精品解析：2024年黑龙江省绥化市升学模拟大考卷九年级下学期摸底练习数学试卷

二零二四年绥化市升学模拟大考卷摸底练习一 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 2. 已知，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( ) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 7. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点D在的直角边上（与点B，C不重合），，以为边作正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若，则锐角_________． 12. 已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为______． 13. 已知中，，，，那么的长是 ___________． 14. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 __________________． 15. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为______． 16. 用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要______个小正方体． 17. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______． 18. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 19. 如图，在中，点分别在边上，是的中点，相交于点，若，则的长为_______． 20. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为_____． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 22. 如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） （1）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； （2）根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 23. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点取，，，另一边开挖点在直线上，求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，） 24. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． （1）P关于S的函数关系式为　 　． （2）求当时，物体所受的压强是　 　． （3）当时，求受力面积S的变化范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 26. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 27. 如图，函数的图像过点和点． （1）求和的值； （2）将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 如图，已知中，，．D是所在平面内不与点A，C重合任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）如图①，当时，线段与之间的数量关系是______； （2）如图②，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （3）如图③，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二零二四年绥化市升学模拟大考卷摸底练习一 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点代入，即可求解. 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴k=-4×2=-8， 故选D. 【点睛】本题主要考查反比例函数的待定系数法，掌握待定系数法是解题的关键. 2. 已知，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 6. 如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( ) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变，可计算出△ABO的面积为：×4=2 故选D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握比例系数k的几何意义①在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． ②在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 7. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点， ∴不等式的解集为：或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 9. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得． 【详解】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴． 设AN=x，则EF=FG=DN=60-x， ∴ 解得：x=20 所以，AN=20． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键． 10. 如图，点D在的直角边上（与点B，C不重合），，以为边作正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点的性质与判定方法是解题关键． 由正方形的性质得出，证出，证明即可求解；②证明四边形是矩形，得出；③由等腰三角形的性质和矩形的性质得出；④证出，得出对应边成比例，得出． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 故②正确； ， ， 故③正确； ， ， ， ， 故④正确； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若，则锐角_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 12. 已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意可得相似三角形的相似比，再根据周长比等于相似比即可解题． 【详解】解：一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3， 又， ， 的周长， 故答案为：11． 13. 已知中，，，，那么的长是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可． 【详解】在中， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解本题的关键． 14. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 __________________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先利用勾股定理求出，再证明，然后利用利用解题即可． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据等腰三角形性质可知，，再根据可知，结合，可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：为等边三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. 用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要______个小正方体． 【答案】5 【解析】 【分析】根据图形，主视图的底层最少有3个小正方形．第二层最少有2个小正方形． 【详解】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最少有3个小正方体，第二层最最少有2个小正方体，那么搭成这样的几何体至少需要个小正方体， 故答案为5． 【点睛】本题考查三视图，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”来分析出小正方体的个数． 17. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系成为解题的关键． 先利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，再对两组对应线段进行变形求解即可． 【详解】解： ， 同理可得：， ①+②得， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3． 18. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 19. 如图，在中，点分别在边上，是的中点，相交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，证明，利用相似比进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点， 则：， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． 20. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，规律问题，利用等边三角形的性质，探究边长为，然后得到与都在第三象限，即可求出坐标. 【详解】解：由题意 , ， ∴的边长， ， 与都在第三象限，坐标为 故答案为： ． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再根据特殊角三角函数值求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角三角函数值，二次根式的混合运算等知识点．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序及熟记特殊角三角函数值． 22. 如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） （1）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； （2）根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高； （2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积． 【小问1详解】 解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10， 因此，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， 即这个几何体的侧面积为． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状． 23. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点取，，，另一边开挖点在直线上，求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】的长为 【解析】 【分析】平角的定义，得到，进而得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是得到，熟记锐角三角函数的定义． 24. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． （1）P关于S的函数关系式为　 　． （2）求当时，物体所受的压强是　 　． （3）当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】（1） （2）400 （3） 【解析】 【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式． （2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强． （3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【小问1详解】 解：设， 由图象可知：点在函数图象上， ∴， ∴； ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 当，； 故答案为：400； 【小问3详解】 当时，； 当时，； ∴当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 26. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为 （2）检查点和之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． 【小问2详解】 过点A作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 27. 如图，函数的图像过点和点． （1）求和的值； （2）将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将和点两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线的解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：函数的图像过点和点， ， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， ，， ， 即， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ；     ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ；    ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 28. 如图，已知中，，．D是所在平面内不与点A，C重合任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）如图①，当时，线段与之间的数量关系是______； （2）如图②，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （3）如图③，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1） （2） 解：．理由如下： 过点A作于点G，设， 当时， ∵，．，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 过点D作于点H，设，同理可证，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，．， 和都是等边三角形，得到，，再证明，得到． （2）过点A作于点G，设，过点D作于点H，设，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，三角函数的应用，计算解答即可． （３）设，设，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，计算解答即可． 【小问1详解】 证明：当时， ∵，．，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：．理由如下： 当时， 设，设， ∵，．，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $