精品解析：2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（三）

长沙市2024年初中学业水平考试押题卷（三）数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：A.是有理数，故不符合题意； B.是无理数，故符合题意； C.是有理数，故不符合题意； D. 2024是有理数，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的判断方法是解答的关键．根据几何体俯视图的判断方法判断即可． 【详解】解：A、C、D选项中几何体的俯视图为： B选项中几何体的俯视图为： ∴四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是B选项． 故选：B. 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是1000 B. 每个学生是个体 C. 1000名学生是所抽取的一个样本 D. 30000名学生是总体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的意义，根据总体、个体、样本、样本容量的意义逐项分析即可，准确理解和掌握各个统计概念的意义是解题的关键． 【详解】解：为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力， 样本容量是1000， 因此A正确，符合题意； 每个学生的视力情况是个体，因此 B不正确，不符合题意； 1000名学生的视力情况是所抽取的一个样本，因此C不正确，不符合题意； 30000名学生的视力情况是总体，因此D不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 随着科技的快速发展某种基因芯片的每个探针单元的面积可以达到，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 根据科学记数法的表示形式，其中为整数，当原数的绝对值时，原数变为时，小数点向左移动了多少位，n的值就是几，n为正整数；当原数的绝对值时，原数变为时，小数点向右移动了多少位，n的值为移动位数的相反数，n为负整数，由此即可求解． 【详解】解：，   故选：C ． 6. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ） A. 32° B. 48° C. 58° D. 68° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握基本知识是解题的关键． 是由平行线的性质推出，再由互余关系即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于E，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知正比函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，直接把代入解析式中求解即可得到答案． 【详解】解：∵正比函数的图象经过点， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，点A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 10. 六名运动员比赛中国象棋每两人赛一局第一天与各赛了局与各赛了局赛了局而且和和之间都还没赛过那么已赛了多少局（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】共有6个人，、各参加了局比赛，、各参加了局比赛，参加了局比赛，且与没有比赛过，与也没有比赛过，依此类推即可确定． 【详解】解：由于、各参加了局比赛，、各参加了局比赛，参加了局比赛，且与没有比赛过，与也没有比赛过， 所以与赛过的是、、、四人； 与赛过的是、、、四人； 又因为只赛了两局，与各赛了局， 所以与赛过的是、、； 而与赛过的是、、； 所以共赛了局． 故选：D． 【点睛】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握提取公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】要使有意义，则需要，解出得到. 【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键. 13. 某校举行班级歌咏比赛，九（1）班准备从《唱支山歌给党听》、《歌唱祖国》、《我和我的祖国》中随机选择一首参加活动，则正好选中《我和我的祖国》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：正好选中《我和我的祖国》的概率是． 故答案为： 14. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_______________m． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意得出DE为∆ABC的中位线，然后利用其性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为AC，BC的中点， ∴DE为∆ABC的中位线， ∵DE=10， ∴AB=2DE=20， 故答案为：20． 【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 15. 如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为______． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，再用进行求解即可．掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵在⊙O中半径与弦垂直于点D，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，根据零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，再将，带入即可求解． 【详解】解： ， 将，带入． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． （1）求旗杆部分的长． （2）求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴； 【小问2详解】 解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 20. 某学校为了解全校学生利用课外时间进行体育锻炼的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外锻炼时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题： 锻炼时间（小时） 频数（人） 频率 18 a 45 36 n 21 合计 b 1 （1）填空： ， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）； （3）若该校有3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外锻炼时间不足三小时的人数． 【答案】（1）30，150， （2）如图所示： （3）该校学生一周的课外锻炼时间不足三小时的人数为960人 【解析】 【分析】（1）根据阅读时间为的人数及所占百分比可得，求出总人数，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出a、b、n； （2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可； （3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可． 【小问1详解】 解：（人）, , , 故答案为：30，150，0.24 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 即估算该校学生一周的课外锻炼时间不足三小时的人数为960人． 21. 如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若＝16,求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键． （1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证． （2）通过观察可发现根据（1）中全等可拆分为，从而得出答案． 【小问1详解】 证明：是的边上的中线， ， ， ． 在和中, ， ， ． 【小问2详解】 由（1）知， ， ， ， ， ∴． 故． 22. 某商店取厂家选购甲、乙两种商品，乙商品每件进价比甲商品每件进价多20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要800元； （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元，该商店准备购进甲、乙两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总利润不少于900元，则甲种商品最多可购进多少件？ 【答案】（1）甲商品进价每件80元，乙商品进价每件100元；（2）甲商品最多购进20件 【解析】 【分析】（1）设甲种商品每件进价是x元，乙种商品每件进价是y元，根据“乙商品每件进价比甲商品每件进价多20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要800元”列出方程组解答即可； （2）设购进甲种商品a件，则乙种商品（40﹣a）件，根据“全部售出后总利润（利润＝售价﹣进价）不少于900元”列出不等式解答即可． 【详解】解：（1）设甲商品进价每件x元，乙商品进价每件y元， 解得， 答：甲商品进价每件80元，乙商品进价每件100元． （2）设甲商品购进a件，则乙商品购进（40﹣a）件 a（100﹣80）+（40﹣a）（125﹣100）≥900 ∴a≤20， ∵a为整数， ∴a最多为20． 答：甲商品最多购进20件． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式． 23. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形； (2)由平行四边形的性质和矩形的性质得， 推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 24. 若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点． （1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值． （3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 【答案】（1）点的坐标为：，或； （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）联立与并整理得：，即可求解； （2）由题意得，解得，而，故，则，故，是整数，故； （3）①当时，即，，函数取得最小值，即，即可求解；②当，即，函数在处取得最小值，即，即可求解； ③当时，函数在处，取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）与存在“共享函数”，理由如下： 联立与并整理得： ， 解得：或， 故点的坐标为：，或； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得： ， 解得：， ， ， 解得：； ， ， 整数， ； 【小问3详解】 解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为， 函数对称轴为：； ①当时，即， ，函数取得最小值，即， 解得或（舍去）； ②当，即， 函数在处取得最小值，即，无解； ③当时， 函数在处，取得最小值，即， 解得：（舍去， 综上，或4， 故“共享函数”的解析式为或． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键． 25. 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，点是上的动点，交于，连接． （1）问题解决：如图1，若为中点，则________． （2）问题探究：如图2，当时，若四边形的面积为54，求的长． （3）拓展延伸：如图3，作交于点，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，由为中点可得，，通过证明，可以得到，从而求得，最后根据即可得到答案； （2）作交于，根据求出，通过证明，得到，即，，设，则，，通过证明，得到，即， 由，算出，从而得到，最后通过勾股定理计算即可得到答案； （3）分三种情况：①当时，②当 时，③当时，分别讨论进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 为的中点， ，， ， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 作交于，如图所示， ， ，， ， ， ， ，即， ， 设，则，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当时， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，即， ； ②当 时，此时， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， ； ③当时，此时， ， ， ， 为的中点， 设， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、三角形全等额判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握三角形相似的判定与性质、三角形全等额判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，添加恰当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市2024年初中学业水平考试押题卷（三）数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是1000 B. 每个学生是个体 C. 1000名学生是所抽取的一个样本 D. 30000名学生是总体 5. 随着科技的快速发展某种基因芯片的每个探针单元的面积可以达到，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ） A 32° B. 48° C. 58° D. 68° 7. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知正比函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，点A，B，C是上三个点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 六名运动员比赛中国象棋每两人赛一局第一天与各赛了局与各赛了局赛了局而且和和之间都还没赛过那么已赛了多少局（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：__． 12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 13. 某校举行班级歌咏比赛，九（1）班准备从《唱支山歌给党听》、《歌唱祖国》、《我和我的祖国》中随机选择一首参加活动，则正好选中《我和我的祖国》的概率是______． 14. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是_______________m． 15. 如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为______． 16. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 17 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． （1）求旗杆部分的长． （2）求钢丝总长度．（结果保留根号） 20. 某学校为了解全校学生利用课外时间进行体育锻炼的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外锻炼时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题： 锻炼时间（小时） 频数（人） 频率 18 a 45 36 n 21 合计 b 1 （1）填空： ， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）； （3）若该校有3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周课外锻炼时间不足三小时的人数． 21. 如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若＝16,求的长． 22. 某商店取厂家选购甲、乙两种商品，乙商品每件进价比甲商品每件进价多20元，若购进甲商品5件和乙商品4件共需要800元； （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若甲种商品的售价为每件100元，乙种商品的售价为每件125元，该商店准备购进甲、乙两种商品共40件，且这两种商品全部售出后总利润不少于900元，则甲种商品最多可购进多少件？ 23. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 24. 若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点． （1）判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值． （3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 25. 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，点是上的动点，交于，连接． （1）问题解决：如图1，若为中点，则________． （2）问题探究：如图2，当时，若四边形的面积为54，求的长． （3）拓展延伸：如图3，作交于点，当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $