精品解析：江西省宜春市丰城中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

丰城中学2024-2025上学期初三入学考试试卷 数 学 一、单选题 1. 下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选B． 考点：中心对称图形． 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 任意三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 垂直弦的直线必过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】根据不共线的三点确定一个圆、垂径定理的推论和圆的有关性质分别判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以A选项不正确； 平分（非直径）弦的直径垂直于弦，所以B选项不正确； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，所以C选项正确； 弦的垂直平分线必过圆心，所以D选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论：平分（非直径）弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心．也考查了不共线的三点确定一个圆以及有关圆的性质． 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 4. 一个不透明的袋子中装有20个小球，其中12个红球，8个绿球，这些小球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：不透明的袋子中装有20个小球，其中12个红球、8个绿球， 袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，掌握概率的求解方法是解题的关键． 5. 如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质．先利用折叠的性质得到和所在圆为等圆，再利用圆周角定理得到，所以的度数为，然后计算得到的度数． 【详解】解：∵纸片沿折叠，使与交于点D， ∴和所在圆为等圆， ∵和所对的圆周角都是， ∴， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：B． 6. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值． 【详解】解：根据题意知， 点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为：， N点坐标为，则M点坐标为， 点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：， N点坐标为，则M点的坐标为， 点M的横坐标的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变． 二、填空题 7. 如图，中，，，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为 _________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60. 8. 如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为_______． 【答案】45 【解析】 【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解． 【详解】解：连接OC，OD， ∵直径AB=30， ∴OC=OD=， ∴CD∥AB， ∴S△ACD=S△OCD， ∵长为6π， ∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=， 故答案为：45π． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键． 9. 点A在函数的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥轴于点B，则△ABO的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以得出，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，然后变形求出(AB+OB)²，由此即可得出AB+OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：如图所示：当x>0时， ∵点A在函数y=(x>0)的图象上， ∴设点A的坐标为(n,)(n>0) 在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=4， ∴， 又∵AB⋅OB=⋅n=4， ∴(AB+OB)²=AB²+OB²+2AB⋅OB=4²+2×4=24， ∴AB+OB=2或AB+OB=−2(舍去) ∴=AB+OB+OA=2+4， 同理当x<0时，得出=2+4， 故答案为：2+4． 【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形周长问题，理解题意，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 10. RtABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则其内心和外心之间的距离是__． 【答案】cm 【解析】 【分析】根据内心域外心的位置，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝10cm， ∴AM为外接圆半径． 设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∠C＝90°， ∵OD⊥CD，OE⊥CE， ∴四边形OECD是正方形， ∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r， 即8﹣r+6﹣r＝10， 解得r＝2cm， ∴AN＝4cm； 在Rt△OMN中， MN＝AM﹣AN＝1cm，ON=2cm OM＝（cm）． 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了直角三角形的外心与内心概念及内切圆的性质，正方形判定与性质，勾股定理切线长性质，正确得出外心与内心的位置是解题关键． 11. 如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有______.（只需填写结论序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．由抛物线的开口方向以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ①，错误； ②∵的图象经过点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∴，正确； ③由图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个相异的实数根，正确； ④∵函数的最大值为， ∴，即，正确． 故答案为：②③④． 12. 若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____． 【答案】-2或-1或0或1 【解析】 【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1， 此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况： 当抛物线经过原点时，y==0，即m=0， 此时=x(x-2)， 则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)； 当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0， 解得：m=-2或1． 综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点， 故答案为：-2或-1或0或1． 【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． 三、解答题 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形； （2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留） 【答案】（1）如图；（2）线段BC旋转过程中所扫过得面积. 【解析】 【分析】(1)关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据对称法则得出各点的对应点，然后得出三角形； (2)根据旋转图形的性质得出各点的对应点，然后顺次连接，得到三角形.首先得出半径和旋转的角度，然后根据扇形的面积计算法则得出答案. 【详解】(1)如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2， 线段BC旋转过程中所扫过得面积S=． 考点：(1)旋转图形的性质；(2)轴对称图形的性质；(3)扇形的面积计算. 14. 将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是______； （2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，再找到抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵3张卡片中名称为A的只有1张， ∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是； 【小问2详解】 由题意可列表格如下： 第一次 第二次 A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种， ∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为． 【点睛】本题考查简单的概率计算，列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键． 15. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】（1）两次下降的百分率为10% （2）每件商品应降价2.5元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可． （2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x． ， 即：， x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）， 答：两次下降的百分率为10%； 【小问2详解】 解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元， 由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510， 化简得：， 解得：，， ∵有利于减少库存， ∴y＝2.5． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 16. 如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6． （1）求∠OAD的度数； （2）求DE的长． 【答案】（1）60°；（2）+3． 【解析】 【分析】（1）连接OD．证明△AOD是等边三角形即可解决问题． （2）连接OC，CF，EC．证明△CFD是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）连接OD． ∵DC⊥OA，AM＝MO， ∴DA＝DO， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠OAD＝60°． （2）连接OC，CF，EC． ∵OA⊥CD， ∴弧AC＝弧AD，CM＝DM， ∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD， ∵∠CDE＝45°， ∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3， ∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°， ∴EF＝CF＝， ∴DE＝EF+DF＝+3． 【点睛】本题考查等边三角形和等腰三角形．掌握等边三角形和等腰三角形的证明方法是解题的关键． 17. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2）12． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式； （2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积； 【详解】解：（1）∵，在函数的图象上， ∴m=5， ∴A(-2，5)， 把A(-2，5)代入得：， ∴b=4， ∴一次函数的表达式为：， ∵在函数的图象上， ∴n=2， ∴， 把代入得：2=，∴k=8， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：， ∴当x=0时，y=4， ∴点C（0，4），即OC=4， ∵A(-2，5)，， ∴=×4×2+×4×4=12； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键． 18. 如图，用一根长是的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边长为，它的面积为． （1）写出y与x之间的关系式； （2）怎样围，得到的长方形的面积最大？最大是多少？ 【答案】（1） （2）当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据长方形周长公式表示出另一边长，再根据长方形面积公式求出对应的关系式即可； （2）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的另一边长为， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，y最大，最大值为25， ∴此时， ∴当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为． 19. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析． 抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）： 说明：；；；； 抽取八年级参赛学生的成绩等级为“”的分数为： ，，，，，，，，，，，，，，， 抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 ________ 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）八年级这名学生成绩的中位数是________； （3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； （4）该校七年级有名学生，八年级有名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？ 【答案】（1） 补充完整后的条形统计图如下所示： （2）； （3）七； （4）估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、利用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）先计算出七年级等级人数，再补全条形统计图； （）根据中位数定义，将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，第位和第位的平均数即为中位数； （）比较两个年级的中位数，即可求解； （）利用样本估计总体思想求解． 【小问1详解】 解：解：七年级等级人数为：（人），七年级等级人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，，，，，，，，，，，，，，，， 结合条形统计图和八年级等级分数情况可知，第位和第位分别为，， 因此八年级这名学生成绩的中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵七年级的中位数为，八年级的中位数为， ∴同样是分的情况下，在七年级的排名更靠前， ∴小明是七年级的学生， 故答案为：七； 【小问4详解】 解：解：（人）， 答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有人． 20. 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z（单位：元） … 20 25 30 … 销量（单位：件） … 100 80 60 … 其中x，z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． （1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是_____________；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是________________； （2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格． 【答案】（1）， （2）乙种玩具的总利润是元 （3）34 【解析】 【分析】（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，即可解答； ②根据利润=售价-进价得乙种玩具的利润为，根据甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍得甲种玩具的利润为，再根据售价=利润+进价，即可解答； （2）根据题意可方程，解得x，再将x代入，即可解答； （3）由题意得，甲玩具的总利润： 乙玩具的总利润：，总利润为，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知最大值为对称轴顶点，即可解答． 【小问1详解】 解：①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是， 将图表中数据代入计算，， 解得：， 乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是： ②利润售价进价得，乙种玩具的利润为， ∵甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍 ∴甲种玩具的利润为， ∴甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是． 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得：， 将代入，可得， 因此，乙种玩具的总利润是（元）． 【小问3详解】 解：甲玩具的总利润： ， 乙玩具的总利润：， ∵， ∴ ， 设这两种玩具每天销售的总利润为元， 则 ， ∵x，z均为非负整数， 又∵， ∴x必须取非负偶数， ∵， ∴当时，总利润之和w最大， 此时甲种玩具每件的销售单价为34元． 【点睛】本题主要考查了二次函数应用，求出一次函数解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程或函数关系式，准确计算． 21. 如图，在中，，以为直径的经过的中点． （1）求证：是的切线； （2）取的中点，连接，延长交于点，若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接AD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径， ∴AD⊥BC， ∵D是BC的中点， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°−45°−45°＝90°， ∴AC⊥OA， ∴AC是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AC，则∠B＝∠C＝45°，求得∠BAC＝90°，即可得出结论； （2）作EH⊥OF交AF于H，则EH是⊙O的切线，先由垂径定理得OE⊥AD，AG＝DG，再证出△EFH是等腰直角三角形，得EH＝EF＝，则FH＝EF＝2，然后由切线长定理得AH＝EH＝，则AF＝AH＋FH＝＋2，最后由等腰直角三角形的性质得OA＝AF＝＋2即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示： 则EH是⊙O的切线， ∵E是的中点， ∴OE⊥AD，AG＝DG， ∵AD⊥BC， ∴OF∥BC， ∴∠EFH＝∠C＝45°， ∵EH⊥OF， ∴△EFH是等腰直角三角形， ∴EH＝EF＝，FH＝EF＝2， ∵AC是⊙O的切线， ∴AH＝EH＝， ∴AF＝AH＋FH＝＋2， 由（1）得：∠BAC＝90°， ∴△AOF是等腰直角三角形， ∴OA＝AF＝＋2， 即⊙O的半径为＋2． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 22. 已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长； ②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______； （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值． 【答案】（1）①；②相等；（2）；（3），． 【解析】 【分析】（1）①过点作轴于，由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数得出的值，然后得出的值；②因为抛物线与的形状相同，所以抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等； （2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点的坐标，得出的值；根据最大值得出，根据抛物线的完美三角形的斜边长为得出点的坐标，然后代入抛物线求出和的值． （3）根据的最大值为－1，得到化简得，抛物线的“完美三角形”斜边长为，所以抛物线的“完美三角形”斜边长为，得出点坐标，代入可得关系式，即可求出、的值． 【详解】（1）①过点作轴于， ∵△AMB为等腰直角三角形， ∴∠ABM=45°， ∵AB∥x轴， ∴∠BMN=∠ABM=45°， ∴∠MBN=90°-45°=45°， ∴∠BMN=∠MBN， ∴MN=BN， 设点坐标为，代入抛物线，得， ∴，（舍去）， ∴MN=BN=1， ∴ ∴ 在Rt△AMB中， ∴抛物线的“完美三角形的斜边 ②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同， ∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等； 故答案为：相等． （2）∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为4， ∴点坐标为或，∴． （3）∵的最大值为－1， ∴， ∴， ∵抛物线的“完美三角形”斜边长为， 抛物线的“完美三角形”斜边长为， ∴点坐标为， ∴代入抛物线，得， ∵n＞0 ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 23. 在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换． 【问题提出】 （1）如图①，在中，点D为斜边AB上的一点，，，且四边形是正方形，小明运用图形旋转的方法，将绕点D逆时针旋转，得到（如图②所示），请你写出阴影部分的面积： ； 【问题探究】 （2）如图③，在四边形中，，，，，过点A作，垂足为E，求AE的长； 【问题解决】 （3）如图④，在四边形中，，，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接AE．若，，求的面积． 【答案】（1）1；（2）4；（3）2. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，由旋转得，，，可证明，则，于是得到问题的答案； （2）作交CD的延长线于点H，可证明，得，再证明四边形是正方形，得，所以，则，所以； （3）作于点K，交AB的延长线于点L，因为，，所以，则四边形是矩形，得，，所以，由旋转得，，则，可证明，得，求得． 【详解】解：（1）如图①、图②， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴A、E、G三点在同一条直线上， ∵， ∴， 故答案为：1． （2）如图③，作交CD的延长线于点H， ∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴AE的长是4． （3）如图④，作于点K，则， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是2． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、同角的余角相等、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025上学期初三入学考试试卷 数 学 一、单选题 1. 下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 任意三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 垂直弦的直线必过圆心 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中装有20个小球，其中12个红球，8个绿球，这些小球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 7. 如图，中，，，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为 _________°． 8. 如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为_______． 9. 点A在函数的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥轴于点B，则△ABO的周长为_______． 10. RtABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则其内心和外心之间的距离是__． 11. 如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有______.（只需填写结论序号） 12. 若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____． 三、解答题 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形； （2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留） 14. 将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是______； （2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率． 15. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ 16. 如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6． （1）求∠OAD的度数； （2）求DE的长． 17. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 18. 如图，用一根长是的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边长为，它的面积为． （1）写出y与x之间的关系式； （2）怎样围，得到的长方形的面积最大？最大是多少？ 19. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析． 抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）： 说明：；；；； 抽取八年级参赛学生的成绩等级为“”的分数为： ，，，，，，，，，，，，，，， 抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 ________ 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）八年级这名学生成绩的中位数是________； （3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； （4）该校七年级有名学生，八年级有名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？ 20. 已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元.经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z（单位：元） … 20 25 30 … 销量（单位：件） … 100 80 60 … 其中x，z均为非负整数.商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． （1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是_____________；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是________________； （2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格． 21. 如图，在中，，以为直径的经过的中点． （1）求证：是的切线； （2）取的中点，连接，延长交于点，若，求的半径． 22. 已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长； ②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______； （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值． 23. 在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换． 【问题提出】 （1）如图①，在中，点D为斜边AB上的一点，，，且四边形是正方形，小明运用图形旋转的方法，将绕点D逆时针旋转，得到（如图②所示），请你写出阴影部分的面积： ； 【问题探究】 （2）如图③，在四边形中，，，，，过点A作，垂足为E，求AE的长； 【问题解决】 （3）如图④，在四边形中，，，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BE，连接AE．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $