精品解析：安徽省安庆市潜山市官庄镇中心学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

九年级开学监测 数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正十边形 3. 第33届夏季奥林匹克运动会（即2024年巴黎奥运会）将于2024年7月26日开幕．下表是中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的统计结果（单位：块）： 1996亚特兰大 2000悉尼 2004雅典 2008北京 2012伦敦 2016里约 2020东京 16 28 32 48 39 27 38 那么中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是（ ） A. 48块 B. 38块 C. 28块 D. 32块 4. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 6. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（ ） A. 10 B. C. 14 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 若是一组勾股数，则的值为__________． 13. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为________． 14. 如图，在菱形中，，分别垂直，于点E，F，，相交于点G，连接，．解决下列问题： （1）若，则________； （2）若，则________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，中，、是的两条高，点、分别是、的中点．求证：． 18. 已知 ，．求： （1）的值； （2）的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 六、（本题满分12分） 21. “感受数学魅力，提升数学素养”，某学校在其举办的数学文化节上开展趣味数学知识竞赛，从九年级（1）班和（2）班两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 通过数据分析，得到如下统计表与统计图： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 93 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述a、b、c的值：________，________，________； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 七、（本题满分12分） 22. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 八、（本题满分14分） 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级开学监测 数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意∶满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解∶A、，所以不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，所以不是最简二次根式，不符合题意； D、，所以不是最简二次根式，不符合题意； 故选∶ B． 2. 下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正十边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了几何图形镶嵌成平面． 根据“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌”，即可作出判断 【详解】解：A、正三角形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意； B、正方形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意； C、正六边形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意； D、正十边形的一个内角度数为，不是的约数，不能镶嵌平面，符合题意． 故选：D． 3. 第33届夏季奥林匹克运动会（即2024年巴黎奥运会）将于2024年7月26日开幕．下表是中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的统计结果（单位：块）： 1996亚特兰大 2000悉尼 2004雅典 2008北京 2012伦敦 2016里约 2020东京 16 28 32 48 39 27 38 那么中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是（ ） A. 48块 B. 38块 C. 28块 D. 32块 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，熟知中位数的定义是关键． 将中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量按从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义解题即可； 【详解】解：中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量按从小到大的顺序排列如下：， 根据中位数的定义可知：这组数据的中位数为32， 故选：D． 4. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故不符合题意； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 故不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的菱形既是菱形又是矩形， 对角线相等的菱形是正方形， 故符合题意； 平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形， 故不符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键． 6. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的应用，先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可，解题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：． 7. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键． 根据任何多边形的外角和都是，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和． 【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为：， ∴该正多边形的内角和为：． 故选：A． 8. 一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，，再把代入即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，而， ∴， 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的含义，因式分解的应用，熟记方程有两个相等的实数根时，则是解本题的关键． 9. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用角平分线性质和平行线性质，得到，利用等腰三角形性质，证明四边形为菱形，从而得到，利用勾股定理得到，进而得到，进而利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，角平分线性质，菱形的判定和性质，平行线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10. 如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（ ） A. 10 B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等及勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，建立一线三等角的全等模型． 添加垂直辅助线，通过证明三角形全等将已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理得解． 【详解】解：如图，过C作于点M，过A作于点N， 则，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形对角线的长． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 12. 若是一组勾股数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，分 为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 【详解】解：当为直角边时，，不是正整数，不符合题意， 当为斜边时，，是正整数，符合题意， 综上，若是一组勾股数，则的值为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ， 故答案为：3． 14. 如图，在菱形中，，分别垂直，于点E，F，，相交于点G，连接，．解决下列问题： （1）若，则________； （2）若，则________． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据四边形内角和定理即可解决问题； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，是等边三角形，得出是的垂直平分线，设与交于点H，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）分别垂直于点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）在菱形中，， ， ， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∵，， 分别是，的平分线， ∴， ， 是的垂直平分线． 如图，设与交于点H， , ∴， ，， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，中，、是的两条高，点、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线问题，关键是根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用解答．连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论． 【详解】证明：连接、． 是的高，为的中点， 在中，，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半） 同理可得， ， 是的中点，（等腰三角形三线合一） ． 18. 已知 ，．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解决本题的关键是要根据因式分解和完全平方公式对代数式进行变形． （1）先将代数式进行因式分解，然后再分别计算两个数的和，两个数的乘积，最后代入分解后的代数式即可求解； （2）先将分式通分，然后根据完全平方公式变形，再将两个数的和，两个数的乘积代入变形后的代数式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和等角对等边是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义和平行四边形的性质证得，进而得到，然后利用勾股定理的逆定理可得结论； （2）由平行四边形的性质和平行线的性质得到，，在中用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 六、（本题满分12分） 21. “感受数学魅力，提升数学素养”，某学校在其举办的数学文化节上开展趣味数学知识竞赛，从九年级（1）班和（2）班两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 通过数据分析，得到如下统计表与统计图： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 93 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述a、b、c的值：________，________，________； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）40，94，96 （2）九年级（2）班， 理由： 两个班平均数相同，九年级（2）班的方差小于九年级（1）班的方差， 九年级（2）班成绩更平衡，更稳定； 故会选派九年级（2）班； （3）65人 【解析】 【分析】本题考查数据统计图、中位数、众数、平均数计算，样本估计总体；从统计图中获取信息是解题的关键． （1）用1减去九（1）班A、B、D的占比即可求出a；根据中位数和众数的定义即可求出b、c； （2）两个班级平均数相同，而九年级（2）班的方差小于九年级（1）班，据此可得结论； （3）用100乘以样本中成绩优秀的学生人数占比，再求和即可得到答案． 【小问1详解】 九年级（2）班C组占的百分比为， ， ， 九年级（1）班10名学生测试成绩中，第5和第6位置的数是92和96， ， 九年级（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多， 众数； 故答案为：40，94，96； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 九年级（1）班10名学生测试成绩中的有92，96，96，98，99，100共6人， 九年级（1）班10名学生测试成绩中的有人， （人）， 答：估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是65人． 七、（本题满分12分） 22. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 八、（本题满分14分） 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在边上，，如题干图： 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $