精品解析：湖北省武汉市经开外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

武汉经开外国语学校2024—2025学年度上学期九年级 数学独立作业3 试卷满分：120分考 试用时：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程中，一次项系数、常数项分别是（ ） A. －8、－10 B. －8、10 C. 8、－10 D. 8、1 3. 对于抛物线的说法错误的是 （ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，-3） C. 抛物线的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 4. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 张老师出示小黑板上的题目（如图）后，小敏回答：“方程有一根为1．”小聪回答：“方程有一根为2．”你则认为（ ） A 小敏、小聪回答都不正确 B. 小敏、小聪回答都正确 C. 只有小敏回答正确 D. 只有小聪回答正确 7. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A B. C. D. 10. 如图，现有一张透明网格（1000×1000）塑料片，纵向的网格线A1B1，…，A1000B1000，以A1为原点，A1A1000所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，现有抛物线y＝x2+x的一部分落在这个网格内，那么此抛物线在A20B20与A21B21之间（包括这两条网格线）与横向的网格线相交的点的个数为（　　） A. 20 B. 38 C. 40 D. 42 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 写出一个两根为，1的一元二次方程，并整理成一般式________． 12. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是________s． 13. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 14. 如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为______． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程“倍根方程”，则必有． 16. 在平面直角坐标中，点，，将线段绕M点逆时针旋转，则点N的对应点P的纵坐标是________． 三、解答题（共6小题，共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． （1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为的自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 19. 如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． （1）求B，C，D三点的坐标； （2）当时，则函数y的取值范围是________． （3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 20. 已知关于一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，为线段 上的点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，先将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再连接，画，使与成中心对称； （2）在图2中，先在上画点，连接 ，使；再在上画点，连接，使． 22. 为适应2024年武汉市体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离球网水平距离的点处，球从点正上方的处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．小明同学站在球网另一侧，距离球网水平距离（如图所示），在头顶至处称为有效击球高度．（球网高度不影响有效击球） （1）若， ①求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果小明的身高为，试判断他能否在原地有效击球？ （2）如果小明的身高为，并且能在原地有效击球，直接写出的取值范围． 23. 如图，正方形和正方形有公共顶点D． （1）如图1，连接和，直接写出和的关系； （2）如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由； （3）如图3，当正方形绕点D逆时针旋转过程中，连接，若当，，时，_______（请用含m的式子表示）． 24. 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉经开外国语学校2024—2025学年度上学期九年级 数学独立作业3 试卷满分：120分考 试用时：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程中，一次项系数、常数项分别是（ ） A. －8、－10 B. －8、10 C. 8、－10 D. 8、1 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可求解． 【详解】一元二次方程中，一次项系数、常数项分别是－8、－10 故答案为A 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,即：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 对于抛物线的说法错误的是 （ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，-3） C. 抛物线的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性后即可得出答案． 【详解】解：中，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线，当时，随的增大而减小． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，能正确的说出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标是解此题的关键． 4. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， 由旋转的性质得： ，故A选项不符合题意， 由旋转的性质得： ，故C选项符合题意， 故选：C． 5. 下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于0，开口向下，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数小于0， 则A和D选项是不符合条件，故A和D选项是错误的 ∵，二次项系数的绝对值越小，开口越大 抛物线的开口更大． 故选：C． 6. 张老师出示小黑板上的题目（如图）后，小敏回答：“方程有一根为1．”小聪回答：“方程有一根为2．”你则认为（ ） A. 小敏、小聪回答都不正确 B. 小敏、小聪回答都正确 C. 只有小敏回答正确 D. 只有小聪回答正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了根与系数的关系与求根公式，解决此类问题的关键要熟记公式以及要把握好数值的正负． 先根据两根之积为2求出k的值，再解方程求出该方程的两个根． 【详解】解：由韦达定理可知， ，方程化为， 解得， 所以小敏、小聪回答都正确． 故选：B． 7. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案． 【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2）， 设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得： 0=a×4+2， 解得：a=-． ∴抛物线的解析式为y=-x2+2， ∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2， 解得：x=±． ∵-（-）=2， ∴水面宽度为2m． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 8. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象性质，根据抛物线的对称性以及抛物线的图象性质进行判定，即可作答． 【详解】解：∵点，在抛物线图象上 ∴ ∴抛物线的顶点坐标的横坐标为1 则B和C选项是错误的 ∵抛物线是对称性的光滑的曲线 ∴抛物线的顶点坐标的纵坐标不等于3 故选：A． 9. 已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．当开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小；确定出三点离对称轴的远近，即可确定出函数值的大小． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 二次函数的二次项系数， ． 故选B． 10. 如图，现有一张透明网格（1000×1000）塑料片，纵向的网格线A1B1，…，A1000B1000，以A1为原点，A1A1000所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，现有抛物线y＝x2+x的一部分落在这个网格内，那么此抛物线在A20B20与A21B21之间（包括这两条网格线）与横向的网格线相交的点的个数为（　　） A. 20 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出当x＝19时和当x＝20时的函数值，然后求出两个函数值的差值即可得到答案． 【详解】∵A1为原点， ∴A20对应的x＝19，A21对应的x＝20， 当x＝19时，y1380， 当x＝20时，y2， ∴y2﹣y1＝40， ∴此抛物线在A20B20与A21B21之间与横向的网格线相交的点的个数为40个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当x＝19时和当x＝20时的函数值是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 写出一个两根为，1的一元二次方程，并整理成一般式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键．设一元二次方程为，将和分别代入方程，得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】设一元二次方程为， 将和分别代入方程，得， 解得， 一元二次方程为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是________s． 【答案】32 【解析】 【分析】直接根据题意得出的对称轴，即可作答．本题主要考查了二次函数的图象性质． 【详解】解：由题意可得：飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是 ∴当对称轴时，飞机停下， 故答案为：32 13. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】-1或2或1 【解析】 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案：-1或2或1 14. 如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为______． 【答案】45°，75°，165° 【解析】 【分析】分三种情形分别画出图形，利用平行线的性质一一求解即可． 【详解】解：①如图1中，当DE∥AB时， ∴∠ABD=∠D=45°，可得旋转角α=45°； ②如图2中，当DE∥BC时， ∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+∠D=75°，可得旋转角α=75°； ③如图3中，当DE∥AC时，作BM∥AC， 则AC∥BM∥DE， ∴∠CBM=∠C=90°，∠DBM=∠D=45°， ∴∠ABD=30°+90°+45°=165°，可得旋转角α=165°， 综上所述，满足条件的旋转角α为45°，75°，165°， 故答案为：45°，75°，165°． 【点睛】本题考查旋转变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 16. 在平面直角坐标中，点，，将线段绕M点逆时针旋转，则点N的对应点P的纵坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将线段绕点O逆时针旋转，得到，分别过点P，点Q作y轴，x轴的平行线，交坐标轴于点，两平行线交于点B，连接，根据题意的得到， ，求出，进而求出，则，根据轴，轴，轴，得到，证明，得到，证明，得到，求出，由即可解答． 【详解】解：将线段绕点O逆时针旋转，分别过点P，点Q作y轴，x轴的平行线，交坐标轴于点，两平行线交于点B，连接， 根据题意的得到， ， ，， ， ， ，则， 轴，轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标图形，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等与相似是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程，即可作答． （2）先去括号再合并同类项，运用因式分解法解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ∴ ∴， 【小问2详解】 解： ∴， 18. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． （1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为的自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、 （2）不能围成面积为的自行车车棚，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【小问1详解】 解：设自行车车棚的宽为，则长为， 根据题意，得， 解得 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去．； 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、； 【小问2详解】 解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 设自行车车棚的宽为，则长为， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴此时方程无解 ∴不能围成面积为的自行车车棚． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． 19. 如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． （1）求B，C，D三点的坐标； （2）当时，则函数y的取值范围是________． （3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线，求出解析式，再分别令即可求解； （2）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象即可解答； （3）由，即可得到点A平移到点D的平移方式，结合抛物线的平移规律即可解答． 【小问1详解】 解：将代入抛物线，得：， 解得：， 抛物线解析式为：， 令，则， ， 令，则， 解得：， 根据题意得：，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为：，且开口向上， 时，抛物线有最小值，最小值为：， ，即， 时，抛物线有最大值，最大值为：， 当时，则函数y的取值范围是； 【小问3详解】 解：，， ， 原抛物线上的A点向右平移2个单位，再向下平移2个单位后落到点D的位置， ， 平移后的抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，及二次函数的性质，是一道综合性比较强的题，看懂图象是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、判别式的意义，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系：，，代入数值，即可作答． （2）先算出，得，结合，，代入数值，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有，两实数根， ∴根据根与系数的关系得，， 解得，； 【小问2详解】 解：存在． 理由如下： 根据题意得， 解得， 由根与系数的关系得，， ， 即， 即， 方程化为， 解得，， ， ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，为线段 上的点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）在图1中，先将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后线段；再连接，画，使与成中心对称； （2）在图2中，先在上画点，连接 ，使；再在上画点，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移性质画出，连接，找到的中点，过点与的中点作直线，交于点，则即为所求； （2）根据网格的特点作等腰直角三角形，斜边与交于点，则；连接与交于一点，连接并延长交于点，连接交于点，则即为所求； 小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 根据等腰三角形的性质以及作图可得垂直平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，即 【点睛】本题考查了无刻度作图，平移的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握网格的特点并运用以上知识是解题的关键． 22. 为适应2024年武汉市体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离球网水平距离的点处，球从点正上方的处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．小明同学站在球网另一侧，距离球网水平距离（如图所示），在头顶至处称为有效击球高度．（球网高度不影响有效击球） （1）若， ①求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如果小明的身高为，试判断他能否在原地有效击球？ （2）如果小明的身高为，并且能在原地有效击球，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，②他能在原地有效击球，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）①利用待定系数法求解即可；②令，求出有效击球点的高度即可求解； （2）由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：，将点、分别代入解析式求出的值，即可得出取值范围； 熟练运用二次函数的性质解决实际问题是关键． 【小问1详解】 解：①当时，， 它过， ， ， ； ②他能在原地有效击球；理由如下： 由（1）可知，， 令得， 解得： ， 能在原地有效击球； 【小问2详解】 由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：， 当抛物线过点和点时 解得：， 当抛物线过点和点时 解得：， ， 的取值范围：． 23. 如图，正方形和正方形有公共顶点D． （1）如图1，连接和，直接写出和的关系； （2）如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由； （3）如图3，当正方形绕点D逆时针旋转过程中，连接，若当，，时，_______（请用含m的式子表示）． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）运用正方形的性质，证明，得到和的关系； （2）延长至点，使得，连接，延长交于一点H，运用正方形的性质，再证明，最后由中位线得到结论； （3）分两种情况讨论：分别作图，与（1）证明，得出，然后运用勾股定理列式化简，即可作答． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，旋转性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：四边形和四边形是正方形， ，，， ∴ ， ， ， 如图： ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：且，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， 延长至点，使得，连接，延长交于一点H 则， ∴ ∵，， ， ， ∵为中点，为中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 【小问3详解】 第一种情况：如图：连接，则交与一点 与（1）同理得，且； 四边形和四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 第二种情况： 如图：连接，交于一点Q 与（1）同理得，且； 四边形和四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ 在中，， 在中， ∴ 故答案为：或 24. 已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）恒过定点 【解析】 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且，、，，根据，得到，整理得，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【小问1详解】 解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ，； 【小问3详解】 证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的抛物线， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且，、，， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根于系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$