精品解析：2024年广东省鹤山市初中毕业生学业水平质量监测数学试题

2024年初中毕业生学业水平质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能，目前我国芯片的量产工艺已达到14纳米，已知14纳米等于0.000000014米，用科学记数法将0.000000014表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C 3. 2024的相反数是（ ） A. B. 4202 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】2024的相反数是， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数幂，幂的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．根据运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 5. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案． 【详解】解：根据题意得： 这个几何体的俯视图是： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图． 6. 有两辆车按编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，画出树状图，求出总的结果数和两位老师同坐号车的结果数，利用概率公式计算即可求解，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两位老师同坐号车的结果数为， ∴两位老师同坐号车的概率是， 故选：． 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 数轴上表示，如图所示： ． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据，即可判断. 【详解】解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2， ，． 选项A符合题意， 故选A. 9. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（ ） A. 6 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．连接，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，连接，过C作，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到，根据的中点C，利用得到面积比为，代入可得结论． 【详解】解：连接，过C作，交x轴于E， ∵，反比例函数的图象经过的中点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，直接代入计算即可作答． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 13. 如图为一个正n边形的一部分，和延长后相交于点．若，则正n边形的内角和是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和、等腰三角形的性质等知识点，掌握正多边形外角和定理和正多边形外角相等及等腰三角形性质是解题的关键． ,先利用三角形内角和可求出正多边形的外角，再根据正多边形外角相等以及多边形外角等于，即可求出正多边形的边数，最后根据多边形的内角和定理即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴，即正n边形的一个外角为， ∴该正多边形的边数为：， ∴该正多边形的内角和为． 故答案为：． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点F是对角线上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．连接交于点O，连接，由正方形的性质得到两点关于对称，得到，当点与点重合时，有最小值，即为的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接， 四边形是边长为4的正方形， 两点关于对称，， ， 当点与点重合时，有最小值，即为的长， 点E是边的中点， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及方法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得：，； （2） ． 17. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，连起了世界最具活力经济区，快速通道的建成对香港、澳门、珠海三地经济社会一体化意义深远．桥长约48千米，是原来开车从香港到珠海路程的，若现在利用快速通道开车从香港到珠海的平均速度是原来平均速度的2倍，所需时间比原来缩短了约3小时，求现在开车从香港到珠海的平均速度． 【答案】112千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度为千米/时，根据时间路程速度，结合开车从香港到珠海所需时间缩短了约3小时，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度为千米/时，根据题意，得： ， 解得 经检验是所列方程的根，且符合题意． 所以 答：现在开车从香港到珠海的平均速度为112千米/时． 18. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（参考数据：，，，）如图2，，．求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】投影探头的端点D到桌面的距离为 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．延长交于，先证明得到，解求出，进而计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于， ∵，， ∴， ， ∵在中，，， ， ， ， 投影探头端点到桌面的距离为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 收集数据 七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，98，85，100，94，87，90，94，92，99，94，100． 八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 分析数据 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 94 a 40.9 八年级 90 b 92 297 应用数据 （1）根据以上信息，______，______； （2）由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是______； （3）甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级，并简要说明理由． 【答案】（1）94，87 （2）八年级 （3）甲同学在八年级． 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差意义解答即可； （2）根据利用中位数的值作出判断即可． 【小问1详解】 解：把七年级15名学生的测试成绩排好顺序为：78，83，85，87，89、90，92，94，94，94，97，98，99，100，100， 根据中位数定义可知，该组数据的中位数为， 八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，87，87，92，93，94，95，95，96，96，97． 八年级8名学生的成绩中87分的最多有3人， 所以众数， 故答案为：94，87； 【小问2详解】 解：八年级． 把年级的方差小于七年级的方差， 学生测试成绩较稳定的是八年级． 故答案为：八年级； 【小问3详解】 解：八年级． 七年级的中位数为94，八年级的中位数为92，甲同学这次测试得了93分，位于年级中等偏上水平， 甲同学在八年级． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）作图见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【小问1详解】 解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示， ∴是对角线的垂直平分线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 平行四边形是菱形． 21. 【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 （1）活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． （2）活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． （3）活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【答案】（1） （2）平分 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据四边形内角和360度即可解答； （2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可． 【小问1详解】 解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： 【小问2详解】 解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； 【小问3详解】 解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 抛物线：与轴交于点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标． （2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部(含边界)的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图像． ①求旋转过程中扫过的面积； ②求图像所在的抛物线的解析式． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标为 （2）①；②图像所在抛物线的解析式为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，再化为顶点式，从而得解； （2）①旋转过程中扫过的部分是半圆，求出半径，从而得解； ②旋转后的点是顶点，设出顶点式，再将点B代入求出参数，从而得解． 【小问1详解】 把点，代入， 得 解得 抛物线的解析式为． ， 抛物线的顶点的坐标为． 【小问2详解】 如图，①连接，． 由，，得，． 在中，． 由旋转性质可知，与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等， 旋转过程中扫过的面积，即图中，与半圆围成的图形面积，等于以为直径的半圆的面积， ②由旋转性质可知，，， ， 点的坐标为． 设图像所在抛物线的解析式为， 代入点，得，解得， 图像所在抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，即二次函数与面积综合，二次函数与矩形综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 23. 综合探究 如图1，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，． （1）求的半径r； （2）求． （3）如图2，直线交直线于点，直线交于点，连接交于点F，求的值． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）只要证明，求出即可； （3）由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中，连接， ， ， 在中， ，， ∴ ， ． 【小问2详解】 解：如图1中，连接． ，是直径， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图2中，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ． 【点睛】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中毕业生学业水平质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能，目前我国芯片的量产工艺已达到14纳米，已知14纳米等于0.000000014米，用科学记数法将0.000000014表示为（ ） A. B. C. D. 3. 2024的相反数是（ ） A. B. 4202 C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 有两辆车按编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，，则等于（ ） A. 6 B. 4 C. D. 3 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则等于________． 12. 因式分解：________． 13. 如图为一个正n边形的一部分，和延长后相交于点．若，则正n边形的内角和是______度． 14. 如图，一次函数与图象相交于点，则关于x的方程的解是______． 15. 如图，已知正方形边长为4，点E是边的中点，点F是对角线上的动点，则的最小值是________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 港珠澳大桥是世界上最长跨海大桥，连起了世界最具活力经济区，快速通道的建成对香港、澳门、珠海三地经济社会一体化意义深远．桥长约48千米，是原来开车从香港到珠海路程的，若现在利用快速通道开车从香港到珠海的平均速度是原来平均速度的2倍，所需时间比原来缩短了约3小时，求现在开车从香港到珠海的平均速度． 18. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（参考数据：，，，）如图2，，．求投影探头的端点D到桌面的距离． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 收集数据 七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，98，85，100，94，87，90，94，92，99，94，100． 八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 分析数据 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 92 94 a 40.9 八年级 90 b 92 29.7 应用数据 （1）根据以上信息，______，______； （2）由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是______； （3）甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级，并简要说明理由． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、．求证：四边形是菱形． 21. 【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 （1）活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． （2）活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． （3）活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 抛物线：与轴交于点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标． （2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部(含边界)的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图像． ①求旋转过程中扫过面积； ②求图像所在的抛物线的解析式． 23. 综合探究 如图1，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，． （1）求的半径r； （2）求． （3）如图2，直线交直线于点，直线交于点，连接交于点F，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$