20.1 锐角三角函数（ 定义概念）（教学课件）数学北京版九年级上册

20.1锐角三角函数 主讲： 京改版九年级上册 第20章 解直角三角形 章节导入 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请你说出三边之间的关系、两锐角的关系. 由勾股定理我们可以得出三边之间的关系， ， 即两直角边的平方和等于斜边的平方.两锐角相加等于90°. 那么直角三角形中边角之间有什么关系呢？ 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握正弦的概念； 目标 3 2.掌握余弦的概念； 3.掌握正切的概念。 自学指导 仔细阅读教材P76---P81。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.什么是正弦？ 2.什么是余弦？ 3.什么是正切？ 4.什么是锐角三角形函数？ 实践 探究新知 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=30°，你能说出边之间的关系吗？ ∠A=30°时，我们可以得出 这个结论是如何得出的呢？ 我们可以通过下面的方法.延长BC至点D，使得CD=BC，可证△ABD是等边三角形.所以 ，即 这个比值会因为三角形的大小而变化吗？ 通过证明我们发现，这个比值与边的长度无关，因此不会因为三角形的大小而发生变化. 这个比值只与∠A的大小有关，与三角形的大小无关. ∠A=30°时， 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=45°，那么∠A所对的边BC与斜边AB的比值是多少？请说明理由. 已知∠A=45°，∠ACB=90°，可证△ABC是等腰直角三角形.设AC=BC=k，则 所以 ，即 ∠A=45°时， 这个比值只与∠A的大小有关. 如果∠A=60°，那么∠A所对的边BC与斜边AB的比值是多少？ 设AC=k，则AB=2k，BC= ，可得 ∠A=60°时， 这个比值只与∠A的大小有关，与三角形的大小无关. 如果∠A是任意一个锐角时，那么∠A的对边与斜边的比值是否仍然具有上述性质呢？ 利用相似三角形的判定和性质进行证明，得出一般性结论. 在Rt△ABC中，当∠C=90°时，对于∠A的任意一个确定的值， ∠A的对边与斜边的比是一个固定不变的值. 那么当∠A的大小发生变化时，这个比值是否也发生变化呢？ 如图，设斜边的长度不变，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的对边长度变大，B1C1>BC，所以当∠A变大时，比值也随之变大. 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A大小发生变化时，∠A的对边与斜边的比随∠A的变化而变化. 一般地，在Rt△ABC中，当∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A， 注意：1.sin A是一个完整的符号，这里省去了∠的符号.单独写出sin是没有意义的，因为它离开了确定的锐角无法显示其含义. 2.sinA 表示的不再是角，而是∠A的对边与斜边的比值. 3.如果我们的角是用三个字母表示的，则角的符号不可以省略，如sin∠BAC. 知识要点 例 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求sin A和sin B的值. 分析：sin A的值等于哪两条线段的比？ 结合定义我们知道sin A等于∠A的对边比斜边，∠A的对边为BC，因此sin A= 同理，sin B= 通过观察发现，已知中给出了两直角边的长，而斜边的长未知，因此我们利用勾股定理求解即可. 典型例题 解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4, 由勾股定理， 得 AB= ∴sinA==，sinB== 例 已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求sin A，sin ∠ACD，sin B和sin ∠BCD的值. 解:在△ABC中，CD是AB边上的高: :. ∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt △ADC中，AD-9，CD=12， 由勾股定理，得 在直角△ABC中，BD=5，CD=12，由勾股定理，得 典型例题 类比正弦的证明过程，我们可以利用相似的知识解决. 利用AA相似可以证明三个直角三角形相似，由相似三角形的性质可以得出∠A的邻边比斜边= =…， 我们得出结论，当锐角A取任意一个确定的值时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与∠A的邻边的比是固定不变的值，与三角形的大小无关. ∠A的对边比∠A的邻边= 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A ， 与正弦函数类似，cos A 与∠A满足函数的对应关系，因此cos A叫做∠A的余弦函数. ,tan A叫做∠A的正切函数. 知识要点 我们把锐角A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A ， 当0°<sin A<90°时，cos A和tan A的值是如何变化的呢？取值范围是怎样的呢？ 1.cos A 取值范围探究 （1）猜想：通过三个特殊角的余弦值会发现，∠A的度数由30°到45°到60°越来越大，对应的余弦值越来越小，因此我们猜想∠A变大时，对应的cosA随之变小. 实践 （2）推理证明： 如图，我们仍然可以设斜边的长不变，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的邻边长度变小，那么邻边与斜边的比值也变小，即cos A随着∠A的变大而变小. 由于 ，斜边是大于直角边的，即分母永远大于分子，因此这个比值永远小于1.cos A的范围是0<cos A<1. 2.tan A 取值范围探究 （1）猜想：通过三个特殊角度发现，∠A的度数变大时，tan A的值也越来越大，因此我们猜想∠A变大时，tan A随之变大. （2）推理证明： 我们仍然可以类比正弦函数和余弦函数的证明，我们可以令邻边AC保持不变，如图，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的对边也在变大，因此对边与邻边的比值随之变大.当∠A趋近于90°时，对边的长趋于无限长，而比值也将趋于无限大.因此，tan A的范围为tan A>0. tan A随∠A的变大而变大，取值范围为tan A>0. 结论：cos A随∠A的变大而变小，取值范围为0<cos A<1; 锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数。 知识要点 典型例题 例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c． （1）如图1，已知b＝24，c＝25，求∠A的正弦、余弦、正切值； （2）如图2，已知tanA，求∠B的三角函数值． 解：（1）∵b＝24，c＝25， a7， ∴sinA，cosA，tanA； （2）∵tanA， ∴设a＝3k，则b＝2k， ∴ck， ∴sinB，cosB，tanB． 典型例题 例 已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝16，BC＝12，求sin∠DCA和tan∠DCA的值． 解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝AB4． ∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ACD． ∴sin∠ACD＝sin∠B， tan∠DCA＝tan∠B． 基础检测 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，cosA的值是（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，那么sinB的值是（　　） A．2 B． C． D． B D D 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项正确的是（　　）  A． B． C． D． 5．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 一展身手 D B 挑战自我 1.比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（　　） A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29° C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46° 2.如图是一个自动扶梯的示意图，则tanβ＝　 ． D 　 课堂小结 锐角三角函数 2.锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数。 1.一般地，在Rt△ABC中，当∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A. 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A . 锐角A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A. 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$