精品解析：四川省广安市广安友谊中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

四川省广安友谊中学2023—2024学年度上期初2021级期末考试试题数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知三点都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图像大致为(　　) A. B. C. D. 9. 如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=8cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x(0≤x≤4)秒的函数关系式为( ) A. B. C. D. 10. 如图，若开口向下的抛物线（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有（ ） ①abc＞0；②2a+b=0；③函数的最大值为-5a；④若关于x的方程无实数根，则-1＜a＜0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝_____． 12. 若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为___________． 13. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 14. 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为______． 15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步． 16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切． 三、解答题（本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知是锐角，且，计算的值． 18. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 19. 如图，点C在以为直径的上，延长与的切线交于点D． （1）求证：； （2）过点O作于点E，若，的半径为3，求的长． 20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，，绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，直接写出点关于点的对称点的坐标； （2）请直接写出以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标； （3）在旋转过程中，求点经过的路径的长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积． 22. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上. （1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率； （2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率. 23. 日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）每个毛线玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 24. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度． 25. 如图，点D是以为直径的上一点，过点B作的切线，交的延长线于点C，E是的中点，连接并延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）条件下，求、、弧围成的阴影部分的面积． 26. 如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学2023—2024学年度上期初2021级期末考试试题数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可．本题考查了比例线段，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，由平行线分线段成比例定理得， ∵， ∴， 故选：A． 4. 已知三点都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点都在反比例函数的图象上， 得，判定函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， 结合，得解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：三点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， 根据， ∴， 故选D． 5. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 【答案】B 【解析】 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，  ∵ ∴马应该落在②的位置， 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中， ∴ 即直尺的宽度为． 故选：C． 7. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图像大致为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数图像开口向上， ∴a＞0. ∵对称轴为直线， ∴b＜0. 当x=1时，a+b+c<0， ∴一次函数y=bx+a图像经过第一、二、四象限， 反比例函数图像经过第二、四象限． 故选D． 9. 如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=8cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x(0≤x≤4)秒的函数关系式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2，即可求得y=AG2-FG2，即可求得函数关系式． 【详解】解：延长CO交AB于G， ∵点C是⊙O优弧ACB上的中点， ∴CO⊥AB，AG=AB= ×8=4（cm）， ∴AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2， 当0≤x≤4时，AF=xcm，FG=（4-x）cm， ∴y=AE2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2=16-（4-x）2=8x-x2； 故选：C． 【点睛】此题考查垂径定理与勾股定理的应用．解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想，分类讨论思想的应用． 10. 如图，若开口向下的抛物线（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有（ ） ①abc＞0；②2a+b=0；③函数的最大值为-5a；④若关于x的方程无实数根，则-1＜a＜0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴方程和与y轴的交点可判断①和②；根据抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标（3，0），可设抛物线的解析式为，将x=1代入求解可判断③；转化为一元二次方程，利用判别式小于0解不等式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴，即2a+b=0，故②正确 ∴b=-2a＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 故可设抛物线的解析式为， ∵a＜0， ∴当x=1时，y有最大值，最大值为-4a，故③错误； ∵方程无实数解， ∴方程无实数解， 则， 解得：，故④正确， 综上，正确的有②和④， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数的一般形式得到且m+1≠0，由此来求m的值即可． 【详解】解：∵函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数， ∴且m+1≠0， 解得：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0）． 12. 若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为___________． 【答案】35°或145° 【解析】 【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】①当点O在三角形的内部时， 则∠BAC=∠BOC=35°； ②当点O在三角形的外部时， 则∠BAC=（360°-70°）=145° 故答案为35°或145°． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 13. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围；解题的关键是掌握二次函数与轴有交点得判别式大于等于0．根据二次函数定义二次项系数非0，与轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】依题意得：， 解得，， 解得， 故答案为：且． 14. 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．先画出圆锥侧面展开图，再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：画出圆锥侧面展开图，点A在点处，连接，如图所示： 根据题意得：，点为的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为：， 故答案为：． 15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步． 【答案】6 【解析】 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17， 设内切圆半径为r，由面积法 r= 3（步），即直径为6步， 故答案为：6． 【点睛】考点：三角形的内切圆与内心． 16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H， 连接FH，则HF⊥AC， ∴DF＝HF， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝＝， ∴AC＝4，AB＝5， 将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC， ∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4， ∵FH⊥AC，CD⊥AC， ∴FH∥CD， ∴△EFH∽△EDC， ∴＝， ∴＝， 解得：DF＝； 如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H， ∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC ∴∠AHE＝90°， ∴点H为切点，DH为⊙F的直径， ∴△DEC∽△DBH， ∴＝， ∴＝， ∴DH＝， ∴DF＝， 综上所述，当FD＝或时，⊙F与Rt△ABC的边相切， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知是锐角，且，计算的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值得出，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中． 【详解】解：， ， ， ∴ ． 18. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴ ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB 【解析】 【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长； （2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB． 【详解】（1）∵AE＝4，AC＝9 ∴CE=AC-AE＝9-4＝5 ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 19. 如图，点C在以为直径的上，延长与的切线交于点D． （1）求证：； （2）过点O作于点E，若，的半径为3，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的直径， ， 为的切线， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据圆的切线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （2）先根据（1）的结论和可得，再设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为3， ， ，， ， ， ， 设，则， ， 解得， 所以的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、正切、勾股定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和正切的定义是解题关键． 20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，，绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，直接写出点关于点的对称点的坐标； （2）请直接写出以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标； （3）在旋转过程中，求点经过的路径的长． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． 点关于点的对称点的坐标为． （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；根据中心对称的性质可得答案． （2）结合平行四边形的性质，分别以，，为对角线作平行四边形，即可得出答案． （3）利用勾股定理的求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，点，，均满足题意， 则点的坐标为或或． 【小问3详解】 由勾股定理得，, ∴在旋转过程中，点经过的路径的长为 【点睛】本题考查作图-旋转变换、中心对称、平行四边形的性质、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的性质、弧长公式是解答本题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出点的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和的坐标即可得出答案； （3）过点作轴，交直线于，求出点的坐标，即可求得，然后根据，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 反比例函数的解析式是， 代入反比例函数得：， 的坐标是， 把的坐标代入一次函数y＝k1x+b得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：从图象可知： ， 的的取值范围是当或； 【小问3详解】 解：过点作轴，交直线于， ， ，关于原点对称， ， 把代入得，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用． 22. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上. （1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率； （2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率. 【答案】（1）抽取出数字为负数的概率为P=;（2）点A在直线y=2x上的概率为. 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案． 【详解】（1）∵抽取的负数可能为-2，-1， ∴抽取出数字为负数的概率为P= （2）列表如下 ∵共有16种等可能结果，其中点A在直线y=2x上的结果有2种 ∴点A在直线y=2x上的概率为. 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键． 23. 日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）每个毛线玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）与之间的函数关系式 （2）每个毛线玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件，解得即可． （2）设总利润为w元，根据题意，得，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，抛物线的最值，熟练掌握应用和最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件， 故． 【小问2详解】 解：设总利润为w元， 根据题意，得 ， ， 抛物线开口向下， 抛物线对称轴为直线 当时， 答：每个毛线玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 24. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度． 【答案】灯杆的高度为米． 【解析】 【分析】根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 25. 如图，点D是以为直径的上一点，过点B作的切线，交的延长线于点C，E是的中点，连接并延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）条件下，求、、弧围成的阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，， 为的直径， ， 在中，， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）的半径为； （3）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接、，证即可； （2）根据，得出，根据三角函数求出长度即可求出半径； （3）根据（2）中数据求出，的长度，再根据阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积计算阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 即的半径为； 【小问3详解】 由（2）知，，， ， ，， ， 阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握切线定理，特殊角三角函数，扇形面积等知识是解题的关键． 26. 如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案； （3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得 ，解得， 抛物线的解析式是y=x2+x+3； （2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称， ∴对l上任意一点有MD=MC， 联立方程组 ， 解得（不符合题意，舍），， ∴B（﹣4，1）， 当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长， 过点B作BE⊥x轴于点E， 在Rt△BEC中，由勾股定理，得 BC=， |MB﹣MD|取最大值为； （3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， 在Rt△BEC中，∵BE=CE=1， ∴∠BCE=45°， 在Rt△ACO中， ∵AO=CO=3， ∴∠ACO=45°， ∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°， 过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°， 设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0） ①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA， ∴，即， ∴， 解得x1=1，x2=0（舍去）， ∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6， ∴P（1，6）， ②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC， ∴△PGA∽△ACB， ∴， 即=3， ∴， 解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去） ∴此时无符合条件的点P， 综上所述，存在点P（1，6）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $