精品解析：2024年 北京市东城区北京二中教育集团模拟预测数学试题

北京二中教育集团2023—2024学年度第一学期 初三数学期末模拟考试试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，据此进行逐项分析，即可作答．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、 不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、 是中心对称图形，故该选项是正确的； C、 不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、 不是中心对称图形，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即． 故选：C． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 经过任意两点画一条直线 B. 任意画一个五边形，其外角和为360° C. 过平面内任意三个点画一个圆 D. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误； B、任意画一个五边形，其外角和为360°，是必然事件，故此选项错误； C、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项错误； D、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了随机事件的定义，有可能发生有可能不发生的时间叫做随机时间，正确掌握相关性质是解题关键． 5. 已知点、在二次函数的图象上．若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式确定出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：的对称轴为：直线， ∵， ∴时y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴是关键． 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作于C，求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角， 过A作于C，则， ∵， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形是解答的关键． 7. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴，故选项正确； ∵是的外角， ∴， ∴，故选项不正确； ∵为旋转角， ∴，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； 故选：． 8. 如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） ニ、填空题（共16分，每题2分） 9. 请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为一个开口向上，且经过，所以的，据此即可作答． 【详解】解：∵开口向上， ∴的， ∴ ∵经过 则时， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 10. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 11. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】2027 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则原式， 故答案为：2027． 12. 若二次函数与轴的一个交点坐标为，则该二次函数的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出二次函数图象过原点，然后根据二次函数的对称性求对称轴. 【详解】解：∵二次函数过原点（0，0），且与轴的一个交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，由解析式得出函数图象过原点是解题的关键. 13. 如图，在中是直径，，，，那么的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，由垂径定理推出，，由圆周角定理得到，求出，因此，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，为的直径，，点C为上一点，，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】作于点D，利用垂径定理求得，，，根据扇形面积公式和三角形的面积即可求解． 【详解】解：过点O作于点D， ∵为的直径，，， ∴，，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积． 15. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 答案为：． 16. 某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 2，1，2 【解析】 【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，根据题意推出，再由使用乙种原料最多，则A、C的个数要尽可能的多，B的个数要尽可能的少，即可得到． 【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得，， 解得， ∴制作型工艺品的个数为3个， 故答案为：3； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵使用乙种原料最多， ∴最大， ∴A的个数要尽可能的多，C的个数次之，B的个数要尽可能的少， ∴取，，． 故答案为：2，1，2． 三、解答题（共68分，其中第17-21、25题每题5分，第22-24、26题每题6分，第27-28题7分） 17. 解方程: 【答案】 【解析】 【分析】先移项，根据利用提公因式法将方程进行因式分解，把方程的左边化成左边为整式乘积形式，方程右边为0，根据乘法性质求解. 【详解】解： 或 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握因式分解法解方程的步骤. 18. 根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度，拱高（弧的中点到弦的距离），求盾构机刀盘的半径． 【答案】盾构机刀盘的半径为 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设，构建方程求解．解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程． 【详解】解：依题意，如图： 设 ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 所以盾构机刀盘的半径为． 19. 下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 小明的作法如下： ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 点在上，是的直径． ．（___________） ________． 是的半径， 是的切线．（___________） 【答案】（1）见详解 （2），，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键． （1）根据上述描述的过程作图，即可作答． （2）根据题中的过程，结合图形进行合情推理． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：如图：连接， 点在上，是的直径． （直径所对的圆周角是， ， 是的半径， 是的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线）， 故答案为：，，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． （1）作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 【答案】（1）图见解析；点的坐标为； （2）图见解析；点的坐标为； （3）点B经过的路径长为 【解析】 【分析】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时，点的运动轨迹为弧形． （1）根据中心对称的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）根据旋转的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）点B经过的路径为弧，求得弧的半径计算弧长即可． 【小问1详解】 解：关于原点成中心对称的图形如图所示； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：旋转后的图形如图所示； 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题可得， ， 点B经过的路径长为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）利用判别式判断方程实数根的情况； （2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】（1）方程有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式． （1）根据根的判别式可得出， 利用偶次方的非负性即可判断； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程只有一个根小于 2可得出，解之即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：， ∴原方程有两个实数根； 【小问2详解】 解：， 故， ， 解得，或， ∵方程只有一个根小于2 ， ， 解得：． 22. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 （1）求此抛物线的解析式，并画出其图象； （2）结合图象，直接写出不等式的解集； （3）结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，画图见详解 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键． （1）根据表格点得出抛物线顶点，与轴交点，根据待定系数法即可求解；描点连线即可画图； （2）观察图象可得不等式的解集； （3）观察图象得出当时，的取值范围； 【小问1详解】 解：根据表格点抛物线顶点，与轴交点， 设抛物线的顶点式为， ∴把)代入抛物线解析式得，， 解得：， 故抛物线解析式为， 描点画图如下： 【小问2详解】 解：不等式的解集，即为函数图象在函数下方时的取值范围， 观察图象可得函数和的交点为， 故不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当时，即当时， 观察图象可得． 23. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 24. 已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． （1）求证：直线是圆的切线； （2）若，，圆的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，结合，通过角与角之间的关系可得，此时即可得证；   （2）首先由勾股定理得到的长，根据已知可得，作于点，则，根据锐角三角比即可解答； 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，． ∵， ∴， 作于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明方法、圆周角定理，解直角三角形以及等腰三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． 某跳水运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 竖直高度 ①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； ②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）①，；②此次跳水不会出现失误，理由见解析 （2）不能 【解析】 【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当时，y的值即可得到答案； （2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由表格中的数据可知当时，，当时，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为 ∵抛物线开口向下， ∴该运动员竖直高度的最大值为； ②此次跳水不会出现失误，理由如下： 当时，， ∵， ∴此次跳水不会出现失误； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得或（舍去）， ∴ 在中，当时，则， 解得或（舍去）， ∴第二次入水的位置的水平距离为米， ∵，即第二次入水的位置在店A的左侧， ∴第二次训练不能达到要求， 故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）若，，直接比较m与n的大小关系：m______n以（填“”，“”，“”）； （2）若存在，使得，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可； （2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．再找出临界状态，即当则，解得或，当时，则，则，解得，再根据存在，都有，故，即可作答． 【小问1详解】 解：． 理由：当时，抛物线解析式为，点， 将代入， 得：，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵该函数解析式为， ∴其图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大． ∵，， ∴点B在点A右侧， 依题意，当时，， ∴， 解得或， 当时，则， 把代入， 得 ∴ ∵存在，都有， ， 即时，存在，都有． 27. 如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． （1）连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； （2）如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①补全图形见详解，②度数不变，为 【解析】 【分析】（1）∵，，点P为中点，则故，而，代入即可求解； （2）①依据题意画出图形即可；②取中点为，连接，利用三角形的中位线定理和直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求证． 【小问1详解】 解：如图： ∵，，点P为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形如图： ②取中点为，连接， ∵， ∴， 由旋转得，，， ∴， 同上可得，， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理可得：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可得，， ∴， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 28. 对于平面内任意一点，过作于点于点，连接，则称的长度为点关于和的垂点距离．特别地，点在两相交直线的交点时，记垂点距离为0． （1）已知，则点关于轴和轴的垂点距离为___________； （2）若点在直线上运动，则点关于轴和轴的垂点距离的最小值为___________； （3）若点在以为圆心，半径为1的上运动，求点关于轴和直线的垂点距离的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“垂点距离”的定义，过点作轴于，轴于点，连接，勾股定理求解即可； （2）如图，作轴于点轴于点，连接．得出四边形为矩形，．由垂线段最短可得，当时，取得最小值，求出，根据等面积法求出，即可求得的最小值； （3）如图，作轴于点直线于点．直线与轴交于点，与轴交于点，取的中点，连接．求出，，由题可得，即可得出，根据直角三角形的性质得出，得出点在以点为圆心，长为半径的圆上，圆周角定理得出，，勾股定理算出，即可得出当点位于直线上时，的长度取到最值，且，即可求解； 【小问1详解】 解：过点作轴于，轴于点，连接， ，， ∴点的垂点距离为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点轴于点，连接． ∵四边形为矩形， ∴． 由垂线段最短可得，当时，取得最小值， ∵点在直线上运动， ∴令，，则，， 令，，则，， ∴， ∵， ∴此时， ∴的最小值为， 则点关于轴和轴的垂点距离的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，作轴于点直线于点． 直线与轴交于点，与轴交于点，取的中点，连接． 令，，则，， 令，，则，， 由题可得， ， ， ， 点在以点为圆心，长为半径的圆上， ， ， ， ， 当点位于直线上时，的长度取到最值，且， 当点位于直线上时，取得最值， 即，， ． 则点关于轴和直线的垂点距离的取值范围为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质、垂线的性质、点的坐标与图形的性质，锐角三角函数，解题的关键是理解题意，搞清楚垂点距离的定义，找出分界点，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考创新题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2023—2024学年度第一学期 初三数学期末模拟考试试卷 考生须知： 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共16分） 一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项） 1. 神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 经过任意两点画一条直线 B. 任意画一个五边形，其外角和为360° C. 过平面内任意三个点画一个圆 D. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形 5. 已知点、在二次函数的图象上．若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） ニ、填空题（共16分，每题2分） 9. 请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式___________． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 11. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 12. 若二次函数与轴的一个交点坐标为，则该二次函数的对称轴为直线______． 13. 如图，在中是直径，，，，那么的长等于______． 14. 如图，为的直径，，点C为上一点，，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π） 15. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是______． 16. 某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________． 三、解答题（共68分，其中第17-21、25题每题5分，第22-24、26题每题6分，第27-28题7分） 17. 解方程: 18. 根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度，拱高（弧的中点到弦的距离），求盾构机刀盘的半径． 19. 下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 小明的作法如下： ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 点在上，是的直径． ．（___________） ________． 是的半径， 是的切线．（___________） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． （1）作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）利用判别式判断方程实数根的情况； （2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 22. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 （1）求此抛物线的解析式，并画出其图象； （2）结合图象，直接写出不等式的解集； （3）结合图象，直接写出当时，的取值范围． 23. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 24. 已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． （1）求证：直线是圆的切线； （2）若，，圆的半径为，求的长． 25. 2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． 某跳水运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 竖直高度 ①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； ②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）若，，直接比较m与n的大小关系：m______n以（填“”，“”，“”）； （2）若存在，使得，求b的取值范围． 27. 如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． （1）连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； （2）如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 28. 对于平面内任意一点，过作于点于点，连接，则称的长度为点关于和的垂点距离．特别地，点在两相交直线的交点时，记垂点距离为0． （1）已知，则点关于轴和轴的垂点距离为___________； （2）若点在直线上运动，则点关于轴和轴的垂点距离的最小值为___________； （3）若点在以为圆心，半径为1的上运动，求点关于轴和直线的垂点距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $