精品解析：山西省太原市迎泽区太原市第五中学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

太原五中2024－2025学年度第一学期 数学假期作业落实检测 一、选择题（共10小题） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　) A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（　 ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 7. 如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 将分式化成最简分式的结果为 _________． 12. 平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标依次为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐为______． 13. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 14. 读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为__________． 15. 如图，在四边形中，、为对角线，，，，，则线段的长为_____． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）. 18. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想 （2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第______步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点、在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 20. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买两种型号的“文房四宝”共40套，已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比每套型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4300元，其中购买型号“文房四宝”花费3000元． （1）求每套型号的“文房四宝”的标价； （2）若学校打算继续在该文化用品店以标价购买第二批“文房四宝”，且两种型号的购买总数量仍为40套，如果要求本次的购买总费用不超过4200元，那么本次最少应购买型号“文房四宝”多少套？ 21. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 22. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：（1）分解因式： （2） 求代数式 的最小值． ∴当时，代数式有最小值 结合以上材料解决下面的问题： （1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，有最小值? 最小值是多少? 23. 综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题，如图1，中，，，将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为点，），旋转角为． 操作思考： （1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点B时的图形，求此时旋转角的度数； （2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点B作的平行线交于点P，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由： 拓展探究： （3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿直线平移，点B，C，的对应点分别为D，E，F．若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2024－2025学年度第一学期 数学假期作业落实检测 一、选择题（共10小题） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为零列式求解即可． 【详解】解∵分式有意义， ∴， ∴． 故选D． 2. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 3. 运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公因式的定义以及多项式各项得出答案． 【详解】解：多项式的公因式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式． 4. 一元二次方程的根的情况是（　 ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据题中的一元二次方程计算出，即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：D． 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质．根据平移性质，判定为等边三角形，然后求解． 【详解】解：由题意，得， ． 由平移性质，可知，， ，且， 为等边三角形， 的周长． 故选：B． 7. 如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．一次函数的图象落在轴及其上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点，， 关于的不等式的解集为． 故选：A． 8. 天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据返程比去时多用了，列出方程即可． 【详解】解：设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据题意得： ， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示： 则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴绕点D逆时针旋转正好得到， ∴旋转中心的坐标为． 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点M， ∵，E、F、G分别是的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 将分式化成最简分式的结果为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 12. 平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标依次为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，点A的对应点的坐标为， ∴平移方法为横坐标加1，纵坐标减3， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 【答案】＃＃40度 【解析】 【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案． 【详解】解：正九边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键． 14. 读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可． 【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得： ． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，、为对角线，，，，，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据矩形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，即可求解． 【详解】如图，过作于点，过作交延长线于点，作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 则：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答． 三、解答题（共8小题） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解， （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可； 解题的关键是掌握分解因式的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用配方法解方程； （2）先移项，再利用提公因式法解方程． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， ， 两边开平方，得， 所以，，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为：， ， ， 或， 所以，， 18. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想 （2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第______步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 【答案】（1）C （2）三；分式的基本性质 （3）四； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据分式加减运算进行解答即可； （2）根据通分的定义进行解答即可； （3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可． 【小问1详解】 解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：C． 【小问2详解】 解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； 【小问3详解】 解：从第四步开始出现错误， ． 因此正确结果为：． 故答案为：四；． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点、在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】略 20. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买两种型号的“文房四宝”共40套，已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比每套型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4300元，其中购买型号“文房四宝”花费3000元． （1）求每套型号的“文房四宝”的标价； （2）若学校打算继续在该文化用品店以标价购买第二批“文房四宝”，且两种型号的购买总数量仍为40套，如果要求本次的购买总费用不超过4200元，那么本次最少应购买型号“文房四宝”多少套？ 【答案】（1）每套B型号的“文房四宝”的标价为100元． （2）本次最少应购买型号“文房四宝”套； 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系或者不等关系，列出方程和不等式． （1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．列出分式方程，即可求解； （2）设本次最少应购买型号“文房四宝”套，利用本次的购买总费用不超过4200元，再建立不等式解题即可； 【小问1详解】 解：设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元． 根据题意得： ， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元． 【小问2详解】 解：由（1）得：每套A型号的“文房四宝”的标价为元． 设本次最少应购买型号“文房四宝”套， 则， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， ∴本次最少应购买型号“文房四宝”套； 21. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【答案】（1） （2）90元/盒 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 22. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：（1）分解因式： （2） 求代数式 的最小值． ∴当时，代数式有最小值 结合以上材料解决下面的问题： （1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，有最小值? 最小值是多少? 【答案】（1）或 （2） （3）时，最小值 【解析】 【分析】本题考查完全平方式、因式分解： （1）利用完全平方式的结构特点求解； （2）仿照材料中方法进行因式分解； （3）仿照材料中方法将变形为，即可求解． 【小问1详解】 解： 恰好是完全平方式， ， 即k的值是或； 【小问2详解】 解： ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， ∴当时，代数式有最小值． 23. 综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题，如图1，中，，，将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为点，），旋转角为． 操作思考： （1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点B时的图形，求此时旋转角的度数； （2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点B作的平行线交于点P，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由： 拓展探究： （3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿直线平移，点B，C，的对应点分别为D，E，F．若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）； （2）猜想：， 理由：由旋转可得：，， ， ， ∴ ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】此题考查了旋转和平移的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）根据旋转的性质可求出是等边三角形，即可求出答案； （2）证明，即可得到结论； （3）分两种情况分别画图，进行解答即可． 【详解】解：（1）如图2，绕点C顺时针旋转得到， ， ，， ， 是等边三角形， ，即； （2）略 （3）当沿射线平移时， 如图4，作交的延长线于G，连接， ∵，， ∴， ∵，且是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵沿射线的方向平移得到， ∴， 设交于点J， ∵， ∴， ∴， ∵以A，，D为顶点的三角形是以为顶角的等腰三角形， ∴， 在中，， ∴， 即平移的距离为； 当沿射线平移时，如图5， 同理可求出平移的距离为． 综上可知，平移的距离或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $