精品解析：安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题

安师大附中2024-2025学年第一学期高三年级 数学试题 2024.9.4 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. [0，1] C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，，再求其并集即可． 【详解】由，得，故， 由，得，故， 故． 故选：D． 2. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再根据纯虚数概念得解. 【详解】由已知，复数为纯虚数， 所以得. 故选：A. 3. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B. 【详解】因为，定义域为R， 又， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD， 又当时，，，故排除B. 故选：A. 4. 若，且．则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解. 【详解】由 得 ， 进而得，化简得： ，所以或， 由于，所以，故， 故选：C 5. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 6. 已知随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出，进而推得.即可根据条件概率公式，得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为， 所以，. 又, 所以，. 又， 所以，. 故选：A. 7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故选：C. 8. 是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以为邻边的平行四边形为菱形，得到，结合双曲线定义可求得，利用余弦定理可构造的齐次方程，从而求得离心率. 【详解】 设，则， 是以为邻边的平行四边形的一条对角线， 又，为的角平分线， 以为邻边的平行四边形为菱形，， 由双曲线定义知：，，， 在中，由余弦定理得：， 双曲线的离心率. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断. 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由， 则，即， 则，故B正确； 对于C，因为， 则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：BC. 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C错误； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：AB. 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ） A. 原点在曲线的内部 B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 若，则的最大值为 D. 若，则存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将原点坐标代入方程判断，对于B，对曲线方程以代，代进行判断，对于C，利用曲线方程求出的取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D，若存在点，使得，然后由化简计算即可判断. 【详解】对于A，将代入方程，得，所以当时，原点在曲线上，所以A错误， 对于B，以代，得，得，所以曲线关于轴对称， 代，得，得，所以曲线关于轴对称， 以代，代，得，得，所以曲线关于原点对称，所以曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确， 对于C，当时，由，得，解得， 所以， 所以，所以的最大值为，所以C正确， 对于D，若存在点，使得，则，因为，所以，所以， 所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以当，则存在点，使得，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】令,即可求的值. 【详解】， 令，可得，① 令，可得，② ①+②可得 故答案为：. 13. 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用和差公式和三角形内角和定理将已知条件展开，然后化简整理即可得解； （2）利用三角形面积公式求出，然后由面积公式和余弦定理列方程组可得，可得周长. 【小问1详解】 由，得，① 由，得，② 由①②联立，得， 由，得，所以， 又由，得． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得． 由，即，所以． 由余弦定理，得，即， 所以，可得， 所以的周长为． 16. 某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人. （1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关； 成绩小于60 成绩不小于60 合计 男 女 合计 （2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望. 附： 0.10 0050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算成绩小于60分的人数，填写2×2列联表，进行独立性检验即可； （2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分别写出分布列和期望即可． 【小问1详解】 成绩小于60分的人数为： 由题意，得列联表如下表： 成绩小于60 成绩不小于60 合计 男 40 80 120 女 40 40 80 合计 80 120 200 故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关； 【小问2详解】 由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120 用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人 由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，则， 即： 的分布列为. 0 1 2 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行判定推理即得. （2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解即得. 【小问1详解】 取中点，连接，由是的中点，得，且， 由是的中点，得，且， 则有，四边形是平行四边形，于是， 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 四棱柱中，平面，，则直线两两垂直， 以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 有， 则有， 设平面与平面的法向量分别为， 则有，令，得， ，令，得， 因此. 所以平面与平面的夹角余弦值为. 18. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为． （1）求C的方程； （2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，结合，列出方程求得的值，即可求解. （2）解法一：设直线，联立方程组，利用韦达定理得到，得出的垂直平分线的方程，求得，化简，利用换元法和二次函数的性质，即可求解； 解法二：设，联立方程组，利用根与系数的关系得到，进而得到，化简，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为椭圆的焦点为，可得， 又因为为短轴顶点时，的周长， 又由，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：因为椭圆的焦点为，设直线， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 则， 于是线段AB的垂直平分线的方程为， 令，可得， 由 ， 令，则， 因为，所以，可得， 因此． 解法二：因为椭圆的焦点为，设直线， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 则， 可得线段AB的垂直平分线的方程为， 令，得， 由 ． 令，则， 因为，可得，可得， 因此． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求证：当时， （2）若有两个不同的极值点且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明， （2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解. 【小问1详解】 时， 则，故在单调递减， 故，故时，， 【小问2详解】 （i）， 由于有两个不同的极值点且， 故是的两个不相等的正实数根， 故，解得， 故 （ii）由于，所以，故， 由于，故， ， 令， 故， 当时，，故在单调递增， 故， 由于故， 因此， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安师大附中2024-2025学年第一学期高三年级 数学试题 2024.9.4 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. [0，1] C. D. 2. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 3. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且．则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 8. 是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ） A. 原点在曲线的内部 B. 曲线既中心对称图形，又是轴对称图形 C. 若，则的最大值为 D. 若，则存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 设，则______． 13. 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________． 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对边分别为． （1）求； （2）若面积为边上的高为1，求的周长． 16. 某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人. （1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关； 成绩小于60 成绩不小于60 合计 男 女 合计 （2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望. 附： 0.10 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； 18. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为． （1）求C方程； （2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求证：当时， （2）若有两个不同的极值点且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $