精品解析：陕西省西安市西光中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

西安市西光中学教育集团 2024-2025学年第一学期初二年级收心考 数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中是随机事件的是（ ） A. 水从高处往低处流动 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 煮熟的种子发芽 D. 星期天下雨 4. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 8. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越低，声速越慢 C. 当温度每升高时，声速增加 D. 当空气温度为时，声音可以传播 9. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 10. 如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，，则点O到边的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如图，图中标示的五个角中，与是同位角的是______． 12. 已知，那么 13. 等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为__________． 14. 某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台，售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为________． 15. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米． 16. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，在中，请用尺规作图法，分别在边，上求作一点，，使为边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由． 22. 一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的2倍多40个，从袋中任取一个球是黑球的概率是． （1）袋中黑球的个数为______个，袋中红球的个数是______个； （2）求从袋中任取一个球是白球的概率． 23. 星期五，小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走．如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小颖家与学校的距离是______米，小颖在文具用品店停留了______分钟； （2）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是______米． （3）买到彩笔后，小颖从文具用品店到家步行的速度是______米分钟． 24. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 25. 小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． （2）如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学教育集团 2024-2025学年第一学期初二年级收心考 数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，利用轴对称图形的概念逐一进行识别即可． 【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此可判断A、B、C都不符合轴对称图形的定义． 故选D． 2. 在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列选项中是随机事件的是（ ） A. 水从高处往低处流动 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 煮熟的种子发芽 D. 星期天下雨 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件．熟练掌握随机事件是解题的关键． 根据随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意知，A中水从高处往低处流动，是必然事件，故不符合要求； B中任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故不符合要求； C中煮熟的种子发芽，是不可能事件，故不符合要求； D中星期天下雨，是随机事件，故符合要求； 故选：D． 4. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，两直线平行，内错角相等．熟练掌握邻补角，两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：C． 5. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是掌握：“满足的三个正整数、、称为勾股数，勾股数即三角形的三边长是满足勾股定理的逆定理，且三边长都是正整数的一组数”．根据勾股数的定义求解即可． 【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意； B、，，，不是勾股数，不符合题意； C、、、，不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意； D、，，，是勾股数，符合题意． 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 8. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越低，声速越慢 C. 当温度每升高时，声速增加 D. 当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，从表格中获取信息，逐一进行分析即可． 【详解】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴说法正确，不符合题意； B．∵根据表中数据，可得温度越低，声速越慢，∴说法正确，不符合题意； C．∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，∴说法正确，不符合题意； D．∵， ∴当空气温度为时，声音可以传播，∴说法错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴． ∵AC为公共边， ∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键． 10. 如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，，则点O到边的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积求法．利用角平分线的性质结合三角形的面积得出答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为，连接， 是、的平分线，， ， ， ， ， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如图，图中标示的五个角中，与是同位角的是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角的概念，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：由图可得，与构成同位角的是， 故答案为：． 12. 已知，那么 【答案】15. 【解析】 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得(ab)n=an×bn；再把已知代入上式进行计算即可. 【详解】∵， ∴(ab)n= an×bn =5×3=15. 【点睛】此题考查积的乘方，解题关键在于把积的每一个因式分别乘方. 13. 等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 14. 某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台，售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，等量关系式：利润销售每台电器的利润销售量，此次即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 15. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形， ∴， ∴大树的高度， 故答案为：18． 16. 如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方以及幂的乘方运算法则，以及同底数幂的乘除法则计算即可求值． 【详解】解： 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 20. 如图，在中，请用尺规作图法，分别在边，上求作一点，，使为边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，根据作垂直平分线的方法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】 解：，理由如下： ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，即可得出结论． 【详解】略 22. 一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的2倍多40个，从袋中任取一个球是黑球的概率是． （1）袋中黑球的个数为______个，袋中红球的个数是______个； （2）求从袋中任取一个球是白球的概率． 【答案】（1）80，200； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据从袋中任取一个球是黑球的概率是，得出黑球的个数，进而利用红球的个数比黑球的2倍多40个，求出答案； （2）利用白球个数除以总数得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球，从袋中任取一个球是黑球的概率是， ∴黑球的个数为：（个）， ∵已知红球的个数比黑球的2倍多40个， ∴80×2+40=200， 故答案为：80，200． 【小问2详解】 解：白球的个数是290−200−80=10（个）． ∴从袋中任取一个球是白球的概率为． 【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键． 23. 星期五，小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走．如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小颖家与学校的距离是______米，小颖在文具用品店停留了______分钟； （2）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是______米． （3）买到彩笔后，小颖从文具用品店到家步行的速度是______米分钟． 【答案】（1）； （2）3400 （3）90 【解析】 【分析】当时间为时，图象纵坐标就是小颖家与学校的距离；根据小颖在文具时纵坐标不变，可得小颖在文具用品店停留的时间； 根据图象列式计算即可； 根据速度路程时间，即可解答． 【小问1详解】 解：小颖家与学校的距离是米，小颖在文具用品店停留了：分钟， 故答案为：；； 【小问2详解】 小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是：米， 故答案为：； 【小问3详解】 买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是：米分， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小颖的运动过程是解题的关键． 24. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件证明，即可得结论． 【详解】略 25. 小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． （2）如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴平分 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可； （2）延长至，使得，连接，先证明，得到，，平行线的性质，得到，等量代换结合等边对等角，得到，再利用等量代换，得到，即可． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $