精品解析：黑龙江省牡丹江市第十一中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

十一中学区2024—2025学年度第一学期九年级开学测试数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 有一组数据；1，，4，，3，1，3，3，这组数据的平均数、中位数、众数分别是（ ） A. ，3，3 B. ，2，3 C. ，3，1 D. ，2，1 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②对角线互相垂直的矩形是正方形：③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一个角是的平行四边形是菱形；⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，E是矩形边上的一点，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，连接交于点G．已知，，折痕的长为（ ） A. B. C. D. 7. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 8. 如图，点A、B是以点O为圆心的圆上两个点，若点P沿路线匀速运动，则能反映点P与点O之间的距离y与行驶时间x之间函数关系图象的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是______． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可） 13. 若，则______． 14. 如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 15. 若一个边长为5的菱形沿其中一条对角线折叠后，折痕两边完全重合，得到一个高为4的三角形，则该菱形的另外一条对角线的长为_____． 16. 如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 ________________． 17. 若直线经过点，与x轴交于点A，且，则____ 18. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行． 19. 已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB=5，AC=7，则ED=_____． 20. 在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点A、B，在x轴正半轴上有一点C，在平面内有一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D坐标为_____． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：其中． 22. 如图，矩形的边、的长分别为12、5，延长至点E，，连接并取的中点F，连接、，求的长．（提示：延长交于点G） 23. 某市为了加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛．为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息解答以下问题： 组别 成绩x/分 频数 A组 a B组 8 C组 12 D组 14 （1）一共抽取了______名参赛学生的成绩，表中______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“B”对应的圆心角为_______°； （4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优秀”，该市共有学生40万人，那么估计该市学生中能获得“优秀”的有多少人？ 24. （1）【问题探究】如图①，在正方形中，E、F分别是边、上的动点，且，连接，过点E作，使，连接，．求证：； （2）【类比应用】若其他条件不变，当点E、F分别在、的延长线上时，如图②；当点E、F分别在、的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系； （3）【拓展延伸】在（1）（2）问的条件下，若，，则______． 25. 服装店计划购进某款衣服和裤子进行销售．经了解，用840元购进的衣服数量与用1080元购进的裤子数量相同，已知每件衣服的进价比每件裤子的进价少20元． （1）每件衣服和裤子的进价分别为多少元？ （2）店主决定购进此款衣服和裤子共100件，且衣服的数量不低于39件，若衣服每件的售价为90元，裤子每件的售价为120元，则在全部售出的前提下，该店按哪种方案进货所获利润最大？ （3）用（2）中的最大利润再次购进这款衣服和裤子（衣服和裤子都要购进），在钱全部用尽的情况下，请直接写出一共有几种购买方案． 26. 甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）a的值为_____；甲车的速度为______千米/时； （2）求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； （3）直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十一中学区2024—2025学年度第一学期九年级开学测试数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 有一组数据；1，，4，，3，1，3，3，这组数据的平均数、中位数、众数分别是（ ） A. ，3，3 B. ，2，3 C. ，3，1 D. ，2，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．先求出平均数，再将数据从小到大排列，求出中位数，最后根据出现次数最多的数据，得出众数即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 将这组数据从小到大排列为：，，1，1， 3， 3，3，4， 则这组数据的中位数为， 这组数据中出现了三次，次数最多， 则这组数据的众数为3， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意：要从数与形两个方面来理解这种关系，才能很好地完成本题，体现了数形结合的数学思想． 求不等式的解集，就是求自变量x取哪些值时，一次函数的函数值大于一次函数的函数值，体现在图象上，则是一次函数的图象位于一次函数的图象上方，因此观察图象即可得出不等式的解集． 【详解】解：由于当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，故不等式的解集为． 故选：C． 5. 下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②对角线互相垂直的矩形是正方形：③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一个角是的平行四边形是菱形；⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质等知识点，灵活应用相关判定、性质定理是解答本题的关键． 根据平行四边形，菱形，正方形，矩形的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，正确； ②对角线互相垂直的矩形是正方形，正确； ③邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误； ④有一个角是的平行四边形不一定是菱形，故原说法错误； ⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形， 如图所示：E、F、G、H分别是菱形的各边中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； ∴正确的个数是3． 故选C． 6. 如图，E是矩形边上的一点，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，连接交于点G．已知，，折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出，再在中，由勾股定理求出答案即可． 本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质，掌握翻折的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即 解得： 即 在中，由勾股定理得， 故选：A． 7. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式的定义即可求解． 【详解】方差中“3”是这组数据的平均数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质． 8. 如图，点A、B是以点O为圆心的圆上两个点，若点P沿路线匀速运动，则能反映点P与点O之间的距离y与行驶时间x之间函数关系图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查根据动点问题确定函数图象，根据题中动点的轨迹及速度结合选项中的函数图象求解即可 【详解】解：根据题意得点P沿路线匀速运动， 当在线段上时，点P与点O之间的距离逐渐增大，当在弧上时，点P与点O之间的距离不变，在函数图象上应该平行于x轴的线段，当从点B到点O时，点P与点O之间的距离逐渐减小直到0，由于全程速度不变，所以开始与结束时函数图象上的线段一样， 符合题意得只有选项C， 故选：C 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据图形找出全等三角形是解题关键．根据正方形的性质，证明，得到，可判断①结论；证明，可判断②结论；证明是等腰直角三角形，得到，而与的数量关系无法确定，可判断③④结论；证明，可判断⑤结论． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，①结论正确； 在和中， ， ， ，②结论正确； ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 与的数量关系无法确定， 不成立，③结论错误； ∴不成立， 不成立，④结论错误； ，， ，，， ， ， ， ，⑤结论正确； 正确的个数有3个， 故选：B 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的被开方数大于等于0，得到，根据分式的分母不为0，得到，求解即可． 【详解】解：式子有意义， ，， ，且， 故答案为：且 12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】或 【解析】 【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可． 【详解】解：分别是的中点， ， 当时，四边形DFGE是平行四边形， ， 四边形DFGE是矩形； 当时，四边形DFGE是平行四边形， ， 四边形DFGE是矩形； 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 14. 如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，化空间问题为平面问题是解决空间几何体问题的主要思想．先将图形展开，再根据两点之间线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以把和所在的两个平面展开到一个平面内， 如图1， 根据勾股定理得：； 如图2， 根据勾股定理得：． ． 故沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是． 故答案为：． 15. 若一个边长为5的菱形沿其中一条对角线折叠后，折痕两边完全重合，得到一个高为4的三角形，则该菱形的另外一条对角线的长为_____． 【答案】或或8 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的性质及勾股定理解三角形，根据题意，分三种情况分析，分别作出相应图形，然后利用菱形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：根据题意得， 沿着对角线折叠，与重合， 此时， ∴， ∴另外一条对角线的长为8； 如果沿着对角线折叠，与重合， 此时， ∴， ∴另外一条对角线的长为8； 沿着对角线折叠，与重合， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴另外一条对角线的长为； 沿着对角线折叠，与重合， 如图所示：此时， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴另外一条对角线的长为； 综上可得：另外一条对角线的长为或或8， 故答案为：或或8． 16. 如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 ________________． 【答案】5﹣3 【解析】 【分析】设△COD的面积为x，根据平行四边形的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ▱ABCD的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD， 设△COD的面积为x， ∵▱ABCD的面积＝2（5+x）＝2（S阴影△BOD+x+3）， ∴阴影部分△BOD的面积＝5+x﹣x﹣3， ＝5﹣3， 故答案为：5﹣3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17. 若直线经过点，与x轴交于点A，且，则____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ， ∵， ∴由题意得，则， 解得或， ∴或， 把，代入， ，解得； 把，代入， ，解得； 综上，的值为． 故答案为：． 18. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行． 【答案】北偏东50°（或东偏北40°） 【解析】 【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里， ∴， ∴∠APB=90°， ∴， ∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行； 故答案为北偏东50°（或东偏北40°）． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 19. 已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB=5，AC=7，则ED=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE=EF，又因为BD=CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长． 【详解】解：延长BE交AC于F， ∵AE平分∠BAC，BE⊥AE， ∴∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEF=90°， 在△ABE与△AFE中，， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴BE=EF，AB=AF， ∵AB=5， ∴AF=5， ∵AC=7， ∴CF=AC-AF=7-5=2， ∵D为BC中点， ∴BD=CD， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DE=CF=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形． 20. 在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点A、B，在x轴正半轴上有一点C，在平面内有一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与坐标轴交点及菱形的性质，根据题意得出，，然后分两种情况分析：当为边时，当为对角线时，结合题意，分别作出图形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 当为边时， ∵在x轴正半轴上有一点C， ∴只有如下的情况： ， ， ∴， ∴； 当为对角线时， ∵在x轴正半轴上有一点C， ∴只有如下的情况： ∴， ， ∴； 综上可得：点D坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：其中． 【答案】（1） （2）9 （3）， 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式展开，然后计算加减法即可； （3）根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 当时， 原式． 22. 如图，矩形的边、的长分别为12、5，延长至点E，，连接并取的中点F，连接、，求的长．（提示：延长交于点G） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，延长交于点G，根据矩形的性质可证明，得，，进而求得，在中，利用勾股定理求得，再根据直角三角形的性质即可求解．添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：延长交于点G． ∵四边形是矩形， ，，，． ，，． ∵点F是的中点， ． ， ，，即点F是的中点． 又∵， ． 在中，根据勾股定理得， ． 23. 某市为了加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛．为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息解答以下问题： 组别 成绩x/分 频数 A组 a B组 8 C组 12 D组 14 （1）一共抽取了______名参赛学生的成绩，表中______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“B”对应的圆心角为_______°； （4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优秀”，该市共有学生40万人，那么估计该市学生中能获得“优秀”的有多少人？ 【答案】（1）40；6 （2） 解：直方图如图所示： （3）72 （4）26万人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）利用部分频数除以所占百分比得总人数，进而求得的值． （2）根据频数分布表画出条形图即可解决问题． （3）利用圆心角百分比计算即可解决问题． （4）根据总人数乘以优秀人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生成绩有（名）， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：扇形统计图中“B”的圆心角, 故答案为：72； 【小问4详解】 解：成绩在分以上（包括分）的为“优秀”， 学生成绩为“优”的学生人数（万人）． 24. （1）【问题探究】如图①，在正方形中，E、F分别是边、上的动点，且，连接，过点E作，使，连接，．求证：； （2）【类比应用】若其他条件不变，当点E、F分别在、的延长线上时，如图②；当点E、F分别在、的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系； （3）【拓展延伸】在（1）（2）问的条件下，若，，则______． 【答案】 （1）证明：过点作的延长线于点，如图1所示： 则，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ∴ ， 四边形是矩形， ∵， 四边形是正方形， 四边形是正方形， ， ∵ ∴； （2）图②结论：；图③结论：； （3） 【解析】 【分析】（1）构造辅助线后证明，利用对应边相等求证四边形是矩形后，利用等量代换即可求出，则； （2）构造辅助线后证明，利用对应边相等求证四边形是矩形后，利用等量代换即可求出，则；证明，即可证明四边形是平行四边形，即可得出结论． （3）结合（1）的图形，运用勾股定理得出，再运用线段和差关系列式计算，即可作答．结合（2）的图，先由是平行四边形，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）略． （2）图②结论：；过程如下： 过点作的延长线于点，如图2所示： ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是正方形， ∴ ， ， 四边形是正方形， ∵ ∴ 图③结论： 四边形是正方形， ， ∵ ，， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （3）如图1： ∵； ∴在中，， 则， ∴； 如图2： 由（2）得， ∴在中，， 则， ∵， ∴与图中信息矛盾， 故此情况不存在； 如图③： ∵四边形平行四边形， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， 综上：则． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识．本题综合性强，有一定难度，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形． 25. 服装店计划购进某款衣服和裤子进行销售．经了解，用840元购进的衣服数量与用1080元购进的裤子数量相同，已知每件衣服的进价比每件裤子的进价少20元． （1）每件衣服和裤子的进价分别为多少元？ （2）店主决定购进此款衣服和裤子共100件，且衣服的数量不低于39件，若衣服每件的售价为90元，裤子每件的售价为120元，则在全部售出的前提下，该店按哪种方案进货所获利润最大？ （3）用（2）中的最大利润再次购进这款衣服和裤子（衣服和裤子都要购进），在钱全部用尽的情况下，请直接写出一共有几种购买方案． 【答案】（1）衣服每件的进价为70元，裤子每件的进价为90元 （2）购进衣服39件，裤子61件时进货所获利润最大 （3）4种 【解析】 【分析】题目主要考查分式方程、一次函数及二元一次方程的应用，理解题意，列出相应的关系式是解题关键． （1）设每件衣服的进价为x元，则每件裤子的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进衣服m件且，则购进裤子件，所获利为w元，根据题意，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可； （3）根据（2）中结果得出，设再次购进这款衣服和裤子分别为a件和b件，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每件衣服的进价为x元，则每件裤子的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原分式方程的解， ∴元， ∴衣服每件的进价为70元，裤子每件的进价为90元； 【小问2详解】 设购进衣服m件且，则购进裤子件，所获利为w元， 根据题意得：， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，所获的利润最大， ∴， ∴购进衣服39件，裤子61件时进货所获利润最大； 【小问3详解】 由（2）得，当时， ， 设再次购进这款衣服和裤子分别为a件和b件， ∴， 整理得：， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得，一共有4种购买方案． 26. 甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）a的值为_____；甲车的速度为______千米/时； （2）求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； （3）直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 【答案】（1）4.5；60 （2）90千米/小时， （3）小时或小时小时 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的应用及根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象及一次函数的性质进行分类求解是解题关键． （1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，然后利用速度公式计算甲的速度； （2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程求解即可得出乙的速度，可得到，然后利用待定系数法求出线段所表示的y与x的函数关系式即可； （3）求出直线的解析式为，直直线的解析式为，再分段进行分析即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 甲车的速度为：（千米/小时）； 故答案为：；60； 【小问2详解】 设乙开始的速度为v千米/小时， 则， 解得（千米/小时）， ， 则， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得． 所以线段所表示的y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 甲车前40分钟的路程为千米，则， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 所以直线的解析式为， 直线的解析式为， 设甲乙两车中途相遇点为G，由，解得小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇， 当乙车在段时，由，解得，介于小时之间，符合题意； 当乙车在段时，由，解得，介于小时之间，符合题意； 当乙车在段时，由，解得，不介于之间，不符合题意； 当乙车在段时，由，解得，介于之间，符合题意． 所以乙车出发小时或小时或小时，乙与甲车相距15千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $