精品解析：安徽省池州市青阳县四中等校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级数学开学随堂练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意； =3，B错误，不符合题意； =，C错误，不符合题意； （-）2=3，D错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 把方程化成一般形式，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，进行去括号、移项、合并同类项求解即可． 【详解】解：方程化成一般形式为， 故选：B． 4. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，根据勾股定理可得：， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分的面积=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，读懂图形信息、灵活应用勾股定理是解题的关键． 5. 数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间距离的方法是用数轴上右边的数减去数轴上左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 首先根据数轴上，的对应点分别是点和点，可以求出线段的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：数轴上，的对应点分别是点和点， ， 是线段的中点， ， 点表示的数为：． 故选：． 6. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断； 平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断； 平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定； 平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形； 平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形； 故选A． 【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法． 7. 正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（　　） A. 18° B. 30° C. 36° D. 72° 【答案】C 【解析】 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABE≌△DCE，先求出∠BEA和∠CED的度数，再求∠BEC即可． 【详解】解：根据正五边形的性质可得AB=AE=CD=DE，∠BAE=∠CDE=108°， ∴△ABE≌△DCE， ∴∠BEA＝∠CED＝（180°﹣108°）＝36°， ∴∠BEC＝108°-36°-36°＝36°， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明△ABE≌△DCE是解题关键． 8. 园园所在的社团，两年来人员没有变化，嘉淇计算了目前社团人员年龄的方差为1，则两年前该社团人员年龄的方差为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．根据两年后的社团人员年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，可知方差不变． 【详解】解：∵两年后的社团人员年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变， ∴两年前该社团人员年龄的方差不变为1， 故选：D． 9. 如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由题意可证四边形是矩形，再根据为的中点，得到，当最小时，的值最小，如图所示，连接，由矩形的性质可得当最小时，即最小，此时的值最小，据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小，由等面积法得到，可求出，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，的值最小， 如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小，此时的值最小， 根据点到直线，垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 10. 如图，点P是正方形的对角线上的一点，，，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．综合运用以上知识点是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，根据正方形对角线的性质以及题目中的已知条件，利用“边角边”证明即可证明结论①、结论③正确；通过角的等量代换可以得出，即，结论②正确；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质与勾股定理，可以得出以下关系：在中，，在中，， 在中，，通过等量代换即可得出，即结论④正确． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 四边形是正方形， ，，，, , ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，即， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， （故①正确），， （故③正确）， ， ，， ， ，即（故②正确）． ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ，故④正确； 综上所述，①②③④均正确，正确结论的个数为4个， 故选D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 关于的x代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：且 故答案为：且 12. 一个正多边形的内角与外角度数之比为，则这个多边形的内角和为______． 【答案】##900度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角综合，设这个正多边形的一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据正多边形的一个内角的度数和一个外角的度数之和为180度列出方程求出一个内角和外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可得到答案． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角的度数为，则一个外角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴一个外角的度数为，一个内角的度数为 ∴这个多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和为， 故答案为：． 13. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：如图所示： ∵ ， ∴ ， ∵大正方形的面积为， ∴2ab=21-13=8， ∴小正方形的面积为13- =13-2ab=13-8=5. 故答案为5. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练应用勾股定理及完全平方公式. 14. 如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F． （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【答案】 ①. ##90度 ②. 【解析】 【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即． （2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案． 【详解】解：（1）由翻折可得，， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）四边形为菱形， ， ， 由翻折可得，，，， 点是的中点， ， ， 即点与点重合． ， 点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点． ，， ，， ，， 由翻折可得，， 设， 则，， 由勾股定理可得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 三、解答题（第15、16、每题各4分；17、18题每题各8分；第19、20题每题各10分；第21题12分；第22题14分，共70分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式第一项运用二次根式乘法法则进行计算，第二项运用负整数指数幂运算法则计算，第三项根据绝对值的代数意义化简，最后进行合并即可． 【详解】解： = =． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的根，根据题意，移项，因式分解即可求解． 【详解】解： 移项得， 因式分解得， ∴或 解得，或， ∴原方程的解为：． 17. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD的面积． 【答案】6． 【解析】 【分析】延长AD，BC，交于点E，在直角三角形ABE中，利用30度角所对的直角边得到AE=2AB，再利用勾股定理求出BE的长，在直角三角形DCE中，同理求出DE的长，四边形ABCD面积=三角形ABE面积﹣三角形DCE面积，求出即可． 【详解】解：延长AD，BC，交于点E， 在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=4， ∴∠E=30°，AE=2AB=8， ∴BE= 在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=2， ∴CE=2CD=4，根据勾股定理得：DE=， 则S四边形ABCD=S△ABE﹣S△DCE=AB•BE﹣DC•ED=8﹣2=6． 考点：勾股定理；含30度角的直角三角形． 18. 一商店用1800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多5元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚400元，问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？ 【答案】这批玩具每个的进价是20元，共购进90个玩具． 【解析】 【分析】设这批玩具每个进价是x元，根据题意可知“出售这些玩具销售额-成本=利润”可得方程，解方程求出x的值，然后得出总共买进的玩具数即可． 【详解】解：设进价是x元，由题意得 或(舍去) 经检验x=20是原方程的解 所以； 答：这批玩具每个的进价是20元，共购进90个玩具． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 19. 阅读材料，回答问题： 观察下列各式 11； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　＝　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）类比所给三个等式即可解答； （2）根据所给等式得出规律，即可求解； （3）根据规律分别计算出1，，， ， ，然后计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵11； ； ． ， 得出规律： , 即； （3） ． 【点睛】本题主要考查了实数运算相关的规律，解题的关键是根据题意得出这一规律． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵ ，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 21. 某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）在这次调查中类型有多少名学生？ （2）写出被调查学生每人植树量的众数、中位数； （3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这名学生共植树多少棵？ 【答案】（1）名 （2）众数为棵，中位数为棵 （3）棵 【解析】 【分析】（1）先求出被调查的总人数，利用总人数乘以对应的百分比即可求得类的人数； （2）根据众数、中位数的定义即可直接求解； （3）首先求得调查的人的平均数，乘以总人数即可． 【小问1详解】 被调查的总人数为：（名） D类的人数是：（名） 即在这次调查中类型有2名学生； 【小问2详解】 一共有20名学生，中位数是第10 和第11名学生植树量的平均数，即， 由条形统计图可得，5出现了8次，出现的次数最多，所以众数为5， 即众数为棵，中位数为棵； 【小问3详解】 （棵） 估计名学生共植树（棵） 即估计这名学生共植树1060棵． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，在正方形中，，垂足为． （1）求证：； （2）如图，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，求． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作于点，证明，进而结论可知； （2）①如图2，延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； ②如图3，证明，是等腰直角三角形，，则，设，则，，由勾股定理得，得出，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，过点作于， 则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图2，延长与的延长线相交于点， ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴； ②解：如图3，连接，过作于，则于，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学随堂练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 3. 把方程化成一般形式，正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）     A. B. C. D. 5. 数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（    ） A. B. C. D. 6. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 7. 正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（　　） A. 18° B. 30° C. 36° D. 72° 8. 园园所在的社团，两年来人员没有变化，嘉淇计算了目前社团人员年龄的方差为1，则两年前该社团人员年龄的方差为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，在中，，点为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点P是正方形的对角线上的一点，，，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 关于的x代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 12. 一个正多边形的内角与外角度数之比为，则这个多边形的内角和为______． 13. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为__________． 14. 如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F． （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 三、解答题（第15、16、每题各4分；17、18题每题各8分；第19、20题每题各10分；第21题12分；第22题14分，共70分） 15. 计算：． 16. 解方程： 17. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD的面积． 18. 一商店用1800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多5元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚400元，问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？ 19. 阅读材料，回答问题： 观察下列各式 11； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　＝　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 21. 某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）在这次调查中类型有多少名学生？ （2）写出被调查学生每人植树量的众数、中位数； （3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这名学生共植树多少棵？ 22. 如图，在正方形中，，垂足为． （1）求证：； （2）如图，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $