精品解析：山东省德州市第五中学2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题

2024-2025学年上学期九年级数学校本暑假作业验收 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1 2. 数据10，10，x，8的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 4 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 5，12，13 D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，若点（0，a），（－1，b），（－3，c）都在直线l上，则下列判断正确的是（ ） A B. C. D. 7. 用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 8. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C D. 9. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（ ） A. B. C. D. 10. 根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（ ） x … 0 1 2 … y … 2 … A. B. C D. 11. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 12. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 若是关于x的方程的一个根，则a的值是____________． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 15. 如图，为的中位线，点在上，且为直角．若，，则的长为______． 16. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为_________. 17. 新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为__________． 18. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（共78分） 19. 解方程 （1） （2） 20. 已知函数． （1）当____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x____________时，y随x增大而增大． （3）该函数可以由函数图象经过怎样的平移得到？ （4）该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象． 21. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 22. 如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接，交于F． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 23. 现有一条长的绳子． （1）怎样围成一个面积为的矩形？ （2）能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法：如不能，说明理由． （3）能围成的矩形的最大面积是多少？说明理由． 24. 阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 25. 如图，直线与轴、y轴分别交于点E，F．点E的坐标为，点A的坐标为． （1）求直线的解析式和点F的坐标； （2）若点是第二象限内的直线EF上的一个动点．当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）探究：在（2）的情况下，当的面积为，求点P的坐标，并说明理由． （4）在（3）的条件下，试求一点Q，使以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形．直接写出点Q的坐标，不需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级数学校本暑假作业验收 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件， 可知x-1≠0，x≥0， 解得x≥0且x≠1. 故选D. 2. 数据10，10，x，8的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和平均数相等列方程求解即可． 【详解】解：（1）当众数为10时，根据题意得：， 解得， 则此时四个数从小到大排序为8，10，10，12， ∴中位数是10； （2）当时，有两个众数，而平均数为，不合题意； 综上分析可知，这组数的中位数10，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了众数、中位数和平均数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，注意分类讨论，求出结果． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 5，12，13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，1，2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，1，2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，5，12，13能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的运算法则进行一一判断即可． 【详解】，故选项A错误． 与不能合并，C中与也不能合并，故选项B、C均错误． ，故选项D正确． 故选：D 5. 当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵k＜0，∴﹣k＞0， ∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答的关系． 6. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，若点（0，a），（－1，b），（－3，c）都在直线l上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线经过一、二、三象限，则随着的增大而增大，根据，可知． 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握函数值与值之间的变化关系式解题的关键． 7. 用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 8. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故选：D． 9. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，求出与轴的交点坐标，图象法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵直线与的交点的横坐标为， ∴由图象可知：的解集为：； ∴不等式的整数解为； 故选A． 10. 根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（ ） x … 0 1 2 … y … 2 … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性得到顶点坐标为，设出顶点式，把代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， ∴； 故选：D． 11. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 12. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故①正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，，故②错误；由于，得到，故③正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过G作于M，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴设 ∵， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过G作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 若是关于x的方程的一个根，则a的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，为的中位线，点在上，且为直角．若，，则的长为______． 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长． 【详解】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=×4=2， ∵∠AFB=90°，D是AB 的中点， ∴DF=AB= ×3=， ∴EF=DE-DF=0.5， 故答案为：0.5． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键． 16. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设BE=x,则CE=5-x，在Rt△ABE和Rt△ACE中,由勾股定理表示出AE的平方，列出方程求解并进一步得到AE的长. 【详解】设BE=x,则CE=5-x，在Rt△ABE和Rt△ACE中,由勾股定理可得： 所以 解得， 所以AE=. 考点：1.菱形的性质；2.勾股定理. 17. 新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为__________． 【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200． 【解析】 【详解】试题分析：设每件童装应降价x元，可列方程为：（40﹣x）（20+2x）=1200．故答案为（40﹣x）（20+2x）=1200． 考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题． 18. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（共78分） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 或 ∴． 20. 已知函数． （1）当____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x____________时，y随x的增大而增大． （3）该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ （4）该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象． 【答案】（1）1；4 （2） （3）见解析 （4）和； （5）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为得出抛物线开口向下，由此即可得出结论； （2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间； （3）找出函数的顶点坐标，结合函数的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令可得出关于的一元二次方程，解方程求出值，由此得出抛物线与轴的交点坐标；令求出值，由此即可得出抛物线与轴的交点坐标； （5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【小问1详解】 解：函数解析式为， 抛物线的开口向下，顶点坐标为． 当时，抛物线有最大值，是4． 故答案为：1；4； 【小问2详解】 解：抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 故答案为：； 【小问3详解】 解：函数的顶点坐标为， 将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数的图象． 【小问4详解】 解：令，则有， 解得：，， 该抛物线与轴的交点坐标为和． 当时，， 该抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：和；． 【小问5详解】 解：列表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 描点，连线，该抛物线的图象如图： ． 21. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况，可得，从而求出结论； （2）由根与系数的关系得：，，然后将，代入方程变形可得，，然后代入已知等式并利用等量代换即可求出结论． 【详解】解：（1）由题意，有 （2）由根与系数的关系得：， ， ， 或 【点睛】本题是对一元二次方程综合考查，熟练掌握一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键． 22. 如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接，交于F． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理矩形的判定与性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ． ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ，， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积是：． 23. 现有一条长的绳子． （1）怎样围成一个面积为的矩形？ （2）能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法：如不能，说明理由． （3）能围成矩形的最大面积是多少？说明理由． 【答案】（1）当围成的矩形的长为，宽为时，矩形的面积为； （2）不能围成一个面积为的矩形，理由见解析 （3）能围成的矩形的最大面积是是，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用： （1）设围成的矩形的长为，则宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可； （2）设围成的矩形的长为，则宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程，看方程是否有解即可得到结论； （3）设围成的矩形的长为，矩形面积为S，则宽为，再根据矩形面积计算公式列出S关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设围成的矩形的长为，则宽为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴当围成的矩形的长为，宽为时，矩形的面积为； 【小问2详解】 解：不能围成一个面积为的矩形，理由如下： 设围成的矩形的长为，则宽为， 由题意得，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不能围成一个面积为的矩形； 【小问3详解】 解：能围成的矩形的最大面积是是，理由如下： 设围成的矩形的长为，矩形面积为S，则宽为， 由题意得，， ∵， ∴当时，S最大，最大值为100， ∴能围成的矩形的最大面积是是． 24. 阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1） （2）证明：在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 【解析】 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2）略 （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 25. 如图，直线与轴、y轴分别交于点E，F．点E的坐标为，点A的坐标为． （1）求直线的解析式和点F的坐标； （2）若点是第二象限内的直线EF上的一个动点．当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）探究：在（2）的情况下，当的面积为，求点P的坐标，并说明理由． （4）在（3）的条件下，试求一点Q，使以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形．直接写出点Q的坐标，不需证明． 【答案】（1）直线解析式为点的坐标为 （2）（） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）把点坐标为代入求出即可解决问题； （2）是以为底边，点的纵坐标为高的三角形，根据，列出函数关系式即可； （3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题； （4）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， ， ， 一次函数解析式为， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， ∵是第二象限内的直线上的一个动点， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴当的面积为时， ， 把代入一次函数，得， ∴点的坐标为． 【小问4详解】 解：由于，，， 当以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况： 当为对角线时，则的中点坐标为， ∴的中点坐标也为 ∴； 当为对角线时，同法可得：； 当对角线时，同法可得：； 综上：或或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，坐标与图形，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数或方程解决实际问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $