精品解析：河南省驻马店市树人高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

驻马店市树人高级中学2023级高二秋季开学考试 数学试题 命题人： 审核人： 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题(共8小题，每题5分，共40分) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 6. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义，，，则的范围要包含. 【详解】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含， 故选：A． 7. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分､两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】关于的不等式的解集为. 当时，即当时，则有恒成立，符合题意； ②当时，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【详解】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 二、多选题(共3小题，每题6分，共18分) 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】化简条件得，对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；对于C,先逆用二倍角公式，再用诱导公式即得；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即得. 【详解】由，得， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 若正数a,b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”妙用即可得出A正确，将等式整理变形可得，即B正确，由不等式性质计算可得C正确，利用基本不等式可判断D错误. 【详解】由题可知： 对于A，易知， 当且仅当时，即时，等号成立； 对于B，由可得，可得， 同理可得，所以， 所以；当且仅当时，等号成立，即B正确； 对于C，由可得， 又， 所以，即，，可得， 即可得，即C正确； 对于D，由可得，即； 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即D错误； 故选：ABC 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为 D. 二面角平面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，根据四面体的棱长求解长方体的长宽高，即可建立空间直角坐标系，结合选项利用向量法求解. 【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为， 则， 所以解得， 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 故故， 所以直线与所成的角为，A错误， 由于，故， 直线与所成的角为，B正确， 对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离的最小， 且最小值为长方体的高，即为，C正确， 对于D，取中点，连接,由于，， 所以,故为所求角， , 故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题(共3小题，共15分) 12. 已知、为锐角，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 13. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 14. 小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为___________ . 【答案】## 【解析】 【分析】记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解. 【详解】解：记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立， 且， 因为他恰好能答对两道题的概率为， 可得 ，整理得， 所以他三道题都答错的概率为. 故答案为：. 四、解答题(共5小题，共77分) 15. 已知向量 （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用向量的数量积求解与的夹角的余弦值； （2）表示出向量与的坐标，利用向量平行，列出方程，即可求解的值. 【小问1详解】 ，， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 ，，∴，， 由与平行，所以，解得. 16. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，求： （1）直方图中a的值； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数． （3）此年度消费金额的平均值． 【答案】（1）3.0 （2）6000人 （3）0.537万元 【解析】 【分析】（1）根据各组频率之和为1即可求得答案； （2）根据频数的求法即可得答案； （3）根据平均数的求法，即可得答案. 【小问1详解】 根据各组频率之和为1，得，解得； 【小问2详解】 由图可知消费金额在区间内的购物者的人数为人； 小问3详解】 由图可得此年度消费金额的平均值为（万元）. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）先证明平面，结合等体积法即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的严格减区间; （3）若不等式对恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换可将化简为,从而可求函数的最小正周期; (2)利用正弦函数的单调性即得; (3)由题可得,利用三角函数的图象和性质可求函数在区间上的值域,进而即得. 【小问1详解】 因为, 所以最小正周期. 【小问2详解】 令, 得. 所以函数的严格减区间为. 【小问3详解】 因为,所以, 所以, 即当时,,. 因为对恒成立, 所以, 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 驻马店市树人高级中学2023级高二秋季开学考试 数学试题 命题人： 审核人： 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题(共8小题，每题5分，共40分) 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 二、多选题(共3小题，每题6分，共18分) 9. 设，则（ ） A B. C. D. 10. 若正数a,b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为 D. 二面角平面角的余弦值为 三、填空题(共3小题，共15分) 12. 已知、为锐角，，，则_____________. 13. 已知且，则______． 14. 小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为___________ . 四、解答题(共5小题，共77分) 15. 已知向量 （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量求实数的值. 16. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，求： （1）直方图中a的值； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数． （3）此年度消费金额的平均值． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 19 已知函数. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的严格减区间; （3）若不等式对恒成立,求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$