精品解析：2025届湖南省益阳市一模数学试题

益阳市2025届高三9月教学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分.考议时量120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，.则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算得解. 【详解】由，即，则， 所以，又， . 故选：D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义分析判断. 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为，即， 故复数在复平面上对应的点的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆. 故选：B. 3. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，联立，，解出，，代入，即可得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 由，则，得， 解得， 所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求，即可求解. 【详解】根据已知， 所以. 故选：. 5. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】椭圆对应的， 所以对于双曲线，有， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 6. 在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可求出. 【详解】由题意如图所示： 因为 ， 所以， 所以， 故选：B. 7. 已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是等腰三角形 C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设， 则，焦点， A选项，当时，解得，所以， 则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所以， 由于，所以关于直线对称，而， 所以此时是等腰三角形. 对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形， 则，则， 此时，， 所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 当时， C. 的解集是 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性即可求解时函数的解析式，即可判断；分情况令即可求解函数的零点判断；令求出解集即可判断；分情况对函数求导，判断函数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断. 【详解】设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以的解集为，故正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 当时，， 所以，都有， 所以不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出函数的解析式，分情况求解即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称 C. 点是曲线的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由题干条件求函数的最小正周期，可判断A选项，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】设的最小正周期为，故A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以点是曲线的对称中心,C正确； 由得，在上单调递减，所以D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有（ ） A. B. 函数在定义域上单调递增 C. 曲线在点处的切线方程是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，再求出最值，以及在某点处的切线方程,判定ABC,构造新函数，借助导数研究最值判定D即可. 【详解】对A，对求导， 令，即，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得最小值，即，所以，A选项正确. 对B，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B选项错误. 对C，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确. 对D，因为，则. 则. 令则， 则在单调递增.故. 即，即.D选项正确. 故选：ACD 11. 在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段 B. 不存在点，便得平面 C. 三棱锥的最大体积为 D. 若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】在取点，使得，证得平面平面，进而得到平面，可判定A不正确；以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，根据，得出矛盾，可判定B正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得,在求得点到平面的最大距离，结合体积公式，可判定C正确；根据题意，求得点点的轨迹，结合线面角的公式，求得时，取得最大值，进而求得三棱锥的体积，可判定D正确. 【详解】对于A中，如图所示，分别在取点，使得， 可得，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 且平面平面， 若平面，则动点的轨迹为线段，且，所以A不正确； 对于B中，以为原点，以所在的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设，可得， 设是平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 若平面，则，所以存在，使得， 则，所以不存在点，使得平面，所以B正确； 对于C中，由，可得， 则，所以， 所以, 要使得三棱锥的体积最大，只需点到平面的距离最大， 由，可得点到平面的距离， 因为，所以当时，即点与点重合时，可得， 所以三棱锥的最大体积为，所以C正确； 对于D中，在正方体中，可得平面，且平面， 所以，则， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为， 则，所以，即， 又由，设与平面所成的角， 所以， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即时，与平面所成的角最大值，即， 可得，则点到平面的距离为， 此时三棱锥的体积为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点拨：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由二倍角的余弦公式可得. 13. 在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分步乘法和分类加法原理，分两种情况讨论即可； 【详解】a获得冠军，第一轮中必须胜出，概率为， 由题意可得，第二轮比赛中可以分两种情况，胜，概率为，然后胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为； 第二种情况为胜，概率为，然后胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为； 由分类原理可得a获得冠军的概宰为， 故答案为：. 14. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定. （1）若，则______； （2）若数列是等差数列，则数列的前50项之和为______. 【答案】 ①. 2 ②. 1275 【解析】 【分析】（1）利用新定义求解即可； （2）要计算数列的前50项之和，先要明白是一个什么样的数列，需要先计算首项，再看各项之间的关系，最后求解即可. 【详解】（1）由题可知，，又因为，所以，故； （2）由题可知，所以，所以. 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾.所以. 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以. 假设存在使得.设，由得. 由，得，，与为等差数列矛盾. 所以对任意都有.所以数列是等差数列，. 所以，. 故答案为：2；1275 【点睛】思路点睛：很多和数列相关的新概念的练习，我们都可以在里面找到，我们学过的一些数列的影子，所以我们考虑的时候可以从我们常见的数列入手. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可得，得，则，即可求得； （2）由面积为，利用三角形面积公式可得，由余弦定理得，即，则可求得的值. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 又， ， ，， ， ， ，. 【小问2详解】 面积为， ， ， ，， 由得， 即， . 16. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可； （2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下： 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关； 【小问2详解】 由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，. 所以的分布列为： 0 1 2 . 17. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 18. 已知两点，及一动点，直线，的斜率满足，动点的轨迹记为.过点的直线与交于，两点，直线，交于点. （1）求的方程； （2）求的面积的最大值； （3）求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出动点，利用直线，的斜率之积为，即可得解； （2）设出直线的方程，并代入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，从而得，然后利用函数求最值得方法求解即可； （3）设出直线与的方程，联立后可整理得到，利用韦达定理的结论可得，代入整理得到所求点的轨迹方程. 【小问1详解】 设动点，因为直线，的斜率满足， ，化简整理得. 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 设过点的直线的方程为：，，， 由，得，显然. 则，. . 令，则，，所以. 设，则， 所以当时，，则在单调递减， 所以的最大值为， 即，时，的面积取最大值. 【小问3详解】 由已知可设直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 消去，得，显然，，（*） 由（2），得，，，， 所以（*）式可化为，，即. 显然，否则重合，不合题设， 所以点的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用前问韦达定理的结论得到，代入运算得解. 19. 若函数. （1）若，且曲线的切线过点，求直线的方程； （2）证明：若，则； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：， ， 即，要证， 由（1）知只要证， 即证， 又因为，即证，（*） 令，则，欲证（*）式成立， 等价于证明， 设函数， 则， 所以函数是上的增函数， 所以，即成立， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，设所求切线的切点为，写出直线的方程，将点代入直线的方程中化简得一个关于的方程，构造函数，利用函数导数与单调性求出即可； （2）根据，得出相应的方程，然后利用分析法结合函数导数证明即可； （3）解法一：由题意将代入不等式得出的表达式，利用导数求出的最大值，在根据恒成立即可求出的值（或取值范围）；解法二：由题意将代入不等式得出的表达式，由恒成立，利用函数导数分析求出的最大值，再结合题意分析求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 设所求切线的切点为， 则直线的方程为， 即，又， . 即， 令， 可知在上单调递增. 又，所以方程有唯一解. 所以直线的方程是或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一：由题意得. 则， 令，得或（舍去）， 在上，， 在上，， 在上单调递增，在上单调递减， 当且仅当时，取得最大值， 即. 已知恒成立. . 又，所以， 所以，解得. 所以的取值的集合为. 解法二：由题意得恒成立， 令， 得， ，， 方程有两个不相等的实数根，， 则，不妨设， 在上单调递增，在上单调递减， . 由，得（**）， 恒成立. 令， 则， 则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即， 当且仅当时取等号，又恒成立， 所以，且，将代入（**）式得， 所以的取值的集合为. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，求过点（在点）处切线方程；或者已知切线方程求参数； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题； （4）利用导数证明不等式，其中涉及极值偏移问题较难． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益阳市2025届高三9月教学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分.考议时量120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，.则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 3. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024 4. 已知，则（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是等腰三角形 C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 当时， C. 的解集是 D. ，都有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称 C. 点是曲线的对称中心 D. 在上单调递增 10. 已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有（ ） A. B. 函数在定义域上单调递增 C. 曲线在点处的切线方程是 D. 若，则 11. 在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段 B. 不存在点，便得平面 C. 三棱锥的最大体积为 D. 若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为____________. 14. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定. （1）若，则______； （2）若数列是等差数列，则数列的前50项之和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，面积为，求的值. 16. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知两点，及一动点，直线，的斜率满足，动点的轨迹记为.过点的直线与交于，两点，直线，交于点. （1）求的方程； （2）求的面积的最大值； （3）求点的轨迹方程. 19. 若函数. （1）若，且曲线的切线过点，求直线的方程； （2）证明：若，则； （3）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $