精品解析：安徽省马鞍山市第八中学2021—2022学年 九年级上学期期末数学试题

马鞍山八中2021-2022学年度第一学期期末素质测试 九年级数学试题 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若＝，则下列各式不正确是（　　） A. B. ＝4 C. ＝ D. ＝﹣ 3. 下列抛物线中，与轴无公共点是（ ） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的3倍，则关于锐角A的正切值，下列说法正确的是（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 以上说法都不对 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. y=(x+1)2-3 B. y=(x+1)2-1 C. y=(x-3)2-1 D. y=(x-3)2-3 6. 如图，在中，点E在CD上，AE交BD于点F，若，则值是（ ）．     A. B. C. D. 7. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ） A. △ABC与△ADE B. △ABD与△AEC C. △ABE与△ACD D. △AEC与△ADC 9. 如图，平行于轴的直线分别交与的图象于点、，点是轴上的动点，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 二次函数的图象经过原点，则a的值为________． 12. 如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．若，，则的长为________． 13. 如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是_____． 14. 二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________． 三、（本大题共2题，每小题8分，共16分） 15. 已知抛物线经过点A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3），求抛物线的解析式． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和． （1）把先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到； （2）以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 四、（本大题共2题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求AB的长． 18. 已知直线过点，点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q． （1）求k的值； （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； （3）若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 五、（本大题共2题，每小题10分，共20分） 19. 某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 20. 已知抛物线，点在抛物线上． （1）求n与m之间的关系式； （2）若当时，抛物线有最小值，求n与m的值． 六、（本题满分12分） 21. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． （1）求的长； （2）若，在上述条件和结论下，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/包） 50 60 80 周销售量y（包） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）①这种口罩的进价是________元/包； ②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润． （2）由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包，物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． （1）如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； （2）如图2，连接，若，平分，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 马鞍山八中2021-2022学年度第一学期期末素质测试 九年级数学试题 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点知，顶点坐标为． 故选：D． 2. 若＝，则下列各式不正确的是（　　） A. B. ＝4 C. ＝ D. ＝﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】设x＝3k，y＝4k，再把x＝3k，y＝4k代入每个分式，再根据分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：设x＝3k，y＝4k， A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质和分式的运算法则，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 3. 下列抛物线中，与轴无公共点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点个数与系数的关系：当Δ＝b2﹣4ac＜0时，无交点”求解即可． 【详解】解：A、Δ＝b2﹣4ac＝0+4＝4＞0，该抛物线与x轴有2个交点，不符合题意； B、△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，该抛物线与x轴有1个交点，不符合题意； C、△＝b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，该抛物线与x轴有2个交点，不符合题意； D、△＝b2﹣4ac＝4﹣8＝﹣4＜0，该抛物线与x轴没有交点，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点个数与系数的关系，解题关键是明确Δ＝b2﹣4ac的值与交点个数的关系． 4. 在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的3倍，则关于锐角A的正切值，下列说法正确的是（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出，设，，，可求出，扩大后三边长分别是：3b，3a，3c，再计算，比较即可． 【详解】解：如图所示：中，， 设，，， 则扩大后三边长分别是：3b，3a，3c， ， 扩大后：， 即如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值没有变化， 故选：C． 【点睛】题目主要考查锐角函数中的正切函数，理解题意，作出图形，设出边长是解题关键． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. y=(x+1)2-3 B. y=(x+1)2-1 C. y=(x-3)2-1 D. y=(x-3)2-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先将抛物线解析式的一般式化为顶点式，然后根据图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可得． 【详解】解：抛物线可化简为， 先向下平移1个单位长度可得：， 再向左平移2个单位长度可得：， 所得抛物线的解析式为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的平移变换的方法及一般式化为顶点式，理解函数图象平移变换的方法是解题关键． 6. 如图，在中，点E在CD上，AE交BD于点F，若，则的值是（ ）．     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据DE=2CE可得出DE=CD，再由平行四边形的性质得出CD=AB，从而由，即可得出答案． 【详解】解：∵DE=2CE， ∴DE=CD， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∴， ∵AB∥DE， ∴△DFE∽△BFA， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形性质及相似三角形判定与性质，解答本题的关键是根据DE=2CE得出的值，难度中等． 7. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 8. 将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ） A. △ABC与△ADE B. △ABD与△AEC C. △ABE与△ACD D. △AEC与△ADC 【答案】C 【解析】 【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似． 【详解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似； B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似； D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似； C.是等腰直角三角形，则 设，则， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，平行于轴的直线分别交与的图象于点、，点是轴上的动点，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】AB的长是两个函数当自变量为x时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵AB∥轴，点A与点B分别位于和上， ∴设，， ∴，AB边上的高为x， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，准确表示三角形的底和高是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，故当与垂直平分线垂直时，最小，过点作 于点Q，过点M作于点R，则四边形为矩形，故，，，，设，则，，则，可得，则，故，解得：，则，故， 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 连接，如图所示： ∴，即， ∵， ∴， 连接，如图所示： ∵是线段的中点，， ∴， ∴在线段的垂直平分线上运动， ∴当与线段的垂直平分线垂直时，最小，如图： 过点作 于点Q，过点M作于点R， ∴四边形为矩形， ∴，，， 此时， ∴在中，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 二次函数的图象经过原点，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象经过原点，将原点坐标 代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴ ， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的基本方法是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠FDA， ∴△ABE∽△DFA， ∴， 由题意，AD=BC=4，AB=6， ∵E为BC的中点， ∴BE=2， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键． 13. 如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图以O为圆心，1为半径作⊙O，首先算出∠ABD的正切值，根据圆周角定理可得∠AED=∠ABD，进而得到∠AED的正切值． 【详解】解：如图以O为圆心，1为半径作⊙O， ∵AB=2，AC=1． ∴∠ABD的正切值=， ∵∠AED=∠ABD， ∴∠AED的正切值是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及锐角三角函数，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14. 二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质分类讨论即可； 【详解】∵二次函数，， ∴函数图像开口向下，对称轴， ①当，即时， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，或，不符合题意； ②当时， 时，y随x的增大而增大，x=0时，恒成立，此时都满足题意； 时，，， 即当时，y在随x的增大而增大， ∴x=0时，，符合题意， 则此情况下； ③当时，即，当时，， 当时，， ∵的最小值为1， ∴，， 此时， 综上：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，结合不等式的求解计算是解题的关键． 三、（本大题共2题，每小题8分，共16分） 15. 已知抛物线经过点A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3），求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设交点式解析式，将点C（0，3）代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线经过点A（－3，0）、B（1，0）， 设抛物线解析式为， 将点C（0，3）代入，得-3a=3， 解得a=-1， 抛物线的解析式为． 【点睛】此题考查利用待定系数法求抛物线解析式，根据所给点的坐标设解析式是解题的关键． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和． （1）把先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到； （2）以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据题意确定对应点位置是解题关键． （1）利用平移性质分别作出对应点位置，再连线即可；        （2）直接利用位似图形的性质作出对应点位置，再连线即可． 【小问1详解】 解：如图所示．为所求； 【小问2详解】 解：如图所示．为所求． 四、（本大题共2题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求AB长． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，过点A作于点D，在中，依据特殊角的三角函数可得出，在中，利用角所对直角边是斜边的一半即可得． 【详解】解：∵，， ∴ 过点A作于点D， ∴． 在中， ∵，，， ∴． ∵ ∴ ∴ 在中，，． ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查解直角三角形、三角形内角和定理，理解题意，作出相应辅助线，熟记特殊角的三角函数是解题关键． 18. 已知直线过点，点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q． （1）求k的值； （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； （3）若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例与一次函数的综合，涉及求一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键． （1）由直线过点，代入直线解析式可得，即； （2）由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可； （3）由， ，可求利用三角形面积公式得到，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵P在直线上且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为． ∵点Q在函数的图象上， ∴点Q的横坐标为． ∴点Q的坐标为． 【小问3详解】 解：∵， ， ∴， ， ∵的面积大于3， ∴，即， ∴或 解得：或（舍去）， ∴． 五、（本大题共2题，每小题10分，共20分） 19. 某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 【答案】2.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．延长交于点，构造直角和矩形，设米．通过解直角三角形分别表示出、的长度，根据得到，解得即可求得 进而即可求得． 【详解】解：延长交于点，设米． 由题意得，，， ，， （米），（米）， （米）． 解得， （米）， （米）． 答：测温门顶部处距地面的高度约为2.5米． 20. 已知抛物线，点在抛物线上． （1）求n与m之间的关系式； （2）若当时，抛物线有最小值，求n与m的值． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）把点代入即可解决问题． （2）分三种情形①当，②当，③当，分别列出方程解决问题． 【小问1详解】 解：点在抛物线上 ， 【小问2详解】 解：， ①当时，则， ∵时，， ， ， 不符合题意， ②当时，时，， ， 或． 不符合题意， ， ③当时，时，， ， ． 综上所述：，或，． 六、（本题满分12分） 21. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． （1）求的长； （2）若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论． （2）由，推出，可得结论． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键． 七、（本题满分12分） 22. 疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/包） 50 60 80 周销售量y（包） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）①这种口罩的进价是________元/包； ②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润． （2）由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包，物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 【答案】（1）①40；②关于的函数解析式为；③当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题，还涉及有理数的运算，一次函数的应用，注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值． （1）①该商品进价是； ②依题意设，解方程组即可得到结论； ③设每周获得利润，根据题意构造方程，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得，，把，代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：①该商品进价是； 故答案为：40； ②依题意设， 则有， 解得：， 关于的函数解析式为； ③设每周获得利润 则有， 解得：， ， 当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ，对称轴， 抛物线的开口向下， ， 随的增大而增大， 当时，， 即， 解得：． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． （1）如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为中点，求的长； （2）如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【答案】（1）①证明见解析；②9 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；②由，得到，进而求得；利用，相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）连接，利用三角形的三条角平分线相交于一点，可得是的平分线；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，同理可得：；通过证明可得比例式，则可求，，结论可得． 【小问1详解】 证明：①平分， ． ， ． ． ； ②∵， ． ， ． ， ． 点为的中点， ． ，， ． ． ． ； 【小问2详解】 解：连接，如图， 平分， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分，平分， 平分． ，． ，， ． ， 又， ． ． ， ． 同理可得：． ， ，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$