精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期初检测数学试题

初2025届9月2—3日数学学科暑假消化作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请把答题卡上正确答案的标号涂黑） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A B. C. D. 3. 在反比例函数图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 5. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8之间 7. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n个小三角形，这里的（ ） A. 110 B. 112 C. 114 D. 116 9. 如图，在正方形中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接﹐点G为的中点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：______． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则______． 13. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出的值为______． 14. 一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是_____． 15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数m的值之和为_____． 17. 如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为_____． 18. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤） 19. （1）解不等式组； （2）解方程：． 20 先化简，再求值：，其中． 21. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 22. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 795 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 23. 如图，在四边形中，，连接，，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动到点C停止运动，点Q为中点．设动点P运动时间为x秒，面积为． （1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质； （3）若函数，根据图象直接写出当时x的取值范围． 24. 某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值； （3）在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． （1）如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度： （2）如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； （3）如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接、，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初2025届9月2—3日数学学科暑假消化作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请把答题卡上正确答案的标号涂黑） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据这两个概念进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是中心对称图形，是轴对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意； B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意． 故选：D． 3. 在反比例函数图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查反比例函数图象的性质，根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到，解可得k的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似变换得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：以点为位似中心，且相似比为， ， 的周长为6， 的周长为：， 故选：C． 5. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，利用，从而判定即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键． 7. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选：D． 8. 下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬中共有n个小三角形，这里的（ ） A. 110 B. 112 C. 114 D. 116 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键． 列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律即可得出结论． 【详解】解：设图形中三角形的个数是为正整数）， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接﹐点G为的中点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，先证明，可得出是等腰直角三角形，得出，利用直角三角形的性质求出，再证明，可得，然后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：连接，，令与交于点， 在正方形中，，，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， 故选：A． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， 即：这列数以，，，每三个为一个循环， ， ∴，，故①不正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，故②不正确； 由①②可得、分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时，则，，， ， ， ∴，故③不正确； 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂法则和零指数幂法则进行解题即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将x=2代入，然后求解关于m的方程，再代入求值即可． 详解】把代入，得： ， ∴ ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解是解答本题的关键． 13. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ， 解得， 经检验：是原方程的解， 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 14. 一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．掌握边形的内角和等于、从边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数为， 则， 解得， 从十三边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：， 故答案为：10． 15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数m的值之和为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，先按照不等式组的性质求出不等式的解集，进而确定取值范围；再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值，最后求和即可．解题的关键在于求出取值范围以及求出分式方程的解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即， 解分式方程 方程两边同时乘以，得， 解得：且，即， ∵分式方程的解为非负整数，即：为非负整数，且，， ∴，，3，5， 则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：4． 17. 如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取为的中点，由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，取为的中点， ∵菱形的边长为4，， ∴，，， ∵F为的中点，H为的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______． 【答案】 ①. 1425 ②. 2781 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解． 【详解】解：设为“和方数”， 则 ，，即， 要使得越小，只需，，，越小即可， 当时， 若时，，不符合题意， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时，，则，， 即：最小的“和方数”为1425； ∵“和方数”，则， ∴， 则， ∵能被11整除，即：能被33整除， ∴能被33整除， ∵， ∴， 令，则为33的倍数，，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）； ∴，， ∴，， 则， 当时，取得最大值，此时， 则此时“和方数”等于2781， 故答案为：1425，2781． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤） 19. （1）解不等式组； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为； （2） 方程两边同时乘以得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．先把分式进行化简，再代入进行计算即可． 【详解】解∶ ， 当时，原式． 21. 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： （1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④形成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作的平分线，其中交于即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到根据等角的补角相等可得，，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵ ∴， ∴． ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 命题： 过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形． 22. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 【答案】（1）10，40，80.5 （2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大 （3）724 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值； （2）从中位数、众数的大小比较得出答案； （3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为， 所以“A组”所占的百分比为， 即； ； 八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 即； 故答案为：10，40，80.5； 【小问2详解】 八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大； 【小问3详解】 （人）， 答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人． 23. 如图，在四边形中，，连接，，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动到点C停止运动，点Q为中点．设动点P运动时间为x秒，面积为． （1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质； （3）若函数，根据图象直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大 （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、求函数解析式、根据图象求不等式的解集、相似三角形的判定及性质，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）分和两种情况求出解析式即可； （2）根据自变量的范围画出函数图象，并写出一条性质即可； （3）求出函数图象的交点坐标，根据图象的位置写出答案即可． 【小问1详解】 解：∵，，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 当点在上运动时，即时，，则， ∴， 当点在上运动时，即时，，则，过点作，则 ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，； 【小问2详解】 图象如图所示， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大； 【小问3详解】 当时，，解得：， 当时，，解得：， 即：与的交点为，， 根据图象可知，时自变量的取值范围为． 24. 某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍． （1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价； （2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元 （2）每斤哈密瓜的售价为11元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，利用数量总价单价，结合购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出答案； （2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，利用总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元； 【小问2详解】 解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每斤哈密瓜的售价为11元． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值； （3）在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2）的周长的最小值为 （3）符合条件的点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点可得，根据可得，由此求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）作点C关于直线的对称点，连接交于点N，则此时，周长的最小，然后运用勾股定理求解即可； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组求解即可；当或为对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：一次函数中，当时，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴在一次函数中，当时，， 解得，， ∴一次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，，即， ∴反比例函数中，， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，取,过点Q作交反比例函数于点P，则此时,则点， ∵， ∴设直线的表达式为：，则有：, ∴， 联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点， 由点A、P的坐标得，直线的表达式为：， 作点C关于直线的对称点， 连接交于点N，则此时，周长的最小， ∴，即的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：设点，由点A、M的坐标得，, ①当为对角线时，由中点坐标公式和得： 解得：，则点； ②当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， ∴点或， 综上，或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例图象与几何图形的综合运用，掌握待定系数法求解析，图像与坐标轴交点与二元一次方程组的计算，几何图形面积的计算方法，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 26. 在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． （1）如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度： （2）如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； （3）如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接、，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质，可知，垂直平分，得，由旋转可知，，，则，进而可知，得，过点作，交于，结合含的直角三角形的性质即可求解； （2）由（1）可知，，，，，过点作交延长线于，连接，先证，得，，则，可得，再证，得，再结合等腰三角形的性质及含的直角三角形的性质即可证明结论； （3）根据等边三角形的性质可知，由翻折可知，，连接，可知为的中位线， 在上取，结合旋转的性质可证，得，连接，由三角形三边可知，，当点在的延长线时取等号，此时有最大值，过点作交于，可证，利用相似三角形的性质及含的直角三角形的性质求得，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，即垂直平分， ∴，则， 由旋转可知，，， ∴，则， ∴， ∴， 过点作，交于，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）可知，，，，， 过点作交延长线于，连接， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 由题意可知，， ∵， ∴， 由翻折可知，， 连接，∵点是线段中点， ∴为的中位线，则， 由旋转可知，，， ∴， 在上取，则，， 则，， ∴， ∴，则， ∴， 连接，∵点为线段中点， ∴，则， 由三角形三边可知，，当点在的延长线时取等号， 如图，此时有最大值， 过点作交于，则， ∵， ∴， ∴，则，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理等知识点，添加辅助线构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$