积等于40，化简得的值，由勾股定理即可求得小矩形的对角线长． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为，宽为， 由题意得：， 化简得， ； 即小矩形对角线的长为. 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，舅26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、二次根式性质化简、去绝对值及二次根式加减运算等知识，先由零指数幂、二次根式性质、去绝对值化简，再由二次根式加减运算法则计算即可得到答案，熟练掌握零指数幂、二次根式性质化简、取绝对值及二次根式加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合题意可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）一次函数的图象与x轴交于点B，求 的面积． 【答案】（1），详见解析 （2）的面积2，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积等知识点， (1)先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入 ，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； (2)求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； 熟练掌握其性质，灵活利用数形结合是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵一次函数 的图象由直线平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 如图，令，则， ∴， ∴， ∴的面积为2． 21. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一： （1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴ (三线合一定理)． ∴． ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】（1）m＜；（2）m=2． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围； （2）找出m取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m的值． 【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0， ∴m＜， 即m的取值范围是m＜； （2）∵m为正整数， ∴m=1或2， 当m=1时，方程为x2﹣4x+1=0的根不是整数； 当m=2时，方程为x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数， 综上所述，m=2． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 23. 如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线上，直线过点． （1）求的值及直线的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1），直线的表达式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）点和点，分别代入各自的函数表达式，即可求解； （2）求得过点时，k的值，再求得两直线平行时k的值，根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∵直线过点，∴，∴， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：函数， 当时，，即直线恒过点， 当时，，即直线过点， 将点代入，得， 解得， 当两直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，如图， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 25. 为了解我国2022年25个地区第一季度快递业务收入情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息． a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为： 534.9 437.0 270.3 187.7 104.0 b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下： 快递业务收入x 频数 6 10 1 3 c．第一季度快递业务收入的数据在这一组的是： 20.2 20.4 22.4 24.2 26.1 26.5 28.5 34.4 39.1 39.8 d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下： 前5位的地区 其余20个地区 全部25个地区 平均数 306.8 29.9 n 中位数 270.3 m 28.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______； （2）在下面3个数中，与表中n的值最接近的是______（填写序号）； ①30 ②85 ③150 （3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为______亿元． 【答案】（1）25.15 （2）② （3）8528 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，计算第10个及第11个数据的平均数可得m； （2）根据前5位的地区的平均数为306.8，其余20个地区的平均数为29.9，求出全部25个地区的收入，再除以25可得n，比较即可； （3）用第一季度的总收入乘以4即可． 【小问1详解】 解：∵6+10=16， ∴其余20个地区的第一季度快递业务收入数据的第10个及第11个数据均在的范围， ∴第10个数据和第11个数据分别为24.2，26.1， ∴中位数m=， 故答案为：25.15； 【小问2详解】 ∵前5位的地区的平均数为306.8，其余20个地区的平均数为29.9， ∴全部25个地区的收入=306.8×5+29.9×20=2132（亿元）， ∴全部25个地区的n=2132÷25=85.28（亿元）， 故选：② 【小问3详解】 这25个地区2022年全年快递业务收入约为2132×4=8528（亿元）， 故答案为8528． 【点睛】此题考查了统计知识，求中位数，求平均数，根据部分的数量求总体，正确理解题意是解题的关键． 26. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示． 记录得到以下信息： a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：）与游览时间x（单位：）的对应关系如下图： b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表： 景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷 路程（） 1 2 3 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为　　　； （2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在　　　相遇（填写景点名称），此时距出发经过了　　　； （3）下面有三个推断： ①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是； ②小旭比小田晚到达国际展园； ③时，小田比小旭多走了． 所有合理推断的序号是　　　． 【答案】（1）4 （2）忆江南， （3）②③ 【解析】 【分析】（1）由图象可知，，则永定塔到国际展园的路程为4； （2）由图象可知，当时，小田和小旭在忆江南相遇，由图象可知，小田的运动速度为，则小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为，计算求解即可；（3）由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是，可判断①的正误；小旭比小田晚到达国际展园，可判断②的正误；时，小田走的路程为，则小田比小旭多走了，可判断③的正误． 【小问1详解】 解：由图象可知，， ∴永定塔到国际展园的路程为4， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，小田和小旭在忆江南相遇， 由图象可知，小田的运动速度为， ∴小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为（）， 故答案为：忆江南，； 【小问3详解】 解：由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是，①错误，故不符合要求； 小旭比小田晚到达国际展园，②正确，故符合要求； 时，小田走的路程为， ∴小田比小旭多走了，③正确，故符合要求； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了函数图象，有理数减、乘、除运算的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 27. 如图，E为正方形内部一点，且，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）作于点G，交于点H， 用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，作于，由，可得，由，可得，进而结论得证； （2）证明四边形是矩形，则，如图2，将绕着点逆时针旋转到，连接交 于，由旋转可知，，，，，，可求，，即三点共线，设，则，，，，，则，由，可得，则，． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴， 如图1，作于， 图1 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下； ∵正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图2，将绕着点逆时针旋转到，连接交 于， 图2 由旋转可知，，，，，， ∴，， ∴三点共线， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点． （1）在点，，中，矩形的矩宽点是______； （2）若点为矩形的矩宽点，求的值； （3）若直线上只存在一个矩形的矩宽点，则 的取值范围是______． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题； （3）如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，．分别求出直线经过、、、、时的 的值即可解决问题． 【小问1详解】 解：， 点是矩宽点， ， 点是矩宽点， 故答案为：和； 【小问2详解】 解：为矩形的矩宽点， 或，解得或； 【小问3详解】 解：由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，，如图所示： 一次函数的图象经过定点， 观察图象可知当直线与线段，有交点时，直线一次函数的图象上存在矩宽点， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 当一次函数的图象经过点时，， 综上所述，满足条件的 的值为或，或， 故答案为：或，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $