精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

勤建学校高三年级上学期第一次调研考试 数学试卷 2024.9 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 函数的单调递减区间为（　 ） A. B. C. D. 5. 设函数f（x）= x -+ 1在[1，4]上的值域为（　　　） A. B. C. D. 6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. ，，且，则的可能值为（ ） A. B. C. 0 D. 10. 已知是正数，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为0 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 若，则是上的单调递增函数 B. 若，则是奇函数 C. 若，且，则 D. 若，则是奇函数或是偶函数 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集为______． 13. 若为偶函数，则实数______. 14. 若实数，，，满足，则的最小值为__． 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的________，求正实数的取值范围. 从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答. 16. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和. 17. 在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求证：； （2）求的最小值. 18. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知二次函数的图象经过点，且，方程有两个相等的实根. （1）求的解析式； （2）设， ①判断函数的单调性，并证明； ②已知，求函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 勤建学校高三年级上学期第一次调研考试 数学试卷 2024.9 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分) 1E-mN-子-君0引.则MnN-() }e{ {0 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的概念及特殊角的正弦函数值计算即可： -元，-，0，刀 【详解】将4’6,03中的元素依次代入2≤six N= 2验证， 元 只有60满足2 s,MnN-{0 故选：A 2.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是() 1、1 A.Ina<Inb B.a b C.a2<b2 D.a<b 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质结合反例即可得到答案： 第1页/共21页 6学科网 命组卷网 【详解】对A,当a<b<0时，不等式无意义，故A错误： 11 对B,当a<0<b时，ab,故B错误； 对C,当a<b<0时，a>, ，故C错误； 对D当a<b时，a<b 成立，故D正确： 故选：D. 已知f是定义在R上的奇两数，当>0时)=1，x,则(-3)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】计算出 根据函数奇偶性求出八-3) f(3) 【详解】因为() 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f)=log,x 时， 所以f-3)=-f6)=-1og,3=-1 故选：A 4.函数8(0=水-+'的单调递减区间为() a（ C.[1,+0) p（L+o) 【答案】B 【解析】 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间 第2页/共21页 学科网命组卷网 【详解18=xx-1+1= x2-x+1,x≥1 -x2+x+l,x<1 厨出函数图象，如图可知，厨数的单调选减区阿为)'/ 故选：B. y=g(x) 2 5.设函数f(x)=x-x+1在[1,4]上的值域为( ) 9 B.[0,1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性的性质可得f0 在[1,4)上为增函数，代入端点值即可得解。 2 【详解】由x在[1,4上单调递增，且x在[1,4]上单调递减， 2 根据单调性的性质可得∫(x)=x-x+1在[1,4]上单调递增， 9 所以由f(1)=0,f(4)=2, 9 0, 故值域为2」 第3页/共21页 6学科网命组卷网 故选：C (3a-1)x+4a,x<1 6已知函数f()= f(x)-f(2>0 x2-am+6,x≥1满足：对任意x,为2∈R,当x≠x时，都有x-x 成立，则实数a的取值范围是() A.[2,+∞) B.521 D.[1,2] 【答案】C 【解析】 f(x) 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数 的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调 性列式求解。 f(x)-f>0 【详解】对任意x,2∈R,当x≠x2时，都有x一x2 成立，则函数f(x)在R上单调递增， 3a-1>0 因此 asl ,解得1 7a-1≤7-a <a≤1 3 所以实数a的取值范围是`3 故选：C 7.已知函数()=1og,(32+)小-x,则满足(2x-)>f()的x的取值范围为() A.(1,+oo) a（一L+网) (制 n（m}+w) 【答案】B 【解析】 第4页/共21页 6学科网命组卷网 【分析】由奇偶函数的定义得出f()为偶函数，当x之0时，令()=3+3 ,由导数判断其单调性 进而得出（凶在[0，+o)上单调递增，根据抽象函数不等式解法求解即可。 【详解】由题意得，()的定义域为R,f(,=log,(3+1)-x=1og,(3+3) 因为f（-)=1g,(3*+3）=f(x) 所以f()为偶函数， 当x≥0时，令u(x)=3产+3，则(x)=(3-3）h3 因为y=3和y=-3在0，+o）上单调递增，所以x)≥(0)=0， 所以“()在[0，+切)上单调递增。 所以f()在[0，+o)上单调递增， 由f(2x-)>f(),得f2x-0>f).所以2x->4, 两位子方关监，得3-41小0：有r(》L1回) 故选：B x+1,x≤0 8.已知函数f(x) k-x>0:若关于的方程 有五个不同的 f(x)+(m-4)f(x)+2(2-m)=0 实数根，则实数m的取值范围是() A.L,3) B.2) c(0,2) D.(0,1) 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出f(=2或f(x)=2-m 然后利用方程的根与函数交点的关系，判断根的个数即可 第5页/共21页 命学科网命组卷网 【详解1(，+(m-4)f(x)+2(2-m)=0→[f(x)-2][f(x)+m-2]=0 解得f()=2或f(x)=2-m x+1,x≤0 2 210 v=f(x) 儿✉)2的解得个数，可以看作V=f)与y=2的交点个数。显然有两个交点 因为f产()+(m-4)f(x)+2(2-m)=0. 故y=f()与y=2-m需要有三个交点， 由函数图像可知0<2-m≤1， 解得1≤m<2 故选：B 【点睛】此题主要考察的是分段函数相关的复合函数的根的个数相关问题，做此类题，大多数都需要数形 结合求解 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.) 9.A={xx+x-6=0},B={xmx+l=0,且AUB=A,则m的可能值为() 第6页/共21页 6学科网 命组卷网 1 1 A.3 B.3 C.0 D.2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据4=2,3}，AB=A,得到BcA,分类时论解决即可 【详解】由题知A={xx+x-6=0} 由+x-6=0,解得x=2或X=-3 所以A={2,-3y 因为AUB=A BCA ,所以 当B=⑦时，m=0,满足题意， 1 当B≠☑时， B=-1-2 1=3 m=- ,即3； 故选：BCD 10已知y是正数，且+y=2 ,则() A.x(x+2)的最大值为4 B.logx+log2y 的最大值为0 C.2+2 的最小值为4 1+2 3 D.xy的最小值为2 +V2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质和基本不等式性质，以及利用“1”的妙用，进行求最值即可得解 第7页/共21页 6学科网列组卷网 【详解】由x'是正数，且x+y=2 0<x<2,0<y<2 ,可得 对A,x(x+2y)=c+y-x+y+)=(x+-y2=4-y 由0<y<4可得0<4-y<4,(x+2y)无最大值，故A错误： 对B,由x+y=2≥2V四，所以0<y≤1，当且仅当x=y=1时等号成立 所以lg,t+log,y=log2y≤log,1=0 ,故B正确： 对C,由基本不等式可得2+2”≥2W22'”=2W2w=4 当且仅当术y=1 时取等号，故C正确： x y Vx y 当且仅当x=2(N2-y=4-25时取等号，故D正确 故选：BCD 1.已知函数f(的定义域为R,则《) A若(2)>(0)，则()是R上的单调递增函数 B.若f(x)=-f(-),则f()是奇函数 c若f(1-)=f1+)且f(2-)=f(2+),则f(x+2)=f() D若/(x列-f(-x儿，则f()是奇函数或f()是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例可排除A、D,利用奇函数的定义结合换元法可判定B,利用 第8页/共21页 命学科网命组卷网 f(x+2)=f(2-x)=f+-x-(-x刃]=f()即可判定c. 【详解1对于A,若f(x)=r,则(2)>f) 但(，)不是R上的单调递增函数，所以A错误； 对于B,若1eR,当>0时，令1= 因为f(r)=-f(),所以f)=-f(),即f(-)=-f0, 当1=0时，令x=0,因为f(r)=-f(）,所以f(0)=-f(-0),即f(0)=0: 当t<0时，令1=-2，因为f()=-f(）,所以f(-40)=-f0), 综上.1eR,(-)=-f0,所以f✉是奇函数，所以B正确： 对于0若f1-)-f0+刘，且f(2-)=f2+), 则f(+2)=f2-=f+(1-x小1-(1-]=f(四)，所c正确： 对行》香叫 x,x∈(-o,-i)U(山，+o),满足f(x=f(-x: 但函数是非奇非偶函数，故D错误。 故选：BC 【点睛】思路点睛：对于抽象函数的性质综合问题，可通过构造函数或利用单调性、奇偶性、对称性等定 义一一判定选项 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 2x-1≤1 12.不等式x+2一的解集为 【答案】 （-2,3] 【解析】 第9页/共21页 命学科网命组卷网 【分析】根据分式不等式的解法计算直接得出结果。 2x-ls12x=-1=x-3<0 【详解】由不等式x+2,可得x+2 x+2 即-3r+2)≤0且x+2≠0，解得2<x≤3 2x-1≤1 即不等式x+2 的解集为(-2,3]. 故答案为： (（-2,3] 13.若f(=(x+a-h2x- 2x+1为偶函数，则实数a=一 【答案】0 【解析】 【分析】由-1)=f0求出a的值，然后再检验即可 【都1因航文版[公树. 关于原点对称，而函数∫(x)为偶函数， 所以由f（-)=f(0得l-a=1+a,解得：a=0 0) -2x+1 符合题意 故答案为：0 14若实数a,b,c,d满足b+a2-3naP+e-d+2P=0,则Va-c+(b-d的最小值为_ 【答案】2W2 【解析】 【分析】V(a-c+(伍-'看做两点间的距离，问题转化为曲线y=3血x-x(c>0)上动点与直线 第10页/供21页 6学科网6组卷网 y=x+2 上动点的距离的最小值，转化为求与直线 y=x+2 平行且与曲线相切的直线的切点问题，即可 得解 【详解】实数a,b,c,d满足(b+d2-3na+(c-d+2}=0, b+a-3ha=0,c-d+2=0.分别设y=f()=3hx-r(c>0).y=x+2 则V(a-c+(仍-)的最小值可看做曲线y=3血x-x(c>0)和直线y=x+2上的动点(a,b)与 (c,d) 的最小距离， 设与直线y=x+2平行的直线与曲线'=3血北-X(x>0)相切于点P 5P(x) 则)-3-2x.f)3-2x=1 解得x=1,“=-1. PL-)点p到直线y=x+2的距离d-1+2=25. 即Va-c+b-的最小值为22. 故答案为： 2W2 四、解答题： (本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知集合 =2s3.B-=r-4r4m≤0，m>0 (1)若m=3,求AUB: (2)若存在正实数m,使得“x∈A”是“x∈B”成立的 一，求正实数m的取值范围. 从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答 【答案】(1)AUB=[-2,5] 第11页/共21页 6学科网命组卷网 2)(0,3] 【解析】 A,B 【分析】(1)利用指数函数的性质与解二次不等式化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解； A,B (2)利用充要条件与集合的关系得到集合 的包含关系，从而得解 【小问1详解】 A=742s2=ps2≤2y=2 因m>0,且x2-4x+4-m2≤0可化为[x-(2-m][x-(2+m)]≤0。 则B={xr-4x+4-m2≤0，m>0}=[2-m,2+ml 当m=3时， B=[-1,5] 所以AUB=[-2,5] 【小问2详解】 选①： 因“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集 又m>0,A=[-2,5],B=[2-m,2+m [2-m≤-2∫m≥4 所以2+m≥5m≥3 →m∈[4，+o) 经检验，m=4满足题意， 所以实数m的取值范围是[4，+∞) 选②： 因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集 第12页/供21页 6学科网命组卷网 又m>0,A=[-2,5],B=[2-m,2+m] 2-m≥-2m≤4 → 所以2+m≤5m≤3 →m∈(0,3] 经检验，m=3满足题意， 所以实数m的取值范围是(0,3] 16已知数列{a}的前项和为S,2S。=a1-3,且4=3. （山)求a,}的通项公式： 1log1an,n为奇数 2)已知6= 3 an,n为偶数 ，求数列b,}的前”项和T, 【答案】(1)0.=3” 31_9_(n+l} n为奇数 (2)T- 8 84 3- 9 4,n内偶数 【解析】 【分析】（山）根据前刀项和与通项之间的关系分析可得=3a,结合等比数列求其通项公式： (2)结合山)求”，分奇偶原，利用分组求和的方法求和即可 【小问1详解】 2S,=a1-3 ,则有： 当n=l时，28=4，-3=6 解得49 当n≥2时，则 S-=an-3 第13页供21页 6学科网列组卷网 两式相减得2a,=00,即0=30， 注意到4=3a,4=3≠0，故a1=3a.(neN) :a,}是首项为3，公比为3的等比数列， 故0，=3x31=3” 【小问2详解】 -n,n为奇数 由(1)得= 3",n为偶数， 当n为偶数时， Tn=b+b2+…+b。=(6+b,+…+bn)+(b2+b+…+bn) -03a-g+-na-明 2 1-9 6-小4 当为奇邀时=6-(6-)-a4-3- 4 31_9_(n+1} 8 84 39a+,为奇数 1 综上所述： T= 8 84 17在△1BC中，设角4，B,C所对的边分别为a,D,c,且满足(a+b)h=c (1)求证：C=2B: a+4b (2)求bcos B的最小值， 【答案】(1) 第14页/供21页 命学科网命组卷网 证明：在△MBC中，由已知及余弦定理，得（a+b)b=c=d+b2-2 abcosC 即b=a-2 bcos C. 由正弦定理，得sinB=sinA-2 sin BcosC,又4=元-(B+C), sin B=sin(B+C)-2sin BcosC=sin B cosC+cos BsinC-2sin BcosC =cos Bsin C-sin Bcos C=sin(C-B) .0<sinB=sin(C-B),:0<C-B<C<π， B+(C-B)=C<元，B=C-B,故C=2B (2)4V5 【解析】 【分析】(1)由已知及余弦定理可推出b=a一2bc0sC,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化 简可得siB=si血(C-B）,即可证明结论： a+4b a+4b=4cosB+。 3 (2)利用(1)的结论将bcos B边化角，结合三角恒等变换可得bcos B c0SB,由基本不等 式可求得答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由C=2B8+c=3ne@.8e0.、 sB合 a+4b_5+2cosC_5+2c0s2B5+2(2cos2B-1 由(1)a=b(1+2cosC),C=2B得bcos B cos B cos B cos B 第15页/供21页 可学科网命组卷网 3 3 =4cos B+- ≥2 /4cos B._ =4V3 cos B cos B B= 0, 当且仅当 6 3时等号成立， Bsπ a+4b 所以当°6时，bcos B的最小值为4V3 18已知函数f)=+am+a e (1)当a=2时，求f(,在（-f(-》处的切线方程： (2)当x之0时，不等式f()s2恒成立，求a的取值范围。 【答案】(1) ex+y=0 (2)a≤2 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程. (2)利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值 的性质讨论参数的取值范围。 【小问1详解】 当a=2.创+2t2f创= e 故切线的斜率k=f'()=-e,又f(-)=c,:切点为(l,e 切线方程为’-e=-e(x+),化简得+y=0 【小问2详解】 第16页/供21页 6学科网列组卷网 x2+ax+a≤2 法1：当x≥0时，f(x)2恒成立，故e 也就是t+ar+a≤2e,即a(x+l)≤2e-x 由x+1>0有as2c- s2w-千0 则h)-2c-2xx+-2g-x)2e-x-2） (x+1)2 (x+102 令()=2e-x-2.则()=2e-1 可知()在[0，+o)单调遥增，则()≥(0)1，即()>0在0+)恒成立，. 放)在0，+o)单调递增，所以4（≥1(0）=0，放()≥0在[0，+o)恒成立 所以h()在[0，+w)单调诺指，而h(0)=2,所以hA(x)≥2，枚a≤2. 法2：因为当x≥0时，f()≤2恒成立，故f≤2， -f4-s.2-0 e+ e 令f()=0,得x=0或x=2-a, ①当2-a≤0，即a≥2时，'()≤0在x∈[0，+o)上恒成立， f(四在0，+)上单调道减.六f=f(0)-只-a≥2 a>2不合思点.a=2合思意. ②当2-a>0,即a<2时， 第17页/供21页 6学科网6组卷网 当x∈[0,2-)时f'(x)>0,当xe(2-a,+o）时f'()<0, 故f(y在[0,2-a）上单调递增，在(2-a,+o)上单调递减. fxx=f2-a）)=4-a e2-a, 设2-a=1>0y=+2 y=l‘< , e 恒成立， .y=! t+20+2 =2 e在(0，+o)上单调递减，故e<1三乙即f()mx<2,合题意. 综上，a≤2. 法3：因为当x≥0时，f()≤2恒成立，也就是2+a+a≤2e, 即2e-r2-a-a≥0恒成立，令h()=2e-2-a-a,x∈[0，+w) 令$()=h(x)=2e-2x-a,S(x)=2e*-2 x之0，e≥，S(20恒成立，H()在[0，+切)上单调造增 ∴.h(x)mn=(0)=2-a 0当2-a≥0，即a≤2时.h()20,h(四在D,+w）上单调送增， :h()m=h(0)=2-a20,合愿意： ②当2-a<0,即a>2时，2 因为i0)=2-<0,-2h<0 第18页/供21页 命学科网命组卷网 存在∈(0，+切），使得()=0，即2e=2,+a h(x)在[0，)上单调递减，在(，+o）上单调递增 (m=h()=2e5--m,-a=(2x,+a)-6-a。-a=-6+(2-)x<0,不合题意. 综上，a≤2」 【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值， 或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值. y=f(x) 19.已知二次函数 的图象经过点 0-3》,且fx+0=f0-),方程)+4=0 两个相等 的实根 (1)求少=f) 的解析式： (2)设8四=f+4x>0, 8(x) ①判断函数 的单调性，并证明； ②已知m∈R,求函数 数+是g+2- 的最小值h(m). 【答案】(1)fw)=x2-2.x-3 m,m≤2 (2)①在(0，)单调递减，在1，十四单调递增；②m= 4-m,m>2 【解析】 【分析】(1)通过待定系数的方式，以及条件中二次函数图象经过点 ,-3)fx+0=f0-),方 程+4=0 两个相等的实根，列出对应的方程组，从而得到 y=f(x) 的解析式： (2)①通过单调性的定义证明函数 8(x) 的单调： 第19页/供21页 6学科网6组卷网 ②因为条件中的x2+ 并求出‘的范围，并将函数化简为0=-2--川，从而求出函数的最小值m） 【小问1详解】 (法-)设f田=+hr+c(a≠0)，则f0)=c=-3 由x+)=f0-0得x+++)+c=al-P+b0-)+c. 2a+b)x=0 化简得 0恒成立，则2a+b=0,即6=-2a 因为方程f()+4=0 有两个相等实根，即r-2+1=0有两个相等实根，所以△=4a2-4a0, 可得a=1,b=-2 f(x)=x2-2x-3 (法=)由fx+)=f0-为可得对称轴为x=1,又f)过点(0，-3) 因此设f=ar-lP+1(a≠0)，f0)=a+l=-3.所以f=ar--3-a 因为方程田+4= 有两个相等实根，即-2+1=0有两个相等实根，所以△=4-4a0,可得 a=1 .f(x)=x2-2x-3 【小问2详解】 g)--2x+1=x+{-20>0) 08()在(0,1)单调递减，在（山，+0单调递增 证明：任取x>戈>0，则 )-g)-+习-6+站2刘 第20页/供21页 6学科网6组卷网 =G-3)+(人-马)=西-0-) x x2 2 当>5>1时，6>1，->0，则8x)-8)>0,8在，+0)单调递增： 当1>>>0时，<1，->0，则8x)-8)<0,g(0在(0，单调递减 因此8(y在(0,1)单调递减，在，+0）单调递增 x,则+x=-2 1 x2+ x+≥2 1 X=一 因为x>0,所以x,当且仅当x,即x=1时取等号，所以t之2 设0=2-2-1-m,1≥2 1)当m≤2时，p0=P-1+m-2,p0在2，+0）上单调递增， ∴.h(m)=p(2)=m 54.90-n-0 当≥m时，p0在m,+四)上单调递增；当2≤1<m时，p在2，m）上单调递增 所以0车2，+w) 在 上单调递增， ∴.h(m)=gp(2)=4-m m,m≤2 综上， h(m)= 4-m,m>2: 第21页/供21页