精品解析：沪科版2022-2023学年九年级数学上册期末检测

沪科版数学九年级上学期期末检测 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列式子中，y是x的二次函数的是( ) A. y＝2x－ 1 B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝3x2 D. y＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的概念直接进行排查选项即可． 【详解】A、y＝2x－ 1是一次函数不是二次函数，故不符合题意； B、根据二次函数的定义可得当a=0时，y=ax2+bx+c则不是二次函数；故不符合题意； C、y＝3x2根据二次函数的定义是二次函数，故符合题意； D、是反比例函数，不满足二次函数的定义，故不符合题意； 故选择：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2. 对于二次函数，下列说法，不正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象是轴对称图形 D. 当时，有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利用二次函数的对称轴可判断C，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D． 【详解】解：A、∵二次函数中，，∴此抛物线开口向下，故本选项正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴，∴当时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、二次函数的图象是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，当时，y有最大值是3，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例. 4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的定义列式计算即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∵BC=h，∠A=α， ∴sinα=， ∴AB=， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键． 6. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴有交点， 且， 且， 故选：A 7. 若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限，可知3-2m＜0，从而可以求得m的取值范围，然后即可解答本题． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴3-2m＜0， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 8. 如图，已知，点是的中点，，则的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴AD=2， ∵， ∴ ∴ ∴AB=， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够根据相似三角形列出比例式是解答本题的关键，难度不大． 9. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到△ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】 易证 即 由题得 解得 的高易得： 故选B 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC的长度 10. 如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分 的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ） A. S=t (0＜t≤3) B. S=t2 (0＜t≤3) C. S=t2 (0＜t≤3) D. S=t2 -1(0＜t≤3) 【答案】B 【解析】 【分析】由AB、OB的长度求出点A、点B的坐标，进而求出OA所在直线的解析式，令x=t，求出y，确定t的范围，利用三角形面积公式表示出S即可. 【详解】∵AB=OB=3， ∴A（3，3）， ∴OA所在直线解析式为y=x， 当0＜t≤3时，令x=t，则y=t， ∴S=t2（0＜t≤3）. 故选B. 【点睛】本题为一次函数与几何综合题，主要考查一次函数解析式的求解. 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 如果锐角满足，则的大小是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值即可直接得出答案． 详解】解：锐角满足， 锐角， 故答案为：． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为_______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数的性质和图象中的数据，可以得到该函数与x轴的两个交点的坐标，从而可以写出一元二次方程的解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， 由图象可知：二次函数与x轴的一个交点为， ∴该函数与x轴的另一个交点为， ∴当时，对应的x的值为或1， 故答案为：． 13. 如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据相似三角形的性质结合，可求得的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 14. 如图，矩形中，，，点为对角线上一个动点，过点作交于． （1）当时，的长为__________； （2）长的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接AF交BD于点G，首先证明出，然后得到AF是BE的垂直平分线，得到，然后证明出，最后根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据题意得到当点F与点B重合时，EF长最小，根据勾股定理求出BD的长度，然后证明出，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接AF交BD于点G， ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴AF是BE的垂直平分线 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （2）如图，过点E作MN⊥BC，则MN⊥AD， ∵∠AEF=∠AME=∠FNE=90°， ∴∠FEN+∠AEM=∠MAE+∠AEM=90°， ∴∠FEN=∠MAE， ∴， ∴， ∵tan∠DBC=， ∴ ∵ ∴， ∴当最小时，EF长最小 ∴当点F与点B重合时，EF长最小， 在矩形ABCD中 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： 【答案】-3 【解析】 【分析】根据，，，即可求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握零次幂，负指数幂，绝对值，三角函数值的运算法则是解题的关键． 16. 已知函数 （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 【答案】（1）当时，是的一次函数； （2）当时，是的二次函数． 【解析】 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）根据二次函数的定义解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数，掌握一次函数和二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴当时，是的一次函数； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴当时，是的二次函数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标 （2）求A，B两点的坐标，并根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）在在中，求出当时x的值，再结合函数图象求出当时，自变量x的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，解得或， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴由函数图象可知，当时，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式之间的关系等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 18. 已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标； （2）△A1B1C与△ABC的面积比为　　． 【答案】（1）见解析，A1的坐标为（﹣3，0）；（2）4：1 【解析】 【分析】（1）延长CA到A1使AA1＝CA，延长CB到B1使BB1＝CB，从而得到△A1B1C；然后写出点A1的坐标； （2）根据面积的比等于位似比的平方求解． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(﹣3，0)； （2））∵△A1B1C与△ABC的位似比为2：1， ∴△A1B1C与△ABC的面积比为4：1． 故答案为4：1． 【点睛】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 19. 如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD中点，AE与BC交于点F． （1）求：∠CBD的正切； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数求出，再利用勾股定理求得，然后求出CD的长，再由进行求解即可； （2）过点F作交AD于H，从而可得△CHF∽△CDE，△AHF∽△ADE，，则，，，设，则，，则可推出，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠D=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点F作交AD于H， ∴∠FHC=∠EDC=90°，∠HFC=∠DBC， ∴△CHF∽△CDE，△AHF∽△ADE，， ∴，，， 设，则，， ∵E是BD的中点， ∴， ∴ ∴解得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形函数，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握三角函数的相关知识． 20. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？” 大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位) 【答案】由的高约为丈. 【解析】 【分析】由题意得里，尺，尺，里，过点作于点，交于点，得 尺，里，里，根据相似三角形的性质即可求出. 【详解】解：由题意得里，尺，尺，里. 如图，过点作于点，交于点. 则尺，里，里， ， ∴ △ ECH∽ △ EAG， ， 丈，丈. 答：由的高约为丈. 【点睛】此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键. 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图像与反比例函数y=（k2≠0）的图像相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积． 【答案】（1）y＝x+1； （2）△AOD的面积为10 【解析】 【分析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求出值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式； (2)利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可． 小问1详解】 ∵反比例函数图像与一次函数图像相交于点A（3，4），B（﹣4，m）， ， 解得k2＝12， ∴反比例函数解析式为， ， 解得m＝﹣3， ∴点B的坐标为（﹣4，﹣3）， ， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+1． 【小问2详解】 ∵A（3，4）， ， ∴OA＝OD， ∴OD＝5， △的面积×5×4=10． 【点睛】本题是反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键． 22. 某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元． （1）求该种商品每件的进价为多少元； （2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）40元；（2）售价为57或58元时，最大利润为6120元 【解析】 【分析】（1）设成本为m元，根据题意得：80×0.8-m=0.6m，即可解答； （2）根据题意得到y=（80×0.8-x-40）（220+20x）=-20x2+260x+5280=-20（x-6.5）2+6125，利用二次函数性质，即可解答； 【详解】解：（1）设成本为m元，根据题意得： 80×0.8-m=0.6m 解得：m=40， ∴该种商品每件的进价为40元； （2）y=（80×0.8-x-40）（220+20x）=-20x2+260x+5280=-20（x-6.5）2+6125， ∴当x=6.5时，y最大， ∵x为整数， ∴x1=7，x2=6， ∴当x=6或7时，y最大为6120元． 80×0.8-7=57（元），80×0.8-6=58（元）， ∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大最大值为6120元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式． 23. 如图，正方形ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F， （1）求证：△ABF∽△ACE； （2）求tan∠BAE的值； （3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝﹣1；（3）PE+PF的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可； （2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题； （3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长； 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°， ∴△ABF∽△ACE． （2）解：如图1中，作EH⊥AC于H． ∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB， ∴BE＝EB， ∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝∠HEC＝45°， ∴HC＝EH， ∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC＝x， ∵BC＝+1， ∴x+x＝+1， ∴x＝1， 在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°， ∴tan∠EAB＝﹣1． （3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小． 作EM⊥BD于M．BM＝EM＝， ∵AC＝＝2+， ∴OA＝OC＝OB＝AC＝ ， ∴OH＝OF＝OA•tan∠OAF＝OA•tan∠EAB＝ •（﹣1）＝， ∴HM＝OH+OM＝， 在Rt△EHM中，EH＝ ＝．． ∴PE+PF的最小值为．． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沪科版数学九年级上学期期末检测 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列式子中，y是x的二次函数的是( ) A. y＝2x－ 1 B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝3x2 D. y＝ 2. 对于二次函数，下列说法，不正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象是轴对称图形 D. 当时，有最大值 3. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A B. C. D. 4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A 且 B. 且 C. D. 7. 若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 8. 如图，已知，点是的中点，，则的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 9. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分 的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ） A. S=t (0＜t≤3) B. S=t2 (0＜t≤3) C. S=t2 (0＜t≤3) D. S=t2 -1(0＜t≤3) 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 如果锐角满足，则的大小是______． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为_______． 13. 如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 __________． 14. 如图，矩形中，，，点为对角线上一个动点，过点作交于． （1）当时，的长为__________； （2）长的最小值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： 16. 已知函数 （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的二次函数？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标 （2）求A，B两点的坐标，并根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 18. 已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标； （2）△A1B1C与△ABC的面积比为　　． 19. 如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F． （1）求：∠CBD的正切； （2）求的值． 20. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？” 大意如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距里，树高丈尺，人站在离树里的处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地尺，问山AB的高约为多少丈？(丈尺，结果精确到个位) 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图像与反比例函数y=（k2≠0）的图像相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积． 22. 某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元． （1）求该种商品每件进价为多少元； （2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，正方形ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F， （1）求证：△ABF∽△ACE； （2）求tan∠BAE的值； （3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$