精品解析：广西名校2024-2025学年高三上学期9月联合调研测试数学科试卷

2025届广西名校高三年级9月联合调研考试 数学科试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果． 【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立； 若，解得，此时,，,,，不成立； 若，解得，此时,，,3,，不成立； 综上所述：． 故选：B． 2. 若复数z是方程的一个根，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设，，代入方程得到，即可得到答案. 【详解】设，， 所以. 所以. 所以. 故选：D 3. 在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将向量转化为以向量为基底的表示形式，再利用平面向量数量积的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 由可得； 所以 . 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式得到，从而得到，再利用余弦二倍角和同角三角函数关系求解即可. 【详解】， 所以， 所以. 所以 故选：C 5. 设等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 63 C. D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出． 【详解】设等比数列的公比为， ，， ， 解：， ， 解得：， 则， 故选：C． 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过换底公式得，再结合单调性可以判断b，c的大小，再以“1”作为中间量，可以判断a，b的大小，从而得解. 【详解】设，，则，当且仅当时等号成立，则， 又，，所以 因为，所以， 综上，a，b，c的大小关系是 故选：A 7. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 8. 根据公式，的值所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，再由函数零点的存在性定理判断即可. 【详解】因为， 设，则， 所以， 所以当时，， 所以在上单调递减且， 因为，，结合各选项， 由零点存在性定理可知. 故选：. 【点睛】方法点睛：解决本题的关键是根据已知条件构造函数，根据导数与单调性的关系即零点存在定理解题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的平均数为13.5 C. 销量的第40百分位数为13.8 D. 销量的中位数为13.2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差的概念，百分位数的概念，平均数与中位数的概念，即可分别求解． 【详解】解：A．根据表格数据可得销量的极差为，选项正确； B．根据表格数据可得销量的平均数为，选项正确； C．，销量的第40百分位数是从小到大排列的第3个数据，即为13.2，故选项错误； D．中位数为，故选项错误； 故选：AB． 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2 C. 若存在，使得，则的取值范围是 D. 存在，使得在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】由的单调性，奇偶性，周期性逐项判断. 【详解】对于A:当时，，所以最小正周期为，所以是的一个周期，正确； 对于B：将将的图象向右平移个单位后得到 因为是奇函数，所以，解得, 当时，最小此时为2，正确； 对于C：因为，当时，， 当时， 又存在，使得， 所以当时，，解得：，正确； 对于D: 存在，若在上单调递减， 由复合函数的单调性可得： 因为，所以，故 可得：解得：，因为，，则必有， 所以同时满足的必然小于0，这与矛盾，错误. 故选:ABC 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ） A. 双曲线C的虚轴长为 B. C. 的周长的最小值为16 D. 当时，的内切圆面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的虚轴定义及b判断A,根据渐近线斜率及倾斜角判断进而判断B,联立方程组得出弦长最小值为通径，结合定义得出周长最小值判断C, 根据的周长及面积计算的内切圆半径为r判断D. 【详解】 对于A:因为，所以虚轴长为，A错误； 对于B:因为双曲线渐近线方程为，倾斜角为， 过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出B正确； 对于C: 的周长为, 结合双曲线的定义， 设双曲线的右焦点为，， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，则 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， 又，故或, 而 ， 所以当直线与x轴垂直时，的长最小，即最小值为，的周长最小值为，故C正确； 对于D: 当时, 设直线的方程为 联立，消去，得， ，当时,A点坐标 ， ， 的周长， 设内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造奇函数，即可求解. 【详解】令， 所以为奇函数， 所以 所以 所以 故答案为： 13. 将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用体积相等求出，进而可求其表面积. 【详解】设实心铁球的半径为， 由题意可知，得， 故实心铁球的表面积为， 故答案为： 14. 已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定两次取球后盒中有8个球必须是满足两次取球均为甲获胜，再分别计算出第一次都取黑球，第二次取同色球，第一次都取白球，第二次取同色球的概率，相加即可求解. 【详解】若两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜， 第一次取球甲乙都取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有4个黑球和3个白球，盒中有2个黑球和2个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 若第一次取球甲乙都取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和4个白球，盒中有3个黑球和1个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 所以盒中有8个球的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜，再分别讨论并计算出第一次都取黑球，第二次取同色球，第一次都取白球，第二次取同色球的概率，相加即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知． （1）求的大小； （2）若，E是AC的中点，且，求BE． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，可求角. （2）先利用，得到边的关系，再用余弦定理，结合，可求的值，借助向量可求三角形中线的长度. 【小问1详解】 由， 又为三角形内角，所以. 【小问2详解】 如图所示： 因为为中点，所以， 因为，所以. 所以. 又，所以. 所以. 所以 所以. 故. 16. 某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的次品率均为.组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工作，否则该产品为次品. （1）设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，求X的分布列和期望； （2）设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求； （3）安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场.现有两种方案， 方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线； 方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作.更换电子元件的费用为15元/个． 已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品800件，请从企业获益的角度考虑，应该选择哪种方案？ 【答案】（1）分布列见解析，； （2） （3）选择方案二. 【解析】 【分析】（1）写出所有X的可能取值并求得对应概率即可得出分布列和期望； （2）根据条件概率计算公式即可求得答案； （3）依据所给方案分别计算出两种方案每月所需支出的总费用，选择较小的即可. 【小问1详解】 根据题意可得X的所有可能取值为， 易知，； ，； 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 可得期望值为； 【小问2详解】 由（1）可知，； 则. 【小问3详解】 若采用方案一，则每月支出总费用为元； 若采用方案二， 由（1）可知平均每个产品需更换的电子元件个数，则每月生产的800件产品平均需更换个， 每月更换电子元件的总费用为元， 则每月支出总费用为元； 显然， 所以从企业获益的角度考虑，应该选择方案二. 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，，底面是边长为的正方形． （1）求证：； （2）E是棱PA上一点，若AC与平面所成角为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理可得平面，即可证明，可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出点的坐标，再由锥体体积公式计算可得结果. 【小问1详解】 取的交点为，连接，如下图所示： 又因为底面是正方形，所以为的中点， 又，所以， 因为平面底面，平面底面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点且， 可得. 【小问2详解】 由底面是边长为的正方形，所以； 由（1）可知三条直线两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，所以； 可得， 所以， 由E是棱PA上一点可设； 则； 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则； 所以; 由AC与平面所成角为可得； 整理可得，解得， 因此E是棱PA的中点，即， 所以E到底面的距离即为四棱锥的高为， 因此四棱锥的体积为. 18. 椭圆E：的离心率为，过点的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，． （1）求椭圆E的方程． （2）设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于C，D两点．试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由． 【答案】（1） （2）D，C，M三点的横坐标构成等差数列，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，得直线l的方程，根据直线l与椭圆相交弦长，求出的坐标，从而由离心率与的坐标列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程； （2）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，将问题转化成求证，按部就班求解即可． 【小问1详解】 由于离心率，所以， 当过点的直线l过坐标原点O时，直线斜率为， 则此时直线l的方程为， 设直线l与椭圆E交点，不妨取，则，且①， 因为，所以②， 由①②可得，， 所以可得，解得， 故椭圆E的方程为 【小问2详解】 D，C，M三点横坐标构成等差数列，理由如下： 不妨设直线的方程为，,，,，， 因为直线经过点，所以， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以， 因为，，三点共线， 所以，而， 即，则， 故，，三点的横坐标成等差数列． 19. 已知函数，且x轴是曲线的切线， （1）求的最小值； （2）证明：； （3）设，，证明：对任意，． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据切线方程求出，进而再利用导数求最小值； （2）利用（1）的结论构造不等式，进而可得，再利用累加法即可证明； （3）先分离参数后利用的最大值，将问题转化为证明，利用关系可得，进而只需证明即可，构造函数，进而利用导数求其最小值即可证明. 【小问1详解】 由得， 因切线方程为，令，得，故可知切点为， 所以，得， 故，， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 故的最小值为 【小问2详解】 由（1）可知，故，故， 令，，则，即，即， 故， 即，即证 【小问3详解】 由题意， 由得①， 要证明对任意，，只需要， 令，，， 令，， 在区间上单调递增，故，故， 故在上递增，故只需证明， 由①可知， 由（1）可知，故， 只需证明，化简成立即可， 令，则， 在区间上单调递增，故，所以得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是：对目标式分离参数，转化为求解的最大值，结合关系，消去参数后，构造函数，进而利用导数求其最小值即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届广西名校高三年级9月联合调研考试 数学科试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 若复数z是方程的一个根，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 3. 在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 63 C. D. 31 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 根据公式，的值所在的区间是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的平均数为13.5 C. 销量的第40百分位数为13.8 D. 销量的中位数为13.2 10. 已知函数，则下列说法中正确是（ ） A. 当时，是一个周期 B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2 C. 若存在，使得，则的取值范围是 D. 存在，使得在上单调递减 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ） A. 双曲线C的虚轴长为 B. C. 的周长的最小值为16 D. 当时，的内切圆面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知函数，且，则__________． 13. 将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为__________． 14. 已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知． （1）求的大小； （2）若，E是AC的中点，且，求BE． 16. 某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的次品率均为.组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工作，否则该产品为次品. （1）设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，求X的分布列和期望； （2）设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求； （3）安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场.现有两种方案， 方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线； 方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作.更换电子元件的费用为15元/个． 已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品800件，请从企业获益的角度考虑，应该选择哪种方案？ 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，，底面是边长为的正方形． （1）求证：； （2）E是棱PA上一点，若AC与平面所成角为，求四棱锥的体积． 18. 椭圆E：的离心率为，过点的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，． （1）求椭圆E的方程． （2）设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于C，D两点．试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由． 19. 已知函数，且x轴是曲线的切线， （1）求的最小值； （2）证明：； （3）设，，证明：对任意，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$