精品解析：湖南省长沙市-长郡外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

长郡外国语实验中学初三作业检查练习 一、选择题（共10小题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】==2． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 3. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝3 B. a＝7，b＝24，c＝25 C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝3，b＝4，c＝5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意； B．∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键． 4. 一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】一次项系数-3＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限． 【详解】解：∵-3＜0，∴图象经过二、四象限； 又∵5＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限． 所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故选C． 【点睛】一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0．可借助草图分析解答． 5. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ）． A. x>0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件解答． 【详解】解：∵要使有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键． 6. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴之间的距离是， 故选：D． 7. 一组数据:5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 4. 5，4 B. 3.5，4 C. 4，4 D. 5，4 【答案】A 【解析】 【分析】（1）把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，由于数据个数是6，6是偶数，所以处于中间两个数的平均数就是此组数据的中位数； （2）在此组数据中出现次数最多的那个数就是此组数据的众数． 【详解】（1）按从小到大的顺序排列为：3，4，4，5，6，8， 所以这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5； （2）此组数据中出现次数最多的数是4， 所以4就是此组数据的众数． 故选A． 【点睛】此题主要考查了中位数与众数的意义与求解方法． 8. 如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ） A. （4，2） B. （2，4） C. （2，6） D. （6，2） 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作EF⊥ x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可． 【详解】解：过点E作EF⊥x轴于点F， ∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°， ∴∠AOE=∠AOC=30°，OB⊥AC，∠FAE=60°， ∴∠AEF=30° ∵A(8,0)， ∴AO=8， ∴AE=AO=×8=4， ∴AF=AE=2，， ∴OF=AO−AF=8−2=6， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即：关于x的不等式的解集为． 故选C． 10. 如图，为等边三角形，点从点出发沿路径匀速运动到点，到达点时停止运动，过点作于点.若的面积为，的长为，则下列能反映与之间的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论点从点A出发运动到点B之前；P点过了B点向C点运动． 【详解】解：∵为等边三角形，于点， ∴设， 则， ∴点从点A出发运动到点B之前， ， ∴此时函数图像为顶点在原点，开口向上的抛物线， 排除A、B； 设的边长为m，则当时，P点过了B点向C点运动，如图所示， 则， ∴， ∴， 此时函数图像为开口向下的抛物线， ∵选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D为开口向下的抛物线， ∴D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点轨迹的函数图像，正确表示出y和x之间的关系是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】将进行配方，然后代入计算即可． 【详解】解：， 将代入 得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，将进行配方变形是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13. 二次函数y=2x2 -4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是___________，最小值是___________. 【答案】 ①. 35 ②. 3 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】 ∴x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大， ∴在-3≤x≤4内，x=1时，y有最小值，x=-3时y有最大值，分别是y=2-4+5=3和y=2×9-4×（-3）+5=35． 故答案为35，3． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键． 14. 如图，抛物线与直线两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 15. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 三．解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题10分，共72分。解时写出必要的文字说明、证明过程或演算过程） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，能根据方程的特点选择适当的解方程的方法是关键． （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ． 18. 近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A为非常满意、B为比较满意、C为一般、D为不太满意．并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题： “课后服务满意度调查”条形统计图 “课后服务满意度调查”扇形统计图 （1）参与这次调查的学生家长共计______人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是______． （2）将图中的统计图补充完整． （3）若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？ 【答案】（1）60， （2）见解析 （3）估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人. 【解析】 【分析】（1）根据作B的人数与所占的百分数即可得到参加此次调查的总人数，用总人数减去其它人数，求出C的人数，据此求得C所对应扇形的圆心角的度数； （2）利用（1）的结论，从而补统计图； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（人），即参与这次调查的学生家长共计60人， C的人数（人）， ，即扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是． 故答案为：60，； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示， ； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人. 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，明确题意找出所求问题需要的条件是解题的关键． 19. 如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形； （2）根据，，即可得到和的长，再根据等腰三角形的性质即可得到的长，进而得出平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 21. 已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为． （1）求的值； （2）若该抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与面积综合问题，一元二次方程根与系数的关系． （1）令根据一元二次方程根与系数的关系得到，从而得到，再根据线段的长为，得到，进而得到，即可求解； （2）由（1）知，求出抛物线顶点坐标为，根据的面积为即可求解． 【小问1详解】 解：令， ， ，即， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，则抛物线为， 抛物线顶点坐标为， ． 22. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）35元． 【解析】 【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个，列一元二次方程，求解即可； （2）设每个降价元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为， 则：， （舍），， 答：2、3这两个月销售量月平均增长率为． 小问2详解】 解：设每个降价元， 则：， 整理得：， 解得：（舍），， 所以售价元 答：售价定为35元在4月份可获利4200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． （1）函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式： （3）已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 【答案】（1）“朴实点”为，“沉毅点”为：； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据一次函数是一个“朴实沉毅函数”即可 得出结论； （2）先由平移确定出二次函数的a值，再由二次函数的顶点就是一个“朴实点”，得出，二次函数图象经过一个“沉毅点”得出，然后代入，即可得出结论； （3）由题意得，点，求得点N的坐标为：，设直线的表达式为：，将点M的坐标代入上式得：，直线的表达式为：，由经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合，解得：，．从而抛物线的表达式为：.进而得不可能在和之间．分情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，即， 解得：， “朴实点”为， 当时，即， 解得：， “沉毅点”为：； 【小问2详解】 解：二次函数图象可以由二次函数平移得到， 则抛物线的表达式为：． ∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即， ∴抛物线的表达式为： ∵还经过一个“沉毅点”， 即， 将点代入抛物线表达式得：则， 解得：或6， 即抛物线的表达式为：或； 【小问3详解】 解：由题意得，点， 当时，， 即点N的坐标为：， 设直线表达式为：， 将点M的坐标代入上式得：，解得：， 直线的表达式为：， 经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合， 且， 解得：，． 抛物线的表达式为：. 当，函数有最小值， 抛物线在顶点处的最小值为， 不可能在和之间． 当时，当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时， 当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质在新定义中的应用，新定义“朴实点”和“沉毅点”的理解和掌握，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 24. 如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． （1）如图（1），已知平分，，则______； （2）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； （3）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平行性性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解； （3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作， ， ， ，，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，过点作， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 落在射线上的时间为：， 如图，当第一次时， ， 由旋转知，， ， 解得：； 如图，当时， 由（2）知，，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当时，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当第二次时，旋转角， 又， ， 解得：； 综上所述，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡外国语实验中学初三作业检查练习 一、选择题（共10小题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝3 B. a＝7，b＝24，c＝25 C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝3，b＝4，c＝5 4. 一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 要使式子有意义，则取值范围是（ ）． A. x>0 B. C. D. 6. 如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据:5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 4. 5，4 B. 3.5，4 C. 4，4 D. 5，4 8. 如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ） A. （4，2） B. （2，4） C. （2，6） D. （6，2） 9. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 10. 如图，为等边三角形，点从点出发沿路径匀速运动到点，到达点时停止运动，过点作于点.若的面积为，的长为，则下列能反映与之间的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则______________． 12. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm． 13. 二次函数y=2x2 -4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是___________，最小值是___________. 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 15. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 三．解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题10分，共72分。解时写出必要的文字说明、证明过程或演算过程） 17. 解方程： （1） （2） 18. 近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A为非常满意、B为比较满意、C为一般、D为不太满意．并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题： “课后服务满意度调查”条形统计图 “课后服务满意度调查”扇形统计图 （1）参与这次调查的学生家长共计______人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是______． （2）将图中的统计图补充完整． （3）若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？ 19. 如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，求平行四边形的面积． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 21. 已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为． （1）求的值； （2）若该抛物线的顶点为，求的面积． 22. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． （1）函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式： （3）已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 24. 如图，，三角形顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． （1）如图（1），已知平分，，则______； （2）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； （3）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$